精品解析：重庆市巴蜀中学校2026春季学期九年级中考模拟考试（二）

2026春季学期初三年级中考模拟考试（二） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共40分） 1. 的倒数是（ ）． A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，随机事件是（ ）． A. 太阳从西方落下 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为7 C. 随意翻到数学书的某页，该页的页码是奇数 D. 三角形内角和为 6. 如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第7个图形中圆圈的个数是（ ） A. 29 B. 25 C. 21 D. 20 7. 若点、都在同一个反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，点，分别为线段，上的点，且满足，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共24分） 11. 2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线平行，点F为焦点．若，则的度数为________． 13. 满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 15. 如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 16. 如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式组：． 18. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年、张伯苓“爱国三问”提出周年，弘扬爱国主义精神和教育家精神，由重庆南开中学出品，携手重庆大学、树人小学联合创排的大型原创话剧《大江东去我西来》在重庆大剧院成功首演．演出结束后，剧社随机抽取了部分观众进行满意度调查（观众只能选择一种选项），调查选项为：非常喜欢，喜欢，比较喜欢，不太喜欢；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查的观众共有 人，的值为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若到重庆大剧院观看此话剧首演的观众共有人，估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数． 20. 在学习平行四边形后，小刚同学对平行四边形进行了探究，并与学习同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他提供的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作图． 小刚在中，作了（如图）．请你用尺规完成基本作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，． 是的平分线，． ①____________． 在和中， ．． 21. 为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打折售票，部分购票信息如下表， 非节假日 节假日 团队人数（人） 购买门票款（元） （1）分别求出，的值； （2）某旅行社导游王非于月日（节假日）带团，月日（非节假日）带团都到该景区旅游，共付门票款元，，两个团队合计人，求，两个团队各有多少人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． （1）求直线的解析式； （2）点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； （3）在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 23. 如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含点A、D），点Q在射线上运动（不含点B），点P、Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．设点P的运动路程为，，连接、，设的面积为，的面积为． （1）直接写出、与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出和的函数图象； （3）结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，为平面上一点，以为边在右侧作等边． （1）如图，若，点在边上，求的度数； （2）如图，若，，连接，，的延长线交于，求证：； （3）如图，若，平分，点在直线上，为的中点，连接，求当最小时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季学期初三年级中考模拟考试（二） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共40分） 1. 的倒数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ∵， ∴的倒数是． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解： 从正面看，可得选项C的图形． 3. 2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数．先确定的取值，因为要满足，所以需要将原数的小数点向左移动，得到符合要求的．再确定的取值，因为的绝对值等于原数小数点移动的位数，且原数绝对值大于10时为正，所以根据小数点移动的位数得到的值，即可写出科学记数法的表达式． 【详解】解：． 4. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 5. 下列事件中，随机事件是（ ）． A. 太阳从西方落下 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为7 C. 随意翻到数学书的某页，该页的页码是奇数 D. 三角形内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】先明确三类事件的定义：必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，再逐一判断选项即可． 【详解】∵ 太阳一定会从西方落下，三角形内角和一定为，∴ A和D是必然事件； ∵ 质地均匀的骰子最大点数为，不可能掷出点数，∴ B是不可能事件； ∵ 随意翻到数学书某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，两种结果都有可能发生，∴ C是随机事件，符合题意． 6. 如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第7个图形中圆圈的个数是（ ） A. 29 B. 25 C. 21 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，依次数出前几个图形圆圈数量，找出序号和圆圈个数之间的关系式，再代入计算求值． 【详解】解：第1个图形圆圈个数：， 第2个图形圆圈个数：， 第3个图形圆圈个数：， 由此归纳得到：第个图形圆圈个数为． 当时，． 7. 若点、都在同一个反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数即可求解． 【详解】设反比例函数的解析式为()． 点，都在该反比例函数图象上， ∴ ，， ∴ ． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键；根据题意，绳子比木长4.5尺，所以；对折绳子后量木，木剩余1尺，说明对折绳长比木长短1尺，所以． 【详解】解：由题意知木长x尺，绳长y尺， ∵引绳度之，余绳4.5尺， ∴， ∵屈绳量之，不足一尺，即对折绳量木，木余1尺， ∴， 故得方程组， 故选D． 9. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，点，分别为线段，上的点，且满足，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：过点E作于点M，利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求x，易得，，；根据同角的余角相等以及等腰三角形的性质可得；如图：延长交于G，易得点M和点G重合，即；如图：连接，设，则，；根据列方程求得b的值即可． 【详解】解：如图：过点E作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 在中，， 设，则 ， ∵点是边上的中点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴，，， ∵在中，，点是边上的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图：延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点M和点G重合，即， 如图：连接，设，则，， ∵， ∴， ， 整理得：， 两边平方得：， 整理得：，解得：， ∴． 10. 对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法. 【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数， ① 若化简结果为常数，则，即， 取，则，，为常数，故①正确； ② 若为单项式，则为单项式，分两种情况： （常数单项式）：， 当时，，则为和，共种排列； 当时，，则为和，共种排列； 当或时，无符合条件的，共种操作； （一次单项式）：，即， 仅符合，此时可选，共种操作， 两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确； ③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组： ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种， 总共有种结果，故③错误， 综上，正确的有个. 二、填空题（共24分） 11. 2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】四部影片被选中的可能性相等，总共有种等可能结果，选中目标影片只有种结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从四部影片中随机选一部，所有等可能的结果共种，恰好选到《奥德赛》的结果只有种， ∴所求概率为． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线平行，点F为焦点．若，则的度数为________． 【答案】24° 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由于平行，，已知，可得的度数，再根据两直线平行，内错角相等，可得的度数． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线平行，点为焦点， ， ， ∴， ． 故答案为：． 13. 满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【解析】 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； ∴． 15. 如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，，  ， ， 为等腰直角三角形，，  ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，，  点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限，  点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上，  ， ，  ． 16. 如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； ②根据矩形的性质和勾股定理求得，则，证明求得，，进而求得；过F作，分别交、于M、N， 设，证明求得，，利用勾股定理，结合列方程求得，进而求得，即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 过F作，分别交、于M、N， 则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， 在中，， 在中，， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∴． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴不等式组的解集为：. 18. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年、张伯苓“爱国三问”提出周年，弘扬爱国主义精神和教育家精神，由重庆南开中学出品，携手重庆大学、树人小学联合创排的大型原创话剧《大江东去我西来》在重庆大剧院成功首演．演出结束后，剧社随机抽取了部分观众进行满意度调查（观众只能选择一种选项），调查选项为：非常喜欢，喜欢，比较喜欢，不太喜欢；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查的观众共有 人，的值为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若到重庆大剧院观看此话剧首演的观众共有人，估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数． 【答案】（1）50，20 （2） （3）估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数为2160人 【解析】 【分析】（1）根据选择B选项的人数及占被调查观众总人数的百分比即可求出被调查观众的总人数，根据被调查观众的总人数即可求出选择C选项的人数占被调查观众总人数的百分比，从而求出m的值； （2）求出选择D选项和A选项的观众人数，从而补全条形统计图； （3）用5400乘以选择A选项的比例即可求得答案． 【小问1详解】 解：选择B选项的有15人，占被调查观众人数的， ∴被调查观众人数为（人）； 选择C选项的有10人，占被调查观众人数的， ∴； 【小问2详解】 解：选择D选项的有（人）， 选择A选项的有（人）， 图略 【小问3详解】 解：对此话剧首演“非常喜欢”的人数约为（人）． 20. 在学习平行四边形后，小刚同学对平行四边形进行了探究，并与学习同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他提供的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作图． 小刚在中，作了（如图）．请你用尺规完成基本作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，． 是的平分线，． ①____________． 