江西南昌市南昌县莲塘第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中作业检测数学试卷

2026-2027学年度上学期高二11月期中作业检测 数学试卷 命题：涂雪义，审题：胡宇婷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.若复数z满足zi=1-i,则z的共轭复数是( ) A.-1-iB.1+iC.-1+iD.1-i 2.椭圆二+亡=1的焦点坐标是( ) 3620 A.（-4,0),(4,0)B.(0,-4),(0,4)C.（-3,0),(3,0)D.(0,-3),(0,3) 3.设aeR,已知直线l:ax+3y-2=0,1:6x+(a-3)y+4=0,若“112”，则a=( )A.a=6 B.a=-3C,a=6或a=-3D.号 4.已知直线1的倾斜角为a,斜率为k,若k∈「-5,1，则a的取值范围为( ) A. π2π C. π3m1 43 5.已知球O内部有一个正四棱锥P-ABCD,且顶点都位于球面上，PA=√3，AB=2,则球O的表 面积为( ) 9 27 A18mB.9mC.4πD.4元 6.如图，二面角a-1-B等于135°，A,B是棱I上两点，BD,AC分别在半平面a,B内，AC⊥1， BD⊥1，且AB=AC=2,BD=V2,则CD=() A.25 B.22C.V14D.4 7.若方程V16-x2-x-m=0有实数解，则实数m的取值范围( A.-4V2≤m≤4V2 B.-4≤m≤4V2 C.-4≤m≤4 D.4≤m≤4V2 8.己知圆C:x-1)2+y+2)2=1,AB为圆C的一条弦，且AB=V3,若圆C2:x-4)2+0y-2)2=r2(r>0) 上存在点P,使得直线PA,PB与圆C相切，则r的取值范围是( 答案第1页（共15页） A.[2,+o）B.[2,6C.[3,+∞) D.[3,7] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在空间直角坐标系O-xz中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有() A.AB=6 B.04.0B=-1 C.若i=(4,2,),且n⊥AB则1=3D.若m=(1,1,k)且m1AB,则k=-2 10.下列结论正确的有（ A.(1,-2)是直线方程为x+y-3=0的一个方向向量。 B.若点M(-3,4),N(3,2),过点P1,0)的直线l与线段MN有公共点，则I的斜率k的取值范围为 (-o,-1]U[l,+0) C.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.直线ax+by+3=0与a2x+b2y+3=0相交于点(1,2)，则过点(a,b),(a2,b2)的直线方程为 x+2y+3=0 11.已知直线1：x+y-k-2=0与圆C:（x-3)2+y2=9,则下列结论正确的是( ) A.直线I过定点(1,2) B.直线I与圆C截得弦长的最小值为1 C.若(m,n)是圆C上的点，则m+n的最大值为3+3v2 D.当k=-1时，圆C上有且仅有4个点到直线l的距离为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线3x+4y-5=0与直线6x+8y+7=0之间的距离为 13.己知圆C:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0有且仅有两条公切线，则m的取值范围是 14.已知直线1：3x+4y-10=0与⊙C:(x-a+(y-2)=4交于A,B两点， (1)a=-1时，AB=: (2)若在圆上或其内部存在一点P,使得∠PB-了则a的取值范国为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知直线1过点A(4,1). 答案第2页（共15页） (1)已知△ABC的一个顶点为A,AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y-2=0,求AC所在直线的 方程. (2)若直线1在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线1的方程； 16.(13分)在如图所示的几何体中，CD⊥平面ABC,CD/1AE,F是BE的中点，AC=BC=1, ∠ACB=90°，AE=2CD=2. D (1)求证：DF⊥平面ABE; (2)求直线AD与平面EBD所成角的正弦值； 17.四棱锥P-ABCD中的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AD=2,且AD的中点为O,平面PAD⊥ 平面1BCD.PA=PD=4,点M在棱PC上，且满是PM-写PC. D D B (1)求证：PA/W平面BOM: (2)求二面角P-BO-M的余弦值. 18.已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，若圆C与y轴相切，与x轴交于A,B两点，且AB=V3.直 线1：x-y-4=0 (1)求圆C的标准方程： (2)过直线1上的点P作圆的切线，切点为I,求切线长PT最小值： (3)M,N为圆C上两动点，且CM⊥CN,求MN中点Q到直线I的距离的最小值. 19.人脸识别技术是一种基于生物特征识别的技术，通过摄像头捕捉人脸图象，提取面部特征，并与 预先存储的人脸特征库进行比对，从而实现身份识别.该技术涉及图象处理、模式识别、机器学习等 多个领域，主要应用距离测试样本之间的相似度.常用的测量距离的方式如下：设A(x,y),B(x2,y2), 定义欧几里得距离D4,B)=V:-x)+0y-2),曼哈顿距离M(4,B)=:-x+以-2，余弦距离 E(A,B)=1-cos(A,B),其中cos(A,B)=cos(OA,OB)(O为坐标原点). 答案第3页（共15页） (1)若A(I,1),B(2,O),分别求D(A,B),M(A,B)和E(A,B),并比较这三种距离的大小. 2若caxx-2或0号） 求E(C,D)的取值范围. (3)己知P,2是直线1：y-1=k(x-)上的两个动点，是否存在直线l,使得M(O,P)n=D(O,Q)mn?若 存在，求出所有满足条件的直线1的方程；若不存在，请说明理由。 《2026-2027学年度上学期高二11月期中作业检测数学试卷》参考答案 绿只互薄 动弱 讲诊 白题断 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B C B D ACD BCD 题号 11 答案 AC 1.C 【详解】因为zi=1-i,所以2=1-i_-妒_i iii-1 =-1-iy 所以z=-1+i. 2.【答案】B 【详解】由题可知焦点在y轴上，且a2=36,b2=20,所以c2=a2-b2=16, 所以c=4,所以椭圆兰+二-1的焦点坐标是(0,4).(0,4). 3620 3.【答案】A 【详解】若“lWl2”,则a(a-3)=18,解得a=-3或a=6, 当a=-3时，直线l:-3x+3y-2=0即3x-3y+2=0,12:6x-6y+4=0即3x-3y+2=0,此时直线与 12重合； 当a=6时，直线l:6x+3y-2=0,2:6x+3y+4=0,此时11l2: 4.A 【详解】因为k=anae[一5]，且ae0列，所以ae引[答小 故选：A 5.B 【详解】如图，作正四棱锥P-ABCD,连结AC,BD,交于点H,连结PH, 答案第4页（共15页） 则PH⊥平面ABCD,因为PA=V3,AB=2,所以AH=√2， PH=1,AH=BH=CH=DH=AC=>PH, 根据对称性，正四棱锥的外接球球心O在高PH的延长线上，连接OC, 球的半径r=OP=OC,则OH=r-1. 在R0mC内，由Cn+0m-0C可得24-=r,解得r-3 故正四棱锥外接球的表面积为S=42=4机 3 =9π. 6.C 【详解】由二面角的平面角的定义知BD,AC=135°， 所以BD.AC=BD AC cos BD,AC=V2×2×cosl35°=-2， 由AC⊥I,BD⊥l,得ACBA=0,BD.BA=0, 又因为DC=DB+BA+AC,所以DC=(DB+BA+AC DB'+BA'+AC+2DB.BA+2DB.AC+2BA-AC =(V2+22+2-2BD.4C=10-2x(-2)=14, 所以DC=4,即CD=14. 7.【答案】B 【分析】将问题转化为直线y=x+m与半圆x2+y2=16(y≥0)有交点，通过数形结合的方式可确定m的 取值范围. 【详解】由16-x2-x-m=0得：V16-x2=x+m, 由y=V16-x2得：x2+y2=16(y≥0)， 则原方程有实根等价于直线y=x+m与半圆x2+y2=16(y之0)有交点， 当直线y=x+m与x2+y2=16相切时， =4,解得：m=42: √2 答案第5页（共15页） 当直线y=x+m过点(4,0)时，m=-4; y=x+4W2/ =x-4 衣 结合图象可知：当4≤m≤4√2时，直线y=x+m与半圆x2+y2=16(y≥0)有交点， 即当-4≤m≤4v2时，方程V16-x2-x-m=0有实数解. 8.D 【详解】 .C2 0 ☒B 圆C:(x-1)2+0y+2)2=1,圆心为(1，-2)，半径为1， |AB=V5,取AB的中点M,CM⊥AB, 1 弦心距CM=-22' PA,PB与圆C相切，所以CA⊥PA,CB⊥PB, C4=CB=1,∠CAM=30°， 所以乙4CP=60,GH=GA=12 cos60°1 2 所以P点轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 要使圆C2上存在满足条件的点P，即圆C2与点P的轨迹圆有公共点， CC=(4-1)2+(2+2}2=5, r-2≤5≤r+2, 答案第6页（共15页） 解得3≤r≤7. 9.【答案】ACD 【详解】对于A,由A(1,2,-1),B(0,11)可知，AB=(-1,-1,2), 故AB=V-)2+(-12+22=6,正确： 对于B,由A(1,2,-1),B(0,1,1)可知，OA=(1,2,-1),OB=(0,1,1), 所以OAOB=0+2+(-1)×1=1,错误； 对于C,若i=(4,2,),且i⊥AB,则n.AB=0,即-4-2+2t=0,t=3,正确： 对于D,若m=(1,l,k)且m1/AB,则设m=xAB(x∈R),那么(L,1,k)=x(-l,-1,2), [1=-x x=-1 1=-x k=2x k=-2’正确 10.BCD 【详解】对于A,错误. 对于B,因为kw= 4-0=-1,kw=3-1 -3-1 _2-0=-1,直线4绕P(1,0)旋转， 如下图所示，故l的斜率k的取值范围为(-o,-1小U[1,+∞)，B正确. y M(-3,4) N(3,2) O/P(1,0) 对于C,mx-y+1-2m=0过定点Q2,), 当直线与过P(3,2),Q2,1)的直线垂直时， 点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大， 2-1=1, 因为k0=3-2 所以m=-1时，点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大.C正确. 对于D,因为直线ax+by+3=0与a2x+b2y+3=0相交于点(1,2)， 答案第7页（共15页） a+2b+3=0 所以有如下方程成立 a2+2b2+3=0' 所以过点(4，b),（a2,b2)的直线方程满足该方程组， 所以过点(a,b),（a2,b2)的直线方程为x+2y+3=0,D正确. 11.AC 【详解】选项A:将直线l的方程整理为k(x-I)+(y-2)=0,对任意k,当x=1,y=2时等式恒成立， 故直线I过定点(1,2)，A正确. 选项B:由题知，圆C圆心为(3,0)，半径r=3,定点P(1,2)到圆心的距离为CP√3-1)2+(0-2)=2√2， 直线与圆相交时弦长为2√~2-d2，其中d为圆心到直线的距离， 当直线I与CP垂直时，d最大，弦长最小，此时d=CP=2√2. 故最小弦长为29-(22=2，不是1，B错误。 选项C:如图所示： V (0) 设t=m+n,令 m,今y=-x+(,其中1为直线y=-x+1在y轴上的截距， x=m y=n 当直线与圆相切时1取得最值，→此时圆心到直线的距离为B=3,→1=3士32， √2 ∴.3-3√2≤t≤3+3V2,.m+n最大值为3+3V2,C正确. 选项D:如图所示： 答案第8页（共15页） x-v+7 当k=-1时，直线1方程为x-y+1=0,圆心到直线的距离dB-0+-22,→，-d-3-22<1, 2 d+1=22+1>3, 故仅靠近圆心的平行于1且距离为1的直线与圆相交的2个交点满足到直线距离为1，不是4个，D错 误. 17 12. 10 【分析】利用平行线间的距离公式求解 【详解】直线：6x+8y-10=0,直线2：6x+8y+7=0, 3 因为k=k=-年G=-10,C=7,所以4%， 所以两直线间距离为：4=lS-C_10-1_17 VA2+B2V6+8210 13.（-24,16) 【分析】先将圆C的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，再根据两圆位置关系与公切线条数的关系， 列出关于m的不等式，进而求出m的范围， 【详解】圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0可化为(x-4)2+(y-3)2=25-m, 所以圆C2的圆心坐标为C,（4,3),半径5=V25-m(m<25) 圆C的圆心坐标为C(0,0),半径r=2, 两圆的圆心距d=√(4-0)2+(3-0)}=5， 因为两圆有且仅有两条公切线，所以两圆的位置关系是相交， 所以|r-5Kd<片+5， 答案第9页（共15页） 即|V25-m-2k5<V25-m+2,解得-24<m<16, 14. 23; (-B 【详解】(1)当a=-1时，⊙C:(x+1)2+(y-2)2=4, 所以圆C的圆心坐标为(-1,2)，半径为R=2. 圆心C(-1,2)到直线1：3x+4y-10=0的距离为 d-Bx(-+4x2-10上5-1. V32+42 5 所以弦长AB=2WR2-dP=2V4-1=23. (2)由⊙C:(x-a+(y-2)}=4,得圆C的圆心坐标为(a,2),半径为R=2. 由在圆上或其内部存在一点P,使得∠APB=行，需使得以AB为弦的圆心角≤120°， 所以圆心C(a,2)到直线1的距离为d≥Rcos60=2×21, 即d=3a+8-10=13a-2≥1，解得13a-2P5,即a≥7或a≤-1. 5 5 3 且直线1：3x+4y-10=0与⊙C:(x-a}+(y-2)}=4交于A,B两点， 所以dBa+8-10_Ba2<2,解得-氵<a<4 5 5 放实数a的数值范用为号-小仔小 15.(1)3x-2y-10=0 (2)x-4y=0或x+2y-6=0 (1)因为AC⊥BH,高BH所在的直线方程为2x+3y-2=0, 所以设直线AC的方程为3x-2y+1=0, 将A(4,1)代入3x-2y+t=0,得12-2+1=0，解得1=-10， 故直线AC的方程为3x-2y-10=0 (2)当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线1的方程为y=c,k≠0， 将44，D代入得，4=，解得k= 放直线1的方程为y京，即x-4y=0, 当截距不为0时，设直线1的方程为+上=1， 2a a 答案第10页（共15页） 将44，D代入得4+=1，解得a=3 2a a 故直线1的方程为2+=1，即x+2y-6=0, 63 所以直线1的方程为x-4y=0或x+2y-6=0: 16.(1)略 (2)v6 3 【详解】(1)取AB的中点G,连接CG,FG, 由F是BE的中点，得GFIIAE,而CDIIAE,则 又GF=)AE=1=CD,于是四边形CDFG是平行四边形，则DF1CG, 2 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,有CG⊥AB, 而CD⊥平面ABC,CDIIAE,则EA⊥平面ABC, 因为CGc平面ABC,得EA⊥CG, 而AB∩EA=A,AB,EAc平面ABE, 因此CG⊥平面ABE,又DFIICG,所以DF⊥平面ABE. E A G (2)已知CD⊥平面ABC,而AC⊥BC,则直线CA,CB,CD两两垂直， 如图，以C为原点，直线CA,CB,CD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 于是A1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E(1,0,2), ,则BD=(0,-1,1),DE=(1,0,1),AD=(-1,0,1), 设万=(x2,y2,z2)是平面EBD的一个法向量， 元-BD=-y+2,=0,故可取=(-，， 则 nDE=x+z=0 设AD与平面EBD的夹角为a, nAD 因此sina=cos<i,AD>= 2 6 |AD3x√互3， 所以AD与平面EBD所成角的正弦值是V6 答案第11页（共15页） 17.【答案】(1)略 (2)5 4 (1)由己知PA=PD,O为AD的中点，.PO⊥AD, 又，平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, .∴.PO⊥平面ABCD, 连接AC,交BO于N,连接MW, .底面ABCD是菱形，∴.AO∥BC, aM0u0,C袋-安 ,AC=3, AN 又兴有瓷袋w% 又MNc平面BMO,PAc平面BMO, ∴.PA∥平面BMO. (2)5 4 (2)连结BD,,底面ABCD是菱形，∠BAD=60°， .△ABD是正三角形，.BO⊥AD 由(1)知PO⊥平面ABCD,∴.PO⊥AD,PO⊥BO, 以0为坐标原点，以OA、OBOP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则O(0,0,0),A1,0,0),B(0,√3,0)，P(0,0,V15) 设平面BM0的法向量n=（x,y,z), 元0B=0 m08=0 w=0由1D知巡W%日P阴=0 [5y=0 ,取z=1,得n=(W15,0,1) x-V15z=0 平面B0P的法向量n,=1,0,0), 设二面角P-BO-M的平面角为0， hn√15 则cos0= 4 答案第12页（共15页) B (2)⑧2 4 3)5v2 4 【详解】(1)由题意可设圆的标准方程为：(x-1)2+(y-b)=1,b>0, 由于圆截x轴所得的弦长AB=V5,故AB=2V-b=5, 结合b>0,故0=分 风此圆的方程为-+个=1 2)于圆心c 圆心到直线x-y-4=0的距离为d= 12,1 V2+(-1)2 4 因此直线1与圆相离， 则PT=PC-r2=VPC-1, 要PT最小，则PC最小即可，要使PG最小，则CPLI时，PC最小，此时PG=d=7N2 IPT-V82 (3)由于CM⊥CN,且CM=|CN=r=1,Q是MN的中点， 故K0-2F-9 因此0点在以C为圆心，半径为CQ=的圆上， 由于C到直线I的距离为d 72 VP+(-)2 4 答案第13页（共15页） 因此0到直线1的最小距离为d-5_52 24 19.(1)D4,)=2,MA,B)=2,EAB)=1-5;E4B)<DAB<M4B (3)存在，y=1或y=x 【详解】(1)因为A1,),B(2,0),所以OA=1,1),OB=(2,0). D(4,B)=V(1-2)2+1-0)2=√2， M(A,B)=1-2+1-0=2, 21 B(4,B)=1-cos(4,B)=1-cosO10B=1-O1-0G=1-2 1OAOB例 2 所以E(A,B)<D(A,B)<M(A,B). 2由已知得oc-(-子-小0-（4得） 所以cos(C,D)=cosOC,OD= 0C.0D -V4r-x+ 3-2) JOCIOD 2× 设a子+-2引=，则有天-5-21： 所以间感转化为半圆y=V4F与直线m:少=5x-2)-有公共点时的取值范围。 即半圆y=√4x-x2与直线m:x-V5y-2-V3=0有公共点时t的取值范围， 由y=√4x-x2转化为(x-2)2+y2=4(y≥0)， 得圆心坐标为(2,0)，半径为2，如图， 当直线m经过点(4,0)时，4=2 3 当直线m与半圆相切时，由d=r,得 2-2-2,解得1=±45 2+-3)2 答案第14页（共15页) 又-2-3>0：解得1<-)，所以1=45 3 综上，4351<25 3 3 v4-+3 因此cos(C,D)= 2*3 2 所以aCD=1-aCDe[}] 3)D0.2m-I-L Vk2+1 设Px,y),则M(O,P)=x+叫=x+-k+1=f(x). 若k=0,则M(O,P)=x+1≥1=D(O,Q)mm,符合题意： 若0则MO乃=内+剡-) 根据分段函数的性质可知MO,P)m=min0),f》, o-k-，且n以-树恒成立 Vk2+1 k2+1 当且仅当k=1时取等号，综上所述，满足条件的直线I的方程为y=1或y=x. 答案第15页（共15页）