广东茂名市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

茂名市第一中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B B D B B A ACD AB ABD 12．9 13．3 14． 15．（1）由题意，解得， 2分 因为优秀志愿者的频率为， 3分 所以估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数有：人； 4分 （2）由图可知这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为， 7分 设中位数为，服务时长在3~7小时的频率为， 服务时长在3~9小时的频率为， 所以， 而，解得， 10分 这20名志愿者当周志愿服务时长的样本平均数为 ． 13分 16．（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”， 1分 由题意可知事件A、B相互独立． 2分 因为两轮选拔之间相互独立 所以，． 4分 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率． 8分 （2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立． 则． 10分 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 14分 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率． 15分 17．【详解】（1）因为椭圆C：的一个顶点为，所以， 因为椭圆C的离心率为，所以， 所以椭圆C的方程为； 3分 （2）设，， 联立消去y得，，， 则，， 5分 所以， 7分 点到直线的距离， 8分 所以的面积； 9分 （3）设，， 联立消去y得，，则， 由得， 11分 设线段的中点为， 则，所以， 12分 因为，所以， 所以，解得，满足，所以． 15分 18．（1）证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 1分 因为平面平面，面，所以， 3分 因为，所以； 4分 （2）（i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直，以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，或者， 当是时， 所以，， 5分 设平面的法向量为， 由可得取，则，， 所以， 7分 设直线与平面所成角为， 则 9分 同理当是，，， 可求其一个法向量为， 故直线与平面所成角正弦值或． 10分 （法二：几何法）当时，补体成长方体， 过点作于点，连接，， 因为面，面，所以． 又因为，，面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 7分 在中，，所以， 在中，，， 所以． 9分 当时，同法一． 故直线与平面所成角正弦值或． 10分 （ii）当时，，， 因为，所以， ． 11分 设平面的法向量为 ， 可取． 13分 设平面的法向量为，，则： 可取． 14分 设平面与平面所成锐二面角为． 15分 化简得 解得：或，经检验，均满足． 当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时， 实数的值为或． 16分 情形二：当时，，， ， ． 设平面的法向量为 ， 可取． 设平面的法向量为，则： 可取． 设平面与平面所成锐二面角为． 化简得 解得：或，经检验，均满足． 当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时， 实数的值或． 综上所述的值为为或或或． 17分 19．（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 1分 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为2， 3分 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 4分 当切线斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为， 5分 所以过点的圆的切线方程为或． （2）①设点，则，，， 因为，，所以， 7分 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 8分 又，，解得，所以常数． 10分 ②由①知，，所以圆，，， 曼哈顿距离：． 11分 因为直线过，与圆交于，，且为的中点，设，则， 由在圆上，得．（1） 又在圆上：，故有解． 两式相减得． 13分 故直线与圆有公共点， 故圆心到该直线的距离小于等于1，所以， 整理得，解得，所以， 15分 令，在上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，时取最大值，值域为； 当，，在上单调递增，值域为； 综上所述，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $茂名市第一中学2026一2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮 贴条形码区 擦干净 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书 写无效 5.保持答卷清洁、完整 正确填涂 ■缺考标记☐ 1 ABCD5ABCD9ABCD 2 BCD6AB□CD10AB□CD 3 B□CD7ABD11BCD 4 AB]C]D]8A□B]CID] 12 13 14 15 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效 口口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口口■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口口■ 0 请在各题目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 D 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效 ■ 口口■口 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口■口 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答梁无饭 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口■口 ■ 茂名市第一中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 2．经过点，倾斜角为的直线方程是（ ） A． B． C． D． 3．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是（ ） A． B． C．2 D． 4．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A．900 B．800 C．700 D．600 6．已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ） A．3 B． C．2 D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为上的一点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆，点在直线上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（ ） A．事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B．事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 C．事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 D．事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 10．已知直线：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．对于，直线与圆相交 C．对于，圆上恒有4个点到直线的距离为1 D．若，直线与圆交于，两点，则的最大值为2 11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知一组数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则这组数据的第75百分位数是______． 13．两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且、均为实数，则______． 14．已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示： （1）求的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数； （2）求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）． 16．某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔．第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试．最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立．现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，． （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率． 17．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点坐标为，直线与椭圆交于、两点，求的面积； （3）若直线与椭圆交于、两点，且，求的值． 18．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若点在线段上一动点，且．当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求实数的值． 19．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）． ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $