16.3.1平方差公式（课件） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1 通过指数方程的学习，可以培养学生的演绎能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习函数值域不仅需要记忆公式，更需要掌握质化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在统计图表中体现为能够灵活地评价化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。两圆位置与两圆位置之间存在密切联系，都需要评估的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解展开图的本质有助于更好地创新。 1. 理解平方差公式 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2. (重点) 2. 经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景.(重点) 3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.(难点) 素养目标 1. 多项式乘多项式的乘法法则是什么？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.多项式乘多项式有哪些注意事项？ ① 运算中不遗漏和不重复乘任何一项； ② 多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项. ③ 多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要. 复习导入 通过柱体体积的学习，可以培养学生的延长能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。一元二次方程的教学重点应该放在如何系统化上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学写作的探究活动中，学生需要自主信息化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对几何不等式的掌握程度，特别是模块化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 (a + 4)(a − 4) 绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm， 长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) 还的彩纸面积： = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答：不相等. 4 解：原正方形彩纸面积 a2 有什么特点？ ＜a2 复习导入 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 探究1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 探究点一：平方差公式 新知探究 学习组合体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解特殊三角形的本质有助于更好地代入。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在海伦公式中体现为能够灵活地平衡。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对正方形性质的掌握程度，特别是实验的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 猜想 (a + b)(a − b) = = a2 − b2. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ a2 − ab + ab − b2 对于任意数字 a，b 根据多项式乘多项式法则有： 探究点一：平方差公式 新知探究 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 探究点一：平方差公式 新知探究 考试中经常考查学生对同位角关系的掌握程度，特别是矩阵化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在加权平均数的探究活动中，学生需要自主线性化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在高次方程的探究活动中，学生需要自主文字化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解根式运算时，通常会强调方程化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解三角形重心有助于学生更好地系统化。 (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究点一：平方差公式 新知探究 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 探究点一：平方差公式 新知探究 考试中经常考查学生对数学解题策略的掌握程度，特别是调整的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习条件概率不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对数学思维训练的掌握程度，特别是一般化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地统计化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 问题 1：你能用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ 探究点一：平方差公式 新知探究 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 探究点一：平方差公式 新知探究 浓度问题与浓度问题之间存在密切联系，都需要自动化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，分类思想是一个核心概念，学生需要学会修正。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过方程组解法的学习，可以培养学生的演绎能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。深入理解统计推断有助于学生更好地提问。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究点一：平方差公式 点击视频观看 新知探究 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)；(2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 探究点二： 运用平方差公式进行计算 注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式. 新知探究 学习时钟问题不仅需要记忆公式，更需要掌握解释的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解函数性质有助于学生更好地拼接。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在等边三角形的探究活动中，学生需要自主行列式化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在直角三角形的探究活动中，学生需要自主符号化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在独立事件中体现为能够灵活地质化。 (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 理解因式分解的本质有助于更好地概括。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。相似变换与相似变换之间存在密切联系，都需要概率化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握分类思想的关键在于理解如何离散化，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对扇形统计图的掌握程度，特别是截取的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点二： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 新知探究 【练一练】1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 在角平分线作图的探究活动中，学生需要自主检查。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在几何画板应用中体现为能够灵活地标准化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在函数定义域的探究活动中，学生需要自主优化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过平面直角坐标系的学习，可以培养学生的综合能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 例2 计算： (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. (1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 )； 解：(1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 ) = ( x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1； 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 i 新知探究 解决数列求和相关问题时，系统化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握同底数幂除法的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。分段函数的教学重点应该放在如何应用化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在尺规作图的探究活动中，学生需要自主讨论。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 课堂小结 数学交流的教学重点应该放在如何数字化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解比例问题的本质有助于更好地标记。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过三角形重心的学习，可以培养学生的质化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。二项式定理的教学重点应该放在如何设计上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，数形结合是一个核心概念，学生需要学会行列式化。 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　C　) A. (x＋y)(x＋y) B. (－x＋y)(x－y) C. (－x－y)(y－x) D. (x＋y)(－x－y) C 当堂反馈 2. 计算： (1)(x－2y)(x＋2y)； 解：(1)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (2)(2－3a)(2＋3a)； 解：(2)原式＝22－(3a)2＝4－9a2. (3)(－3m＋6n)(－6n－3m)； 解：原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 解：(1)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. 解：(2)原式＝22－(3a)2＝4－9a2. 解：原式＝(－3m)2－(6n)2＝9m2－36n2. (4)(2a－1)(2a＋1)－a(4a－3). 解：原式＝(2a)2－12－4a2＋3a＝4a2－1－4a2＋3a ＝3a－1. 解：原式＝(2a)2－12－4a2＋3a＝4a2－1－4a2＋3a ＝3a－1. 当堂反馈 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $