北京市中国人民大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级期中练习数学试卷

20262027学年度第一学期高二年级期中练习 数学 说明：本试卷共六道大题26道小题，共7页，满分150分，练习时长120分钟 请在答题纸的密封区域内填写个人信息，请将答案全部填涂在答题纸上 第I卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.在空间直角坐标系中，A(1,2,3)关于xOy平面的对称点坐标为 () A.（-1,2,3) B.(1,-2,3) C.(1,2,-3) D.（-1,-2,3) 2.已知1∥a,直线bca,则1与b的位置关系是 () A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.异面或相交 3.设m是一条直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（) A.若x⊥B,m⊥a,则m∥B B.若⊥B,m∥a,则m⊥B C.若a∥B,m⊥ax,则m⊥B D.若a∥B,m∥a,则m∥B 4.下列多面体有八个面的是 () A.正方体 B.五棱台 C.平行六面体 D.六棱柱 5.a=(1,2,2),a-b=(2026,11,x),若a⊥(a-b),则a-b= () A.3 B.5 C.9 D.2026 6.如图，在四面体OABC中，M,V分别在棱OA,BC上且满足OM=2MA, BN=NC,点G是线段MN上的点且满足MG=2GN,用基底{OA,OB,OC}表 示向量0G应为() A. OG-104+108+L0C 3 6 3 B.0G=20A+10B+0C C.OG-104+L0B+Loc G 3 3 6 D.OG=104+108+L0c 4 4 3 第1页，共7页 7.六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为 无色无味无毒不燃的稳定气体化学式为 SF。,在其分子结构中，硫原子位于中心， 六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个 八面体的结构.如图所示，该分子结构可看 作正八面体，记为P-ABCD-Q,各棱长均相等，则平面PAB与平面QAB所成角的 余弦值是() A要 B.② 3 c. D 8.设a,B是两个不同的平面，则“对任意的直线lcx,都存在直线mcB,使得 l∥m”是“a∥B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时， 如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，满足两个圆锥顶点重 合且两个底面平行.下方的容器中装有沙子（阴影部分），沙子堆积成一个圆 台，若该沙漏高为8，沙子体积占该沙漏容积 128,则沙子堆积成的圆台 37 的高为() A.1 C.2 D 10.等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，E是边AC的中点，D是边BC上一动点（不包括 端点)，将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是C,连接CC,设O为二 面角C,-DE-C的大小，日∈(0，).在翻折过程中，下列说法中不正确的是() A.存在点D和B,使得DC⊥AC B.存在点D和O,使得BC⊥AC C.存在点D和B,使得BC,⊥DE D.存在点D和0，使得CC,⊥DE 第2页，共7页 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置) 11.已知4，B,C三点不共线，点0在平面ABC外，点P满足OP=xOA+2OB+20C,则 当点P,A,B,C共面时，实数x= 12.如图所示，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形AB'CD', 若O'A'=OB'=B'C'=1则BC= D O B 13.从正方体ABCD-ABC,D,的8个顶点中，找出两个顶点与A,B构成一个三棱锥，使 得该三棱锥的4个面都是直角三角形，则这两个项点可以是 （只需写出一组) 14.已知空间中三点A(1,0,0)、B(2,1,-1)、C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为 15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点M,N分别在线段AD,和B,C,上 (包括端点)，给出下列四个结论： D ①MN的最小值为2： ②四面体MBC的体积为亏： 4 B ③有且仅有一条直线MN与AD,垂直： ④存在点M,N,使△MBN为等边三角形 其中所有正确结论的序号是 第3页，共7页 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置.) 16.(本题10分) 已知向量a=（-2,-1,2),b=（-1,1,2),c=(x,2,2) (1)求与a-2b同向的单位向量； (I)若=2V2,向量ka+b与c垂直，求实数k的值； (Ⅲ)若向量c与向量a,b共面，求实数x的值， 17.(本题12分) 如图所示，将边长为2的正方形ABCP沿对角线AC折起，得到三棱锥 P-ABC,O为AC的中点. (I)证明：PB⊥AC: (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求二面角B-PC-A的余弦值及点A到平面BPC的距离. ①PB=2:②PO⊥BC 18.(本题13分) 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形， CD⊥平面PAD,E、F、G分别是PC、PD、BC的中点. (I)设平面PAD∩平面PBC=I,求证：BC∥I; (Ⅱ)线段PB上是否存在点M,使得直线GM 与平面EFG所成角为？，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由， 第4页，共7页 第Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 19.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的 圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 () (1) (2) (3) (4) (5) A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(1)(5) 20.如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”.显 然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙，材料学研究 发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入 一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会 有显著性变化，记原金属晶体的原子半径为”，另一种金属晶体的 原子半径为a,则r4和a的关系是() A.2rg=Br B.2r=V6r C.2a=(5-1 D.2n=(N6-2 21.空间中13个不同的点构成的集合P={4,=01,2,,12},满足当k∈{0,1,2,3时， AkA14+2A,k3都是正四面体.对于任意平面C,P∩a的元素个数最大值是（) A.9 B.10 C.11 D.12 第5页，共7页 22.如图，棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，P为线段BD上动点（包括端点）， ①三棱锥P-4BD中，点P到面ABD的距离为定值25 ②过P且平行于面ABD的平面被正方体ABCD-A,B,C,D,截得的多边形面积为2√5： ③直线PA与面A,BD所成角的正弦值的范围为 6 3’3 ④当点P为B,D中点时，三棱锥P-A,BD的外接球表面积为11π， 以上命题为真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置.） 23.在棱长为1的正方体ABCD-ABC,D,中，O,是上底面AB,C,D的中心，M是棱 BB,的中点，则三棱锥O一ADM的体积等于 24.动点P从多面体的某个顶点出发，一步走一条楼，走若干步，走过的棱不再经过，走 过的顶点允许再次经过，将这种运动称为多面体游走.游走路线是空间中的几何图形， 由经过的每一条棱组成（包括端点）.若两种游走路线在空间中经过平移，旋转，对称 能够重合，就认为它们是同一种游走路线， (1)若P点在某正四面体进行4步游走，则不同的游走路线共有 种： (2)若P点在某正方体进行4步游走，则不同的游走路线共有 种 25.如图，直角三角形ABC所在平面垂直于平面，一条直角边AC在平面a内，另一 条直角边BC长为√乃且∠BAC=60°，若平面&上存在点P,使得△ABP的面积为 3√3，则线段CP长度的取值范围是 第6页，共7页 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上 的相应位置.) 26.对于一个n行n列的数表A,设其第i行第j列的元素为an∈{0,1}.定义对数表A的 T变换：对于一个位置(，j）,若a,=0且存在位置(k,I)使得a,=aa=ag=1,则该位 置变成1；否则，该位置保持不变.记这样变换得到的新数表为T(A).定义 T(A)=A,Tk()=T(T(A)(k∈N).如果存在非负整数r使得T(A)中每个位置都 是1，则称A是一个“生成数表”，并记生成次数r(A)为最小的使得T(A)中每个位置都 是1的非负整数、 100 1 0 (1)已知数表M= 和N= 11 直接判断M,N是否为“生成数表”， 01 01 若是，再写出其生成次数： (Ⅱ)若任意包含k个1的4行4列数表A一定是生成数表，求k的最小值， (I)求n行n列的“生成数表”A中1的个数的最小值f(n). 第7页，共7页 人大附中2026~2027学年度第一学期高二年级数学期中练习 数学参考答案及评分标准 I卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)C (2)C (3)C (4)D (5)C (6)B (7)D (8)C (9)A (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)5 (12)3 6 (13)C,C,(答案不唯一) (14) 3 (15)①②④（答出1个2分，2个3分，答案全对5分，有错不得分） 三、解答题（共3小题，共35分） (16)(共10分) 解：(1)因为a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2), 所以a-2b=(-2,-1,2)-2(-1,1,2)=(0,-3,-2), …1分 a-2b(0,-3,- 则与a-2b同向的单位向量为 2=0,- 13213 13’ …3分 a-2b 3 13 (I)因为4=Vx2+22+22=√x2+8=2√2， 解得x=0,则C=(0,2,2),… …4分 又k0+b=(-2k-1,-k+1,2k+2),而(ka+b)⊥C,…5分 则(k+b)C=2×(1-k)+2×(2k+2)=0,解得k=-3,…6分 数学参考答案第1页（共6页) () 法一：因为向量c与向量a,b共面， 所以c=a+b(2,u∈R), …7分 即(x,2,2)=(-22,-,22)+(-4,4,2μ)）=（-22-4，-1+4,22+24)， 1 [-21-μ=x = 则{-2+μ=2，解得 …9分 21+2μ=2 3 M= 解得xs一1 …10分 2 法二：设a,b的公垂向量为n=(x,y,z) ha=-2x-y+2z=0 则 n-b=-x+y+2z=0，令y=-1得n=(4,-2,3) …8分 因为向量c与向量a,b共面， 所以cn=4x+2×(-2)+3×2=0, …9分 解得x= 2 …10分 (17)(共12分) 解：(I)证明：连接PO,OB,如下图： 因为BA=BC,OA=OC,所以OB⊥AC,同理得PO⊥AC,…1分 又因为PO,OBc平面POB,PO∩OB=O,3分 所以AC⊥平面POB, 因为PBc平面POB,所以AC⊥PB.…4分 (II)若选择①，PB=2, 因为PA=PC=BA=BC=2,PA⊥PC,BA⊥BC,所以OP=OB=V5, 因为PO2+OB2=PB2=4,所以PO⊥OB, …5分 由(I)得PO⊥AC,所以OB,OC,OP两两垂直，…6分 数学参考答案第2页（共6页） 以O为原点，OB,OC,OP方向为x,y,:轴正方向建立空间直角坐标系如图： 则B(V2,0,0),C(0,V2,0),P(0,0,V2), PB=(W2,0,-2),PC=0,V2,-V2),PA=(0,-V2,-V2 …7分 设平面PBC的一个法向量为n,=(x,y,z), ∫PB-h=0n∫N2x-V2z=0 则 即 PC-n=0 V2y-V2z=0 令x=1时，得n1=(1,1,1),…8分 因为OB⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量L2=(1,0,0),…9分 设二面角B-PC-A为日，由图可知0为锐角，…I0分 所以cos0=los(4,m》=%%=5 4n23’ …l1分 设点A到平面BPC的距离为d,则d= PA.m26 …12分 3 若选择②，PO⊥BC 由(1)得，PO⊥AC,PO⊥BC, AC,BCC平面ABC,AC∩BC=C, 所以PO⊥平面ABC,又OB,OCC平面ABC,所以PO⊥OB,PO⊥OC 因为BA=BC=2,AO=OC, 所以OB⊥OC,所以OB,OC,OP两两垂直， 后面与选①相同. 数学参考答案第3页（共6页） (18)(共13分) 解：(I)在正方形ABCD中，BC∥AD 因为BC文平面PAD,ADC平面PAD,…2分 所以BC∥平面PAD, 因为BCC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=1…4分 所以BC∥I (I)取AD中点O,连接PO, 因为CD⊥平面PAD,OA,OPc平面PAD, 所以CD⊥OA,CD⊥OP, 因为PA=AD,AO=OD 所以OP⊥OA,即OA,DC,OP两两垂直，… …5分 以O为原点，OA,DC,OP方向为x,y,:轴正方向建立空间直角坐标系如图： 则B(2,4,0),G(0,4,0),E(-1,2,V⑤)，P(0,0,2W3),F(-1,0,V),…6分 设平面EFG的一个法向量为n=（x,y,), GE=(-1,-2,3,FE=(0,2,0) 设PM=2PB(0≤1≤1)，GM=(1-)GP+aGB=(2元，4-4,25(1-2)，9分 数学参考答案第4页（共6页） .bos(GM,)- 2W3+2W5(1-2) 2V422+16(1-2)2+12(2-1)2 ∈s1n32,…10分 化简得4x2-7+3=0,解得=3或=1，… …11分 故线段PB上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为等， 此时PM=3V2或PM=4√2.…13分 Ⅱ卷 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） (19)D (20)D (21)C (22)D 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） (23)日 (24)2,3(第一空2分：第二空3分) (25)「2W6,7](两个端点有正确的，对一个给2分) 三、解答题（共1题，共15分） (26)(共15分) 解：(I) M不是，N是，生成次数为2…4分 (Ⅱ)记4行4列中0的个数为m,则m+k=16. 若k≤12，则m≥4，若4个0均在同一行，根据操作规则，该行无法全部变成1.故k≥13. 若k=13,则m=3,0至多分布在3行，所以至少有一行全是1，同理至少有一列全是 1,根据操作规则，该行与该列经过若干次操作可以让剩余的0都变成1. 所以k的最小值是13.…9分 数学参考答案第5页（共6页） (Ⅲ) 取A,为第一行和第一列全为1，其余位置为0的n行n列数表，共2n-1个1. 对任意i,j≥2，取k=1=1则a1=4,=a1y=1,故T(A)的(i,)位置为1. 所以T(A)所有位置都是1，即A是生成数表，故m(n)≤2n-1. 另一方面，将数表A的行记为R,R2,,R,列记为C,C2,…,Cn 称行R和列C,直接相连，如果a,=1.进一步记S={R,…,Rn,C,…,Cn} 称X,Y∈S相连，如果存在U,…,Uk∈S使得U=X,Uk=Y,且对于每个 i∈{1，…，k-1},U,和U1直接相连.显然，U,…,Uk必然是行列交替的. 现在说明：对任意数表A,记T(A)=(a)·若4=1，则A的R,C,相连. 如果a,=1,则R,Cy直接相连，自然也相连： 否则存在(k,1)使得a1=au=ag=1,取(U,U2,U3,U,)=(R,C,R,C),可见 R,C,相连 由此可见，如果A是“生成数表”，则S中任意两个元素都相连 因为S中有2n个元素，至少需要2n-1个相连关系，所以m(n)≥2n-1. 所以7(n）=2n-1.……15分 数学参考答案第6页（共6页）