北京市东直门中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学 2026.11 命题人：孙璐璐 审题人：孙璋 考试时间：120分钟 总分150分 班级 姓名 学号 第一部分 一.选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1.长方体ABCD-AB,C,D,中，AB+AD-AC= A.0 B.AC C.CC D.CC 2.已知a为平面a的法向量，点A、B在直线b上，则“a·AB=0”是“ba的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分又不必要条件 3.已知方程 2 =1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是 k-1”5-k A.(1,3) B.(3,5) C.(1,5) D.(1,3)U(3,5) 4.运动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目如图为大跳台 示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，O是最高点C在水平地面的投影，地面上A、B两点相距60m, 在A处测得C的仰角a满足tana=V3,在B处测得C的仰角B满足tanB=1,且∠A0B=30°，则大 跳台最高高度OC- A.45m 跳台： B.45v2m 跳台宽度5米 跳台高度2米 C.60m 跳台起跳角度25度 D.60v3m 1/5 5.直线√3x-y-1=0绕点(0，-1)逆时针旋转0(0<0<)后，所得直线与x轴交于负半轴，则日 的取值范围是 A后 &爱3 c .0 6.已知正方体ABCD-AB,C,D,点P在△ABC,的内部（不含边界），且AP=xAB+yAD+zAA, 则实数对(xy,z)可能是 写南 2-12、 B.专3月 c D.(1,1,1) 7.已知圆C:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0交于M、N两点，点P在圆C上运动， 则△PN面积的最大值为 A.2 B.2+2V2 C.4 D.4V2 8.已知椭圆二+上=1，F,R为左、右焦点，8为上顶点，P为椭圆上任一点，则下列说法错误的是 95 A.S△r5的最大值为2V5 B.PF的取值范围是[1，S] C.存在点P使PF⊥PF D.PB的最大值为2V5 9.已知A是圆C:x2+y2=1上的一个动点，且直线mx+y-2n=0与直线x-my-6=0交于点P,则 对于任意实数m,PA的取值范围是 A.(1,7] B.[1,7J] C.(2,6] D.[2,6] 10已知集合4=米x-+0+2<4列，B=水x-+0y-<,若8c4,则实数号的 取值范围是 a.( [ c 2/5 第二部分 二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分） 11.已知两条不重合的直线4：ax-2y-1=0和l:x+(a-3)y+1=0,a∈R, 若1川，则a的值为；若（⊥2，则a的值为 2,若椭圆，+，之m>0)的焦距为2，则该椭圆的长轴长为 13.己知向量1,0，V3,，单位向量b满足a+2b1=2V5,则a,b的夹角为 14.一个小岛周围有环岛暗礁区，分布在以小岛中心为圆心，半径为2k的圆形区域内，已知陆上的港口 位于小岛中心正北3处，而轮船位于小岛中心的正西方向.在不触礁的情况下，轮船从距小岛中心 km处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 15.如图，正八面体ABCDEF由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2， M,N分别为棱AD,AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为 16.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点E,F在正方体的面AB,CD,内（包括边界）， A 若AE=V5，AC⊥DF,则下述结论正确的是 B ①二面角A-BD-A的平面角的正切值为2 ②CF⊥AC: ③点E的轨迹长度为2π ④直线DF与平面ABD所成角的正弦值的最大值为 3/5 三.解答题：（本题有6道小题，共80分） 17.如图，直三棱柱ABC-A,B1C,中，AB=AC=AM,=2,∠BAC=90°，M,N 分别为AC,A,C,的中点. )求证：C,M//平面AB1N: (四)求直线BM与平面AB,N所成角的正弦值； ID)求点M到平面AB1N的距离 18.已知函数f(x)=2sin(ωx+p)(ω>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图 所示 ①求f(x)的解析式： 尔0 四)直接写出f(x)在区间[O,π上的单调区间； 四)求满足f(x)≥V3的x的取值范围， 19病圆C:吾+芳-6>b>0的左售点(0和上顶点0列， ①)求椭圆C的方程和离心率； 四直线：y=x+m与椭圆C交于4，B两点，若B二42，求m的值】 20.已知圆C的圆心在直线2x-y=0上，且与x轴相切于点(1,0) 四求圆C的方程； ⑩若圆C与直线：x-y+m=0交于A,B两点，， 求m的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆C被直线1分成两段圆弧，其弧长比为2：1； 条件②：AB=2√2； 条件③：∠ACB=90°. 4/5 21.如图，己知等腰梯形ABCD中，AD1IBC,AB=AD=BC=2,E是BC的中点，AEOBD=M, 将△BAE沿着AE翻折成△B,AE,使B,M⊥平面AECD. Q)求证：CD⊥平面B,DM: (II)求平面B,MD与平面B,AD夹角的余弦值： 四)在线段B,C上是否存在点P，使得MP/1平面 BP BAD,若存在，求出 C的值：若不存在，说 明理由、 2.对于空间向量m=(a,b,c),定义网=maxa,l,ld,其中max{x,少z2表示为y,2这三个数的最大值. 0已知-(6号6-（分 ①写出，写出l(用含x的式子表示)： ②当0≤x≤4，写出a-列的最小值及此时x的值： 四设ā=(，，2)，i=(,),求证：a+列≤a+ 四在空间直角坐标系O-3z中，A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6,点P是以0为球心，1为半径的球 面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出PO的最小值及相应的点P的坐标. 5/5