在和中， ．． 【答案】①②③④ 【解析】 【详解】 第一步：作图题中作的平分线，以B点为圆心，任意长为半径作弧交边、分别于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于为半径作弧，交于点P，连接BP，并延长交于点，即可得所求作图形． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 是的平分线， ． ①． 在和中， ， （）． ． 21. 为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打折售票，部分购票信息如下表， 非节假日 节假日 团队人数（人） 购买门票款（元） （1）分别求出，的值； （2）某旅行社导游王非于月日（节假日）带团，月日（非节假日）带团都到该景区旅游，共付门票款元，，两个团队合计人，求，两个团队各有多少人？ 【答案】（1）， （2）团有人，团有人 【解析】 【分析】（1）根据购票信息中的人数和购买门票款，结合题目给出的门票单价计算即可． （2）设团有人，团有人，结合（1）中计算结果和题目中购票的规则，分类讨论和两种情况，分别计算即可． 【小问1详解】 解：根据购票信息可知，非节假日人，购买门票款为元 ∴门票单价为 ∵门票定价为元/人，非节假日打折售票 ∴ 解得． 节假日按团队人数分段定价售票，根据购票信息可知，节假日人，购买门票款为元，根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：设团有人，团有人 ∵团在节假日，根据节假日购票规则分以下两种情况 当时， 整理得 解得 不满足条件，舍去． 当时， 整理得 解得 满足条件， ∴团有人，团有人． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． （1）求直线的解析式； （2）点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； （3）在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的周长最小为； （3）点的坐标为或； ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后把A、B两点坐标代入函数解析式，求出k、b的值即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设，则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为，证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示： 则：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 根据解析（1）同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当的周长最小时，点F的坐标为； 【小问3详解】 略 23. 如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含点A、D），点Q在射线上运动（不含点B），点P、Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．设点P的运动路程为，，连接、，设的面积为，的面积为． （1）直接写出、与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出和的函数图象； （3）结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）；； （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当时，点在上；当时，点在上，再利用三角形的面积公式列关系式；过点作于点，利用等面积法求出，再利用三角形的面积公式列关系式； （2）根据（1）所得关系式列表、描点、连线，画出函数图象； （3）根据图象，确定两个函数图象交点坐标，再根据在图象下方部分作答． 【小问1详解】 解：在菱形中，对角线、相交于点O，，， ，，，， ， 当时，点在上，此时， ； 当时，点在上，此时， ， ； 如图，过点作于点， ， ， ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）面积的最大值为8，此时点P的坐标为 （3）解：点的坐标为或，过程如下， 由（2）可知，， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点， ∴新抛物线是原抛物线向左和向下分别平移2个单位长度得到的， ∴新抛物线的解析式为， 情况一：当点在下方时， ∵， ∴， 同理可求出直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得或 ∴； 情况二：当点在上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由以上可知，直线的表达式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理，根据，，利用待定系数法求出直线的表达式为， 联立，整理得到， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，进而求出直线的表达式为，设，则，根据，可得，据此求解即可； （3）分两种情况：当在下方时和当在上方时，分别画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1所示，连接， 在中，当时，， 解得， ∴； 设直线的表达式为，将，代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，为平面上一点，以为边在右侧作等边． （1）如图，若，点在边上，求的度数； （2）如图，若，，连接，，的延长线交于，求证：； （3）如图，若，平分，点在直线上，为的中点，连接，求当最小时，的值． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵△是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，延长至点，使，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）先由，判定是等边三角形，得到，，再根据是等边三角形得到，，推导出，利用证明，进而得到； （2）先根据已知条件得到和为等边三角形，再延长至使，由有一个角是的等腰三角形证出是等边三角形，接着利用角的等量代换得到，证明，推出、，结合得到，再计算角度得到，加上对顶角相等证明，得到，最后由以及证得； （3）先由，，平分得到垂直平分，得，结合是等边三角形得，再由旋转得到，，推导出，证明，得到，于是转化为，根据两点之间线段最短，当、、三点共线时最小；连接，连接交于点，连接，延长至点，使，连接，由三线合一得垂直平分，得，即可得，结合得到，证明得，利用F是中点证得，，再由角度推出，证得，可得，进而得，再根据同高三角形面积关系得到，即可求出面积比． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵△是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接、、， ∵，，平分， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，最小， 如图，点、、三点共线，连接，连接交于点，连接，延长至点，使，连接， ∵，， ∴，即平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $