广东广州市明珠高级中学2026-2027学年高二第一学期期中考试数学试卷

广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期高二年级数学学科期中 考试卷 说明：本评分细则依据期中考试参考答案制定，供阅卷统一执行。解答题按步骤给分，若考生的解法与参 考答案不同，只要推理正确、步骤完整，可参照本标准按步骤等价给分。 【答案】1.A2.B 3.A 4.C5.A6.B7.B8.A 9.AC 10.BD 11.ABD 12.2x+y-1=0 13.8 14 15.(本小题13分) 解：（④4A(-10.8(1,2.kag=2号=1，…1分 于是直线AB的方程为y-0=1X(x+1),…3分 聊y=x+1,即x-y+1=0;…5分 (2)设动点P(xy),于是引PA2+|PB2=24,…7分 代入坐标得(x+1)2+y2+(x-1)2+y-2)2=24,…10分 化简得x2+(y-1)2=10,…12分 于是动点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=10.…13分 16.(本小题15分) 解：(1)由题可知k4B=。=一1，所以线段AB的中垂线的斜率等于1，…1分 2-3 又因为AB的中点为(，) ………2分 所以线段AB的中垂线的直线方程为y-方x-多即x-y-2=0, …4分 联化y240解为二名所以题心c20,…5分 又因为半径等于AC|=1,…6分 所以圆C的方程为(x一2)2+y2=1.…7分 (2)设圆C的半径为r,则r=1,…8分 若直线的斜率不存在，因为直线过点(3,2)，所以直线方程为x=3,…9分 此时圆心C(2,0)到直线x=3的距离d=1=T,满足题意； 第1页，共6页 若直线的斜率存在，设斜率为k, 则切线方程为y-2=k(x-3),即kx一y+2-3k=0,…10分 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=一是=1，解得k=圣 ……12分 √k2+1 所以切线方程为x-y+2-呈=0，即3x-4-1=0,…14分 所以切线方程为x=3或3x-4y-1=0.…15分 17.(本小题15分) 解：(1)证明：在四棱锥S一ABCD中，连接BD交AC于点F,则F为BD的中点，…1分 连接EF. E为BS的中点， EF/SD,…2分 又SD平面ACE,EFC平面ACE,…4分 SD/平面ACE.…5分 D M 'O B (2)方法一：四边形ABCD是菱形，且LABC=120°， ∴△ABD为正三角形，取AB的中点O,连接OD,OS, 则OD⊥AB,…7分 .平面ABS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB, ∴.OD⊥平面ABS, ，…8分 △ABS是正三角形，OS1AB.…9分 以0为原点，分别以OS,OB,OD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系0xyz. 又AB=4,则A(0,-2,0),D(0,0,2W3),S(2W3,0,0),B(0,2,0),E(W3,1,0),…11分 ∴AD=(0,2,2V3),AS=(2V3,2,0) 设平面ASD的法向量为元=(x,y,z), 第2页，共6页 则丽·7=0即2y+2W3z=0, (A.元=0，(2W3x+2y=0, 令x=√3，则7=(W3,-3,√3).…13分 又SE=(-V3,1,0) 设点E到平面ASD的距离为d, 则d-丽-裂-压 ,…14分 动 V3+9+3 即点E到平面ASD的距离为2正 …15分 5 42 0 方法二：四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°， △ABD为正三角形，取AB的中点O, 连接0D,OS,则0D1AB, 又平面ABSI平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB, OD1平面ABS.…8分 △ABD,△ABS是正三角形，AB=4,易得0D=OS=2V3, S△B5A=S△A5B=23,连接DE, V0-ABs=3×2W3×2W3=4.…10分 由0D10S,.DS=V0S2+0D2=26, 取DS的中点M,连接AM. AD=AS=4,∴.AM L DS, ·AM=42-(W62=√1而， 可得SaAs=3×2W6×V10=2W15. …12分 设点E到平面ASD的距离为h,由VD-ABs=VE-ADs, 第3页，共6页 得号×SA4Ds×h=号×2V15h=4,…13分 解得h=2Y压，即点E到平面ASD的距离为2 5 …15分 5 18.(本小题17分) (1) 证明：平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD,AB⊥AD, 六AB1平面PAD,…2分 PDC平面PAD .AB L PD,…3分 又PD1PA且AB∩PA=A,PA、ABC平面PAB.PD⊥平面PAB,…4分 (2)解：取AD中点为0，连接P0、C0, 又PD=PA,P01AD,…5分 则A0=P0=2 AC=CD=2W2,∴.C01AD,则C0=VAC2-A02=2, 以0为坐标原点，分别以O元，OA,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， P(0,0,2),B(1,2,0),D(0,-2,0),2,0,0)…7分 PB=(1,2,-2),PD=(0,-2,-2),PC=(2,0,-2),CD=（-2,-2,0) 设元=(x1,y1,z1)为平面PCD的一个法向量， 油径PD=0得{52y7220令2=1，则航=1，-1,1)…9分 n.P元=0(2x-2z=0 设PB与平面PCD所成角的角为6， sin0=|cos<元，PB>|= 调=1-9 R-PB …11分 (3③)解：假设在棱PB上存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为5， 由(2)可知，A(0,2,0),B(1,2,0),P(0,0,2), ·AP=(0,-2,2),AD=(0,-4,0)设PM=PB=(,2λ，-2)，1∈[0,1]. .AM=AP+PM=(),21-2,2-2).…13分 设m=(x2,y2,z2)为平面ADM的一个法向量， 由A=0得x+(21-2)y+(2-2)z=0 元.AD=0-4y=0 则m=(21-2,0,),…15分 易知平面ABCD的一个法向量为0P=(0,0,2), 设平面ADM与平面ABCD的夹角为a. 第4页，共6页 ·cos=lcos<m,Op>|= m-Op 21 (21-2)2+2×2 1=分 ”PB2 …17分 D 19.(本小题17分) 解：(1)依题意，曲线C是以点M(-2,0)、N(2,0)为左右焦点，长轴长为2V6的椭圆， 所以c=2,a=V6,所以b=√2， 所以曲线C的方程为号十号-1：…4分 (2)①直线AB方程为x=2, X=2 传+1= 31 由QA·QB=0,得点Q的轨迹是以线段AB为直径的圆， 而N(2,0)为线段AB的中点， 所以动点Q的轨迹方程为(x-2)少+y2=子 …8分 ②当直线DE斜率存在且不为0， 设直线DE:y=kx+m,D(x1,y1),E(x2,y2): 庙号+与.消去得1+32x2十6mx+3m26=0,0分 (y=kx+m 则4=(6km)2-12(1+3k2)(m2-2)=12(6k2-m2+2)>0, 6km X1+X2= 1+3k2, 第5页，共6页 由D,E两点为直径端点作圆P,圆心P恰好在直线AB上， 得D,E中点P在直线x=2上， 则%十=微=4.整理得m=一员-2水。…13分 B 直线DB方程为y=kx-录-2k, 令x=2,则y=-品即P2,-录) 因此直线y+录=-化-2)，即y=-c)…15分 所以直线过定点(，0)， 当直线DE斜率不存在时，直线l的方程为y=0, 此时直线也过定点（专，0）， 综上所述：直线恒过定点（传，0）.…17分 第6页，共6页绝密★启用前 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1,答题前填写姓名、班级、考场号、座位号： 2.选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答； 3.考试结束后交回答题卡和试卷。 第I卷（非选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线y=x-3的倾斜角是() A.45 B.60° C.120° D.135° 2.已知空间向量d=(m+1,m,-2),b=(-2,1,4),且a1万，则m的值为) A-9 B.-10 C.10 D 3.若方程x2+y2+6x+m=0表示一个圆，则m的取值范围是() A.(-∞，9) B.(-∞，-9) C.(9,+∞) D.（-9,+o∞) 4.如图，在三棱锥0-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=d,OB=6,O元=c,BD等于() A.-a+b-c B.a-b+c c.a-万+ D.-a-石- B 5.己知圆C:(x-3)2+0y-4)2=9,直线：mx+y-2m-3=0.则直线l被圆C截得 D 的弦长的最小值为() A.2W7 B.V10 C.2V2 D.6 6已知椭圆C:景+发-1a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,A为C上一点直线A5,与C交于另一点B,若 AF=3F2B,I0F1=|OA,则C的离心率为() A B.V② c D.② 4 7.如图，在直三棱柱ABC-A′B'C′中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=1，E、 A F F分别为A'B',AB的中点，则直线FC到平面AEC'的距离为() A号 B c-9 D-9 第1页，共4页 8已知椭圆C号+y2=1,以原点0为圆心，椭圆C的短轴长为直径作圆C1,以椭圆C右顶点为圆心，以长轴长 为直径作圆C2,过动点P(m,n)作直线PA与圆C1切于点A,作直线PB与圆C2切于点B,若|PB|=2PA,则实数 m的取值范围为() A.[-2) B.[-2,J c.[-2,] D.[-2,) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知直线：(a+2)x+ay-2=0与n:(a-2)x+3y-6=0,下列选项正确的是() A.若//m,则a=6或a=-1 B.若l1n,则a=1 C.直线恒过点(1，-1) D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y=号x-2 10,设椭圆C号+尸=1的左右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,点P是椭圆C上的动点，则下列结论 正确的是() A离心率e=y 2 B.△PF1F2面积的最大值为1 C.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-1=0相切 D.kAkB为定值-方 11.如图，己知二面角a-l-B的棱l上有A,B两点，CEa,AC⊥l,D∈B,BD1l,且AC=AB=BD,则 () A.当a1B时，直线CD与平面B所成角的正弦值为3 B.当二面角a-1-B的大小为60时，直线AB与CD所成角为45° C.若CD=2AB=2,则三棱锥A-BCD的外接球体积的为5n 6 D D.若CD=2AB,则二面角C-BD-A的余弦值为2 7 第IⅡ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为 13.若直线：mx+y-1=0(m,n>0)始终平分圆c:x-1)2+0y-2)2=4的周长，则2+的最小值 为 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭 圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， D 设椭圆M:分+登=1a>b>0)的左、右焦点分别为F1,r,若从M右焦点 第2页，共4页 F,发出的光线经过M上的点A和点B反射后，满足AB1AD,且cos-ABC=号，则M的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在平面直角坐标系x0y中，己知A(-1,0),B(1,2). (1)求直线AB的方程： (2)平面内的动点P满足，到点A与点B距离的平方和为24，求动点P的轨迹方程. 16.(本小题15分) 己知圆C经过A(3,0)和B(2,1)两点，且圆心在直线2x+y-4=0上. (1)求圆C的方程； (2)从点(3,2)向圆C作切线，求切线方程。 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=4,∠ABC=120°，点E是BS的 中点. (1)求证：SD//平面ACE; (2)若平面ABS⊥平面ABCD,求点E到平面ASD的距离. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PADI平面ABCD,△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD, AB=1,AD=4,AC=CD=2V2. (1)求证：PD1平面PAB; (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值 为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。 19.(本小题17分) 己知曲线C上任一点到两点M(-2,0)、N(2,0)的距离之和为2V6. (1)求曲线C的方程； (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A,B两点. ①若QAQB=0,求动点Q的轨迹方程： ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P,点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线L,则直线是否经过某定 点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 第4页，共4页绝密★启用前 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期高二年级数学学科期中 考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.直线y=x-3的倾斜角是() A.45° B.60° C.120° D.135° 【答案】A 【解析】解：因为直线y=x-3的斜率k=1, 设直线的倾斜角为a,a∈[O,), 可得k=tama=1,可得a=至，即45. 故选：A. 2.已知空间向量a=(m+1,m,-2),万=(-2,1,4)，且a1万，则m的值为() A-号 B.-10 C.10 D号 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查的知识要点：空间向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维 能力，属于基础题。 直接利用向量垂直的充要条件和向量的坐标运算的应用求出结果， 【解答】 解：空间向量元=(m+1,m,-2),b=(-2,1,4,且a1b, 所以-2(m+1)+m-8=0, 解得m=-10. 故选：B 3.若方程x2+y2+6x+m=0表示一个圆，则m的取值范围是() A.(-∞，9) B.(-∞，-9) C.(9,+∞) D.(-9,+o) 【答案】A 【解析】【分析】 第1页，共19页 本题考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题. 运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【解答】 解：由x2+y2+6x+m=0,得(x+3)2+y2=9-m>0,则m<9. 故选：A 4.如图，在三棱锥0-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=d,OB=五OC=c,BD等于() D A.-a+B-c B.a-b+c C.jd-B+jd D.五-方- 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题. 利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可. 【解答】 解：由题意在三棱锥0-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c, 可知：BD=B0+OD,B0=-b, o0-0i+0c=+, B而=拉-6+之. 故选：C 5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,直线l:x+y-2m-3=0.则直线被圆C截得的弦长的最小值为 () A.2V7 B.√10 C.2W2 D.V6 【答案】A 【解析】【分析】 第2页，共19页 本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，直线过定点问题，属于中档题 由题意可证直线恒过的定点P(2,3)在圆内，当CP1时直线被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即 可求解。 【解答】 解：直线l:mx+y-2m-3=m(x-2)+y-3=0 今化-子二8解利化二子所以直线n过定点P2. 圆C:(x-3)2+y-4)2=9的圆心为C(3,4,半径为r=3, 且|PC2=(2-3)2+(3-4)2=2<9,即P在圆内， 当CP1时，圆心C到直线的距离最大为d=PC|=√2， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为2V2-dz=2√7. 故选：A. 6.已知椭圆C: 爷+片=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为c上一点.直线A那，与C交于男 点B,若AF=3F2B,IOF1=IOA,则C的离心率为() A号 B号 c D 【答案】B 【解析】解：设1F2B=m,则AF2l=3m,1AF1=2a-3m,lBF1=2a-m, 因为0F=I0A=1F1F2,所以F1A1F2A, 则在Rt△F1AB中，(2a-3m)2+(4m)2=(2a-m)2, 解得m=所以AF2l=a,IAFl=a, 在Rt△F1AF2中，Q2+Q2-(2c)2,所以离心率e=9=三 Γ2 故选：B. 7.如图，在直三棱柱ABC-A'B'C′中，∠ABC=90°， AB=BC=BB'=1,E、F分别为A′B′，AB的中点，则直线FC到平面AEC/ 的距离为() A号 第3页，共19页 C.、6 6 D四 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查点面、线面、面面距离的向量求法，属中档题， 建系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面AEC'的距离，又可证得CF//平面AEC',即可得出直 线FC到平面AEC'的距离. 【解答】 解：以B′为原点，B'C′，B′A',B'B所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： ZA F B A E 则A0,1,1),B(0,01),E(0,20),F(0,21),C′(1,00)， 所以AE=(0,-2-1),EC7=(1,-,0),AF=(0,-2,0), 设平面AEC'的法向量为元=(x,y,Z), 则0 -y-2=0 元.EC=0’ 即 取元=(1,2，-1) (x-2y=0 又AF=(0,-3,0), 所以点F到平面ABC'的距离为AF列=I0+(-1)+0!=6 √6 6 又易知EF/CC′且EF=CC',所以四边形EFCC'是平行四边形， 所以CF/C'E,又C′EC平面AEC′，CF￠平面AEC′， 所以CF//平面AEC′， 第4页，共19页 则点F到平面AEC'的距离即为直线FC到平面AEC'的距离. 故选：B. 8已知椭圆c:号+2=1，以原点0为圆心，椭圆C的短轴长为直径作圆C1,以椭圆C右顶点为圆心，以长 轴长为直径作圆C2,过动点P(m,n)作直线PA与圆C1切于点A,作直线PB与圆C2切于点B,若 IPB|=2PA,则实数m的取值范围为() A[-2,) B.[-2J c.[-2,] D.[-2,) 【答案】A 【解析】解：由题意得圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=4, 设圆C1,C2的圆心分别为C1,C2, 直线PA与圆C1切于点A,作直线PB与圆C2切于点B, 在Rt△PAC1和Rt△PBC2中，IPB|=2|PA,IBC2|=2|AC1l 则得1PC2=2PC,√0m-22+m=2√m2+,整理得(6m+}+n2=号 所以P(m,n)的轨迹是以(-子，0)为圆心，为半径的圆落在圆C1,C2外面的部分. 利用6x+)2+y2-2-y2=9-1得x=量 故实数m的取值范围为[-2，)， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线l:(a+2)x+ay-2=0与n:(Q-2)x+3y-6=0,下列选项正确的是() A.若l/m,则a=6或a=-1 B.若l1n,则a=1 C.直线恒过点(1，-1) D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y=了x-2 【答案】AC 第5页，共19页 【解析】【分析】 本题考查直线的平行、垂直求参数以及直线恒过定点和直线的斜截式方程，属于基础题. 根据直线的相关知识一一判断即可. 【解答】 解：若l//n,则3(a+2)=a(a-2),解得a=-1或a=6,经检验，均符合，故A正确； 若l1n,则(a+2)(a-2)+3a=a2+3a-4=(a+4(a-1)=0,解得a=1或a=-4,故B不正确； :a+2x+y-2=0得ac+)+2x-2=0,则吃》20。闲化1所以恒过点(L-,故C 正确； 若直线n在x轴上的截距为6，则。，=6，得a=3,所以直线n的方程为x+3y-6=0, 斜截式为y=一3x+2,故D不正确. 10设椭圆C:号+y-1的左右焦点分别为FF,左右顶点分别为A,B,点P是椭圆C上的动点，则下列 结论正确的是() A离心率和-罗 B.△PF1F2面积的最大值为1 C.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-1=0相切 D.kpA为定值-月 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题。 根据椭圆的定义和几何性质逐项判断即可. 【解答】 解：依题意a=√2，b=1,c=1, 所以e-台=方=受，故A错误： 对于B选项，1F1F2引=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时， △PF1F2的面积取得最大值为2c·b=c·b=1,故B正确： 对于C选项，线段F1F2为直径的圆，其圆心为(0,0)，半径为c=1, 圆心到直线x+y-1=0的距离为始=号.圆心到直线的距离不等于半径。 第6页，共19页 所以C选项错误； 设Pk,,则哈+y2=1,x∈V2,V☑， 又A(-V20).B(2,0),kA=2kg=a 根据椭圆方程知，x2-2=-2y2, 则akp=-子 故D正确， 故选BD. 11.如图，己知二面角a-l-B的棱l上有A,B两点，C∈a,AC1L,D∈B,BD1l,且AC=AB=BD, 则() A当α1B时，直线CD与平面B所成角的正弦值为号 B.当二面角a-1-B的大小为60时，直线AB与CD所成角为45° C.若CD=2AB=2,则三棱锥A一BCD的外接球体积的为5r 6 D.若CD=2AB,则二面角C-BD-A的余弦值为Y7 7 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，二面角，球的体积，球的切、接问题，线面垂直的判 定，线面垂直的性质，利用余弦定理解三角形，利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于中档题， 对A:借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对B:借助二面角的定义，作出 平行直线AB且与CD相交的直线即可计算异面直线夹角：对C:找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底 面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积：对D:借助二 面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得 【解答】 解： 第7页，共19页 对A选项：当1时， 因为anB=L,AC1L, 所以AC⊥B, 所以直线CD与平面B所成角为LCDA, 又因为ADCB,所以AC1AD, 因为BDII,AC=AB=BD, 所以AD=V2AB=V2AC, 所以sintCDA=AC CD AC 3,故4A正确： V3 AC2+(ZAC)2 对B选项：如图，过A作AE/BD, 且AE=BD,连接ED,EC, E 则四边形ABDE为正方形， 所以AB/IDE, 所以∠CDE即为直线AB与CD所成角， 因为BD⊥L,四边形ABDE为正方形， 有AE/BD,所以AE⊥1， 又因为AC1L,所以LCAE即为二面角a-l-B的平面角，即LCAE=60°， 由AC⊥I、AE1I、AC∩AE=A, AC、AEC平面ACE, 所以L⊥平面ACE, 又四边形ABDE为正方形， 所以DE/L, 所以DEI平面ACE, 又CEc平面ACE,所以DE⊥CE, 第8页，共19页 由AC=BD且四边形ABDE为正方形，∠CAE=60°， 所以AC=AE=CE, 所以tanCDE=1,即∠CDE=45°， 即直线AB与CD所成角为45°，故B正确： 对于D,如图，作AE/IBD,且AE=BD, 则二面角a-l-B的平面角为∠CAE, 不妨取CD=2AB=2, ! H 由CD=2,在Rt△DCE中，易得CE=√3， 在△ACE中，由余弦定理得COsCAB=-号 所以∠CAE=120°， 过C点作CO L AE交线段EA的延长线于点O, 则COI平面ABDE, 过O点作OH L BD,交线段DB的延长线于点H,连接CH, 则∠CHO为二面角C-BD一A的平面角， 易得C0=罗H0=1,cH= 2 所以os2CH0==2,故D正确， CH 对C选项：同选项D可知∠CAE=120°， 如图，分别取线段AD,AE的中点G,M,连接GM,过G点作平面B的垂线， M D.G 第9页，共19页 则球心0必在该垂线上， 设球的半径为R,则OE=R, 又△AC5的外接钢半径r=×=1, 则R2-1+周-是 所以四面体A-BCD的外接球的体积为R-5, 故C错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为 【答案】2x+y-1=0 【解析】【分析】 本题考查利用待定系数法求直线的方程，与ax+by+c=0垂直的直线的方程为bx-ay+m=0的形 式.设与直线x-2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0,把点P(-1,3)的坐标代入求出c值，即 得所求的直线的方程. 【解答】 解：设所求的直线方程为2x+y+c=0, 把点P(-1,3)的坐标代入得-2+3+c=0,.c=-1, 故所求的直线的方程为2x+y-1=0, 故答案为2x+y-1=0. 13.若直线：mx+ny-1=0(m,n>0)始终平分圆C:(x-1)2+0y-2)2=4的周长，则2+的最小值 为 【答案】8 【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆的位置关系、基本不等式求最值及由标准方程确定圆心，属于较易题. 根据直线过圆心可得m+2n=1,再由“1”的技巧及基本不等式求解. 【解答】 解：由题意，直线经过圆心(1,2)， 故m+2n=1,m,n>0, 所哈+片(m+2后+片)=4+祭片>4+2贤受=8， m 第10页，共19页 当且仅当铅=兴，即m=:n=时等号成立. 4 故答案为：8 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光 线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， 设椭圆M: 忌+分-1Q>b>0)的左、右焦点分别为，P2,若从M右焦点F,发出的光线经过M上的点A y2 和点B反射后，满足AB1AD,且cos∠ABC=爱则M的离心率为一 D 【答案】 3 【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义以及几何性质，求椭圆的离心率，属于中档题 由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段表示，结合双曲线的定义根据齐次方程的思想，可得答 案. 【解答】 解：由题意，连接AF1,BF1,可作图如下： F B 由题意可知A,D,F1三点共线，B,C,F1三点共线， 在△ABF:中，AB1AD,且cOs∠ABC= 则cos乙AB1-号-，smAB1=1-cas2ABF-音 ABI:AF:BF=3:4:5, 可设1AB引=3k,IAF1=4k,|BF1=5, 第11页，共19页 ABI+AF+BF1l=AF2+BF2+AF+BF1l=4a, 则3k+4k+5k=4a,即3k=a, IAF2l 2a-AFl=2k, 在Rt△AF1F2中，|F1F2l=VIAF1l2+IAF22=2V5k=2C, 则e=5=29=25k=5 a 2a 6k 3 故答案为：号 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 在平面直角坐标系x0y中，已知A(-1,0),B(1,2). (1)求直线AB的方程： (2)平面内的动点P满足，到点A与点B距离的平方和为24，求动点P的轨迹方程. 【答案】解：（⑩A(-10B(L,2.kg=骨=1， 于是直线AB的方程为y-0=1×(x+1),即y=x+1,即x-y+1=0; (2)设动点P(x,y),于是|PA2+|PB12=24, 代入坐标得(x+1)2+y2+(x-1)2+(y-2)2=24, 化简得x2+y-1)2=10, 于是动点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=10. 【解析】本题考查直线的点斜式方程，考查与圆相关的轨迹问题，属于基础题， (1)结合点斜式求得直线AB的方程； (2)设P(x,y),根据已知条件列方程，化简求得动点P的轨迹方程. 16.(本小题12分) 己知圆C经过A(3,0)和B(2,1)两点，且圆心在直线2x+y-4=0上. (1)求圆C的方程； (2)从点(3,2)向圆C作切线，求切线方程. 【答案】解：（四由题可知k49==-1,所以线段AB的中垂线的斜率等于1， 又因为AB的中点为（得，）： 所以线段AB的中垂线的直线方程为y号x一多即x-y-2=0, 第12页，共19页 联化24。°解利形日所以圆心c亿0。 又因为半径等于|AC|=1, 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=1. (2)设圆C的半径为r,则r=1, 若直线的斜率不存在，因为直线过点(3,2)， 所以直线方程为x=3, 此时圆心C(2,0)到直线x=3的距离d=1=r,满足题意； 若直线的斜率存在，设斜率为k, 则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0, 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=是=1，解得k=圣 √k2+1 所以切线方程为x-y+2-?=0,即3x-4y-1=0, 所以切线方程为x=3或3x-4y-1=0. 【解析】本题考查求圆的标准方程，圆的切线方程，两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定及应用， 属于中档题. (1)根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解； (2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解 17.(本小题12分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=4,∠ABC=120°，点E是 BS的中点。 (1)求证：SD/平面ACE, (2)若平面ABSI平面ABCD,求点E到平面ASD的距离. D 第13页，共19页 【答案】解：(1)证明：在四棱锥S-ABCD中，连接BD交AC于点F, 则F为BD的中点，连接EF ~E为BS的中点， ∴EF/SD, 又SD￠平面ACE,EFc平面ACE, ·.SD/平面ACE. D M (2)方法一：四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°， ∴△ABD为正三角形，取AB的中点O,连接0D,OS, 则OD1AB, 平面ABSI平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB, .OD1平面ABS. △ABS是正三角形，∴.OS⊥AB 以O为原点，分别以OS,OB,OD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系0xyz. 又AB=4,则A(0,-2,0),D(0,0,2N3),S(2W3,0,0),B(0,2,0),E(N3,1,0) AD=(0,2,2√3)，AF=(2√3,2,0) 设平面ASD的法向量为元=(x,y,Z), 则丽·元=0即2y+23z=0, A.元=0，(2W3x+2y=0, 令x=√3，则=(3，-3，V3). 又SE=(-V3,1,0) 设点E到平面ASD的距离为d, 则d=西-3+到-君15 -V3+9+3 即点E到平面ASD的距离为2压， 第14页，共19页 42 E 方法二：~四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°， ∴△ABD为正三角形，取AB的中点O, 连接0D,OS,则OD1AB, 又平面ABSI平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB, ∴OD1平面ABS. △ABD,△ABS是正三角形，AB=4,易得0D=OS=2V3, S5A=Sa45B=2V3,连接DE, V,-A5=专x2V3×2V3=4, 由0D10S,.DS=√0S2+0D2=26. 取DS的中点M,连接AM. .AD=AS=4,..AM 1 DS, .AM= 42-(W62=V10, 可得5aAs=方×2W6×V而=2WT5. 设点E到平面ASD的距离为h,由VD-ABs=VE-ADs: 得3×S△4s×h=专×2VT5h=4, 解得h=2V西，即点E到平面4SD的距离为2√正 5 5 【解析】本题考查空间点面距离的求解，考查线面平行的判定，面面垂直的性质，属中档题. (1)证得EF//SD,即可根据线面平行的判定证得结论： (2)方法一：证得0D1平面ABS,以O为原点建系，利用空间向量法求点面距离： 方法二：证得OD⊥平面ABS,由VD-ABs=VE-ADs,根据等体积法求线面距离。 第15页，共19页 18.(本小题12分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAD1平面ABCD,△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB1AD, AB=1,AD=4,AC=CD=2v2. D (1)求证：PD⊥平面PAB; (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (③)在棱PB上是香存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为？若存在，求出路的值，若不 存在，请说明理由。 【答案】(1)证明：平面PADI平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD,AB1AD, ·AB1平面PAD, .PDC平面PAD.AB⊥PD 又PD⊥PA且AB∩PA=A,PA、ABC平面PAB·PDI平面PAB, (2)解：取AD中点为0，连接P0、C0, 又PD=PA,P01AD, 则A0=P0=2 AC CD=2v2,.CO 1 AD,CO=AC2-A0Z=2, 以0为坐标原点，分别以OC,OA,0P所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ·P(0,0,2),B(1,2,0),D(0-2,0),C(2,0,0)∴.PB=(1,2,-2),PD=(0,-2,-2),PC=(2,0,-2) CD=(-2,-2,0) 设元=(x1,y,Z1)为平面PCD的一个法向量， 油红·巴=0得222.0令z=1,则航=(1，-1，) (元.P元=0（2x-2z=0 设PB与平面PCD所成角的角为0， 元PB ∴sin0=lcos<元，PB>|= PBI √3×3 3 第16页，共19页 (3)解：假设在棱PB上存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 5 由(2)可知，A(0,2,0),B(1,2,0),P(0,0,2), ∴AP=(0,-2,2),AD=(0,-4,0)设PM=1PB=(乙，2λ，-2)，1∈[0,1] .AM=AP+PM=(0,2λ-2,2-2) 设元=(x2,y2,z2)为平面ADM的一个法向量， 迪·4A=0得x+21-2)y+(2-2)2=0 元.AD=011-4y=0 则m=(21-2,0,), 易知平面ABCD的一个法向量为0P=(O,0,2), 设平面ADM与平面ABCD的夹角为a. :cosa=|cos m,OP>= m-oP 22 列0 51 N(21-2)2+2×2 = D 【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法与应 用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于中档题. (1)证明AB1AD,推出AB1平面PAD,AB⊥PD,结合PD1PA,证明PD1平面PAB: (2)取AD中点为O,连接CO,PO,以O为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面PCD的法向量， 利用空间向量的数量积求解PB与平面PCD的正弦函数值. (3)设PM=PE,元=(e2,y2,Z2)为平面AMD的法向量，利用空间向量的数量积，求解1=2，推出结果. 19.(本小题12分) 己知曲线C上任一点到两点M(-2,0)、N(2,0)的距离之和为2√6， 第17页，共19页 (1)求曲线C的方程： (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A,B两点. ①若QAQB=0,求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P,点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线L,则直线l是否经过 某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由 【答案】解：(1)依题意，曲线C是以点M(-2,0)、N(2,0)为左右焦点，长轴长为2V6的椭圆， 所以c=2,a=V6,所以b=√2， 所以曲线C的方程为号+号=1： (2)①直线AB方程为x=2, 由 =2 由QA·QB=0,得点Q的轨迹是以线段AB为直径的圆， 而N(2,0)为线段AB的中点， 所以动点Q的轨迹方程为(cx-2)2+y2=子 ②当直线DE斜率存在且不为0， 设直线DE:y=kx+m,D(x,y1),E(x2,y2), Lx兰+二=1。消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0, 由}6 (y=kx+m 则4=(6km)2-12(1+3k2)m2-2)=12(6k2-m2+2)>0, 2七1+x2=-6m 1+3k2 由D,E两点为直径端点作圆P,圆心P恰好在直线AB上， 得D,E中点P在直线x=2上， 则+X-一年4，整理得m-一元-2北， 直线DE方程为y=kx-永-2k, 令x=2,则y=-品即P2,-品)， 因此直线：y+品=-c-2),即y=--多)， 第18页，共19页 所以直线过定点（专，0）， 当直线DE斜率不存在时，直线l的方程为y=0, 此时直线地过定点(，0)， 综上所述：直线恒过定点(，0) 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第19页，共19页Sheet1 2026—2027学年第一学期期中考试数学学科 “命题双向细目表” 序号 题型 考试内容 分值 教材母题位置 (人教版、粤教版) 结果目标(课程标准) 难度系数估算 平均分估算 核心素养 了解 理解 掌握 运用 1 单选题 直线的倾斜角与斜率 5 选必一 §2.1 直线的倾斜角与斜率 数学运算 √ 0.9 4.5 2 空间向量的坐标运算与数量积 5 选必一 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示 数学运算 √ 0.85 4.25 3 二元二次方程表示圆的条件（圆的一般方程） 5 选必一 §2.4.2 圆的一般方程 数学运算 √ 0.8 4 4 空间向量的线性运算（共线向量定理） 5 选必一 §1.1 空间向量及其运算 直观想象 √ 0.75 3.75 5 直线与圆相交的弦长问题 5 选必一 §2.5.1 直线与圆的位置关系 直观想象、数学运算 √ 0.65 3.25 6 椭圆的定义、焦点与离心率 5 选必一 §3.1 椭圆 数学运算、逻辑推理 √ 0.6 3 7 用空间向量求点到平面（线到面）的距离 5 选必一 §1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 直观想象 √ 0.55 2.75 8 椭圆与圆的综合（动点切线与取值范围） 5 选必一 第三章 圆锥曲线的方程（综合） 直观想象、逻辑推理 √ 0.35 1.75 9 多选题 直线的倾斜角、斜率、截距与斜截式 6 选必一 §2.1—2.2 直线的方程 数学运算 √ 0.6 3.6 10 椭圆的几何性质（焦点、顶点、焦点三角形面积、定值） 6 选必一 §3.1 椭圆 直观想象、数学运算 √ 0.55 3.3 11 二面角背景下的线面角、异面直线所成角、外接球与二面角 6 选必一 §1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 直观想象、逻辑推理 √ 0.4 2.4 12 填空题 两条直线垂直的条件与直线方程 5 选必一 §2.2 直线的方程 数学运算 √ 0.85 4.25 13 直线平分圆周长（过圆心）与最值问题 5 选必一 §2.5.1 直线与圆的位置关系 数学运算、逻辑推理 √ 0.55 2.75 14 椭圆的光学性质与离心率 5 选必一 §3.1 椭圆 逻辑推理、数学运算 √ 0.4 2 15 解答题 直线方程与动点轨迹方程（圆） 13 选必一 §2.1—2.4 直线与圆的方程 数学运算 √ 0.7 9.1 16 圆的标准方程、一般方程与切线方程 15 选必一 §2.4—2.5 圆的方程与切线 数学运算 √ 0.65 9.75 17 线面平行的证明与点到平面的距离 15 选必一 §1.4 空间向量的应用 直观想象 √ 0.6 9 18 线面垂直的证明、线面角与二面角存在性探究 17 选必一 §1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 直观想象、逻辑推理 √ 0.45 7.65 19 椭圆的定义、轨迹方程与直线过定点问题 17 选必一 §3.1—3.2 椭圆及其综合 逻辑推理、数学运算 √ 0.35 5.95 合计 150 0.58 87 Sheet2 Sheet3 $ 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期高二年级数学学科期中考试卷 说明：本评分细则依据期中考试参考答案制定，供阅卷统一执行。解答题按步骤给分，若考生的解法与参考答案不同，只要推理正确、步骤完整，可参照本标准按步骤等价给分。 【答案】1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.本小题分 解：，………………1分 于是直线的方程为……………………3分 ，即……………………5分 设动点，于是，………………7分 代入坐标得，………………10分 化简得，………………12分 于是动点的轨迹方程为．………………13分   16. 本小题分 解：由题可知，所以线段的中垂线的斜率等于，………………1分 又因为的中点为，………………2分 所以线段的中垂线的直线方程为，即，………………4分 联立 解得 ，所以圆心，………………5分 又因为半径等于，………………6分 所以圆的方程为．………………7分 设圆的半径为，则，………………8分 若直线的斜率不存在，因为直线过点，所以直线方程为，………………9分 此时圆心到直线的距离，满足题意 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即，………………10分 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，………………12分 所以切线方程为，即，………………14分 所以切线方程为或．………………15分   17. 本小题分 解：证明：在四棱锥中，连接交于点，则为的中点，………………1分 连接． 为的中点， ，………………2分 又平面，平面，………………4分 平面．………………5分 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则，………………7分 平面平面，平面平面， 平面．………………8分 是正三角形，．………………9分 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，，………………11分 ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则………………13分 又， 设点到平面的距离为， 则，………………14分 即点到平面的距离为．………………15分 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面．………………………………8分 ，是正三角形，，易得， ，连接， ．………………10分 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得．…………………………12分 设点到平面的距离为，由， 得，………………13分 解得，即点到平面的距离为． ………………15分 18. 本小题分 (1) 证明：平面平面，平面平面，平面，， 平面，………………2分 平面，………………3分 又且，、平面平面，………………4分 解：取中点为，连接、， 又，，………………5分 则 ，，则， 以为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，………………7分 ，，， 设为平面的一个法向量， 由得令，则………………9分 设与平面所成角的角为， ．………………11分 解：假设在棱上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 由可知，，，， ，设，． ………………13分 设为平面的一个法向量， 由得， 则，………………15分 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为． ， ， ．………………17分   19. 本小题分 解：依题意，曲线是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，所以， 所以曲线的方程为；………………4分 直线方程为， 由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆， 而为线段的中点， 所以动点的轨迹方程为；………………8分 当直线斜率存在且不为， 设直线，， 由，消去得，………………10分 则， ， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上， 得中点在直线上， 则，整理得，………………13分 直线方程为， 令，则，即， 因此直线，即，………………15分 所以直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线 的方程为， 此时直线也过定点， 综上所述：直线恒过定点．………………17分   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣淘▣ 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期高二年级 数学学科期中考试答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 考 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [0] [0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] 改时用橡皮擦干净。 2J 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] 答题区域书写无效。 「41 [4] [4] [5] L5] [5] 6 6] 6] [6] 正确填涂 缺考标记 7] [7] 8] 8] 8] 8] 8] [8] [9] 9] 9] 97 L9] [9] [9] [9] [9] 客观题 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 填空题 12. 13 14 解答题 15 囚囚■ ■ 16. 17. ▣囚■ 0 ■ 18. I I I 1 I ■ 囚■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■ 绝密★启用前 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期高二年级数学学科期中考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 可得，可得，即． 故选：． 2.已知空间向量，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：空间向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 直接利用向量垂直的充要条件和向量的坐标运算的应用求出结果． 【解答】 解：空间向量，，且， 所以， 解得． 故选：． 3.若方程表示一个圆，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题． 运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可． 【解答】 解：由，得，则． 故选： 4.如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题． 利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可． 【解答】 解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，， 可知：，， ， ． 故选：． 5.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，直线过定点问题，属于中档题． 由题意可证直线恒过的定点在圆内，当时直线被圆截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解． 【解答】 解：直线：， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆：的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：． 6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点直线与交于另一点，若，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设，则，，， 因为，所以， 则在中，， 解得，所以，， 在中，，所以离心率． 故选：． 7.如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查点面、线面、面面距离的向量求法，属中档题． 建系，利用空间坐标运算，即可求得点到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离． 【解答】 解：以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，取， 又， 所以点到平面的距离为． 又易知且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离． 故选：． 8.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得圆，圆， 设圆，的圆心分别为，． 直线与圆切于点，作直线与圆切于点， 在和中，，， 则得，，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆落在圆，外面的部分． 利用得， 故实数的取值范围为 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线下列选项正确的是(    ) A. 若 B. 若 C. 直线恒过点 D. 若直线在轴上的截距为，则直线的斜截式为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查直线的平行、垂直求参数以及直线恒过定点和直线的斜截式方程，属于基础题． 根据直线的相关知识一一判断即可． 【解答】 解：若，则，解得或，经检验，均符合，故A正确 若，则，解得或，故B不正确 由得，则得所以恒过点，故C正确 若直线在轴上的截距为，则，得，所以直线的方程为， 斜截式为，故D不正确． 10.设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题． 根据椭圆的定义和几何性质逐项判断即可． 【解答】 解：依题意， 所以，故A错误； 对于选项，，当为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值为，故B正确； 对于选项，线段为直径的圆，其圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离不等于半径， 所以选项错误 设，则， 又，，， ，根据椭圆方程知，， 则，故D正确， 故选BD． 11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则(    ) A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 C. 若，则三棱锥的外接球体积的为 D. 若，则二面角的余弦值为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，二面角，球的体积，球的切、接问题，线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用余弦定理解三角形，利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于中档题． 对：借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对：借助二面角的定义，作出平行直线且与相交的直线即可计算异面直线夹角；对：找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积；对：借助二面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得． 【解答】 解： 对选项：当时， 因为，， 所以， 所以直线与平面所成角为， 又因为，所以， 因为，， 所以， 所以 ，故A正确； 对选项：如图，过作， 且，连接，，    则四边形为正方形， 所以， 所以即为直线与所成角， 因为，四边形为正方形， 有，所以， 又因为，所以即为二面角的平面角，即， 由、、， 、平面， 所以平面， 又四边形为正方形， 所以， 所以平面， 又平面，所以， 由且四边形为正方形，， 所以， 所以，即， 即直线与所成角为，故 B正确； 对于，如图，作，且， 则二面角的平面角为， 不妨取，    由，在中，易得， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作交线段的延长线于点， 则平面， 过点作，交线段的延长线于点，连接， 则为二面角的平面角， 易得，，， 所以，故 D正确； 对选项：同选项D可知， 如图，分别取线段，的中点，，连接，过点作平面的垂线，    则球心必在该垂线上， 设球的半径为，则， 又的外接圆半径， 则， 所以四面体的外接球的体积为，故 C错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点且垂直于直线 的直线方程为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用待定系数法求直线的方程，与  垂直的直线的方程为的形式．设与直线垂直的直线的方程为，把点的坐标代入求出值，即得所求的直线的方程． 【解答】 解：设所求的直线方程为， 把点的坐标代入得，， 故所求的直线的方程为， 故答案为． 13.若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆的位置关系、基本不等式求最值及由标准方程确定圆心，属于较易题． 根据直线过圆心可得，再由“”的技巧及基本不等式求解． 【解答】 解：由题意，直线经过圆心， 故，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， 设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义以及几何性质，求椭圆的离心率，属于中档题． 由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段表示，结合双曲线的定义根据齐次方程的思想，可得答案． 【解答】 解：由题意，连接，，可作图如下： 由题意可知，，三点共线，，，三点共线， 在中，，且， 则 ，， 即， 可设，，， 由， 则，即， ， 在中，， 则． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平面直角坐标系中，已知． 求直线的方程； 平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为，求动点的轨迹方程． 【答案】解：， 于是直线的方程为，即 设动点，于是， 代入坐标得， 化简得， 于是动点的轨迹方程为．   【解析】本题考查直线的点斜式方程，考查与圆相关的轨迹问题，属于基础题． 结合点斜式求得直线的方程 设，根据已知条件列方程，化简求得动点的轨迹方程． 16.本小题分 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． 求圆的方程 从点向圆作切线，求切线方程． 【答案】解：由题可知，所以线段的中垂线的斜率等于， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为，即， 联立 解得 ，所以圆心， 又因为半径等于， 所以圆的方程为． 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为，即， 所以切线方程为或．   【解析】本题考查求圆的标准方程，圆的切线方程，两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定及应用，属于中档题． 根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解 根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为，由， 得， 解得，即点到平面的距离为．  【解析】本题考查空间点面距离的求解，考查线面平行的判定，面面垂直的性质，属中档题． 证得，即可根据线面平行的判定证得结论； 方法一：证得平面，以为原点建系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，． 求证：平面 求与平面所成角的正弦值 在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】证明：平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， 又且，、平面平面， 解：取中点为，连接、， 又，， 则 ，，则， 以为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， 设为平面的一个法向量， 由得令，则 设与平面所成角的角为， ． 解：假设在棱上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 由可知，，，， ，设，． 设为平面的一个法向量， 由得， 则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为． ， ， ．   【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于中档题． 证明，推出平面，，结合，证明平面； 取中点为，连接，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面的法向量， 利用空间向量的数量积求解与平面的正弦函数值． 设，为平面的法向量，利用空间向量的数量积，求解，推出结果． 19.本小题分 已知曲线上任一点到两点、的距离之和为． 求曲线的方程； 若过点作垂直于轴的直线交曲线于，两点． 若，求动点的轨迹方程； 以曲线上、两点为直径端点作圆，点恰好在直线上，再过点作的垂线，则直线是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由． 【答案】解：依题意，曲线是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，所以， 所以曲线的方程为； 直线方程为， 由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆， 而为线段的中点， 所以动点的轨迹方程为； 当直线斜率存在且不为， 设直线，， 由，消去得， 则， ， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上， 得中点在直线上， 则，整理得， 直线方程为， 令，则，即， 因此直线，即， 所以直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线 的方程为， 此时直线也过定点， 综上所述：直线恒过定点．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写姓名、班级、考场号、座位号； 2．选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答； 3．考试结束后交回答题卡和试卷。 第I卷（非选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是(    ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.若方程表示一个圆，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于(    ) A. B. C. D. 5.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点直线与交于另一点，若，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知直线下列选项正确的是(    ) A. 若 B. 若 C. 直线恒过点 D. 若直线在轴上的截距为，则直线的斜截式为 10.设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则(    ) A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 C. 若，则三棱锥的外接球体积的为 D. 若，则二面角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点且垂直于直线 的直线方程为           13.若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为          ． 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平面直角坐标系中，已知． 求直线的方程； 平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为，求动点的轨迹方程． 16.本小题分 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． 求圆的方程 从点向圆作切线，求切线方程． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，． 求证：平面 求与平面所成角的正弦值 在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知曲线上任一点到两点、的距离之和为． 求曲线的方程； 若过点作垂直于轴的直线交曲线于，两点． 若，求动点的轨迹方程； 以曲线上、两点为直径端点作圆，点恰好在直线上，再过点作的垂线，则直线是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $