广东省惠州市惠阳中山中学等校联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学答案 1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7.D 8．B 9．AC 10．AC 11．ACD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）因，，，设中点为， 则得，即， ——————1分 则直线的方程为，即； ——————3分 （2）的中点， ——————4分 斜率为， 则其垂直平分线的斜率为， ——————5分 故有，即. ——————7分 （3）依题意，当截距为时，直线过原点和点， 则其方程为，即； ——————9分 当截距不为时，依题意，可设直线， 代入点，解得， ——————11分 则得，即. ——————12分 综上，的方程为或. ——————13分 16．【详解】（1）由，，可得， 故； ——————3分 （2）易得，又， 且， ——————6分 则向量在向量上的投影向量为 ； ————9分 （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， ————11分 又因，， ————13分 解得．故． ————15分 17．【详解】（1）由，，可得AB的中点坐标为， 直线AB的斜率，故AB的垂直平分线的斜率为1， 则AB的垂直平分线方程为，即. ————3分 因为圆心在直线上， 联立，解得，即圆心， ————6分 半径， ————7分 故圆C的标准方程为. ————8分 （2） 由题意得直线的方程为， 整理为一般式得， ————9分 圆心到直线的距离， ————12分 由垂径定理，弦长. ————15分 18．【详解】(1)取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点， ， , ， ————1分 ∴四边形是平行四边形，， ————2分 又平面, 平面平面． ————4分 （2），，，， ∵平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又平面，，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ————6分 如图：则，，，，， 为棱的中点，， （i）， ， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则 ， ————8分 平面的一个法向量为，所以， 所以平面平面夹角的余弦值为； ————10分 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 ，则， ， ————12分 由（2）知平面的一个法向量为， ， 所以点Q到平面的距离是，解得，————15分 所以， 所以 ． ————17分 19．已知圆经过点，且与圆相切于点． (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 【答案】（1）设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得. 所以圆的方程为:. ————3分 (2)（i）证明：由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称， 所以； ————4分 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 代入圆的方程，得， 化简得. ————5分 由， 设，则. ————6分 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. ————8分 因为，所以.————9分 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. ————10分 （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零. 由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为. 线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 所以线段的垂直平分线为. 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为， 即外接圆圆心坐标为，其横坐标为. ————12分 当直线的斜率存在时，线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. ————13分 线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. ————14分 由，得. 整理得，， ————15分 即， 所以. 因为，且. 所以. ————16分 即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为， 即外接圆圆心的横坐标为. 综上，外接圆圆心的横坐标为. ————17分    2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 2026.11 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则l的倾斜角为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．若直线与直线（）平行，则这两条直线间的距离为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．在正方体中，已知M、N分别是AB1、的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为△ABC的欧拉线。已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（　　） A．x+y-4=0　　　B．x-y+4=0　　　C．x+y+4=0　　　D．x-y-4=0 5．已知直线x-ay+2a-4=0恒过定点M，则以点M为圆心，半径为1的圆的方程是（　　） A．　　　B C．　　　D． 6．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（　　） A．6　　　B．36　　　C．10　　　D． 7．已知点，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值是（　　） A．3　　　B．4　　　C．5　　　D． 8．在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（　　） A．96π　　　B．84π　　　C．72π　　　D．48π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知分别为直线的方向向量（），分别为平面α,β的法向量（α,β不重合），则下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知直线，圆，则下列结论正确的是（　　） A．过点(2,-2)且与直线l平行的直线方程是x-y-4=0 B．直线l在两坐标轴上的截距相等 C．k的取值范围为(-∞,13) D．当k=4时，圆面积为16π 11．已知圆，直线l过点P(-1,3)，且与圆O交于A,B两点，则（　　） A．线段AB长度的最小值为2 B．△AOB面积的最大值为 C．直线l与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值为6 D．过点P作直线l的垂线交圆O于C,D两点，则线段BD的中点E到原点O的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点(3,2)且垂直于直线x-2y+1=0的直线方程为＿＿＿＿＿＿．（写一般式方程） 13．如图，二面角α-l-β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，，且，则CD=＿＿＿＿＿＿． 14．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）已知，求（均写出一般式方程）： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； (3)过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．（本题满分15分）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面ABC内，求m的值． 17．（本题满分15分）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线x-2y-6=0上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(0,4)斜率为的直线l与圆C交于M,N两点，求直线l被圆C截得的弦|MN|的长． 18．（本题满分17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，，M为棱PC的中点． (1)证明：BM∥平面PAD； (2)若． ①求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； ②在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分17分）已知圆C经过点(0,2)，且与圆相切于点(-2,0)． (1)求圆C的方程； (2)过(1,0)的直线l与圆C交于A,B两点，点M的坐标为(4,0)． ①证明：； ②求△MAB外接圆圆心Q的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $