精品解析：江西省上饶市蓝天教育集团2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

蓝天中学2026-2027学年度高二数学期中考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算角的正余弦值，再利用正弦的两角和公式展开计算． 【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得； 由两角和公式可知． 2. （   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】因为，所以 ， 因此. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，即， 所以， 所以． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可知，结合余弦二倍角公式将化为，代入求值即可. 【详解】由可得，即，所以. 7. 已知，是第三象限的角，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系，求出，再运用正弦二倍角公式化简后得解. 【详解】，是第三象限的角， 解得： ， 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用 二倍角公式，诱导公式 求解. 【详解】由，得， 故， 二、多选题（共18分） 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，根据诱导公式，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 10. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式、诱导公式、以及同角三角函数关系式逐项分析即可. 【详解】由， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知，，则____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用公式将所求式展开为，再利用完全平方公式与二倍角公式求出的值。结合角的范围确定的符号，开方后代入即可. 【详解】因为，所以，，从而， 因为. 所以, 所以. 13. 已知角的终边过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知：， 所以原式. 14. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式拆角，借助于二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】因，， 则. 四、解答题 15. 已知 是第二象限角 （1）求的值; （2）求，以及的值. 【答案】（1） （2），； 【解析】 【详解】（1），； （2）， ； 16. 已知函数，． （1）求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出，结合得到． （2）利用同角关系式和二倍角公式及两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以，则， 解得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，且，所以， 则， ， 由（1）知，， 则 ． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求与的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，及两角和的正弦公式即可求解； （2）先根据三角形面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而联立即可得到与的值． 【小问1详解】 由， 则， 由正弦定理，得， 即， 因， 则， 又因，则，可得， 故得. 【小问2详解】 由，解得①， 又，由余弦定理，得，即②， 联立①，②，解得，． 18. 如图，已知正方体的棱长为a. （1）正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? （2）求异面直线与夹角的大小； （3）求异面直线与夹角的大小. 【答案】（1） ，，， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 正方体共有12条棱，与平行的棱有，与相交的棱有， 因此余下的4条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是. 【小问2详解】 因为，所以与的夹角就是与的夹角， 因为，所以与的夹角为. 【小问3详解】 连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，故， 从而与的夹角就是与的夹角，连接， 因为，所以是正三角形， 所以与的夹角为，即与的夹角为. 19. 如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求： （1）BE与CG所成的角； （2）FO与BD所成的角． 【答案】（1）45° （2）30° 【解析】 【分析】（1）判断出与所成角，并求得其大小. （2）作出与所成角，并求得其大小. 【小问1详解】 因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°． 【小问2详解】 连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形． 所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓝天中学2026-2027学年度高二数学期中考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 2. （   ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是第三象限的角，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知，，则____________________． 13. 已知角的终边过点，则__________. 14. 已知，则_____． 四、解答题 15. 已知 是第二象限角 （1）求的值; （2）求，以及的值. 16. 已知函数，． （1）求； （2）若，且，求． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求与的值． 18. 如图，已知正方体的棱长为a. （1）正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? （2）求异面直线与夹角的大小； （3）求异面直线与夹角的大小. 19. 如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求： （1）BE与CG所成的角； （2）FO与BD所成的角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $