广东省华东师范大学附属深圳龙华学校教育集团2026-2027学年九年级上学期数学期中考试卷

华东师范大学附属深圳龙华学校教育集团2026—2027学年 秋季学期九年级数学期中考试卷 说明： 1.答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并填涂好考生号。 2.全卷共3页，共20道题，考试时间90分钟，满分100分。 3选择题答案用B铅笔涂到答题卡的相应位置上，非选择题答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题卡指定位 置，否则其答案一律无效。 4答题卡必须保持清洁，不能折叠；考试结束后，请将答题卡交回。 一.选择题（共8题，每题3分，共24分；请从每题的四个选项中选出最符合题意的一项） 1.现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4,3,2，α，若这四条线段是成比例线段，则α的 值是（) A.1 C.2 D.4 2.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE1BC,若AD:DB=3:2,则AE:EC 等于（) A.3:2 B.3:1 C.2:3 D.3:5 D 第2题图 第6题图 3.一元二次方程5x2-4+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() B A.5,4,-1 B.5,-4,1 C.-5,-4,1D.-5,-4,-1 4.关于x的一元二次方程2-5x+5=0有实数根，则k的取值范围是（) A.k<且0B.ks C.k且0D.k< 5.已知一元二次方程x2-3x-6=0的两根为1，x2,则x12+x1+的值为（) A.3 B.-3 C.9 D.-9 6.如上图，在平行四边形ABCD中，AC=BD.再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方 形的是（) A.AB=BC B.∠ABC=90° C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD 第1页 7.如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形顶点都在格点上，则下列选项中是相似 三角形的是（) A.①和② B.③和④ C.②和④ D.①和④ 8.如图，在四边形ABCD中，ADI BC,∠B=90°，AB=8,BC=4,点E在边AB上，AE=3,连接 CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC,则线段CF的长 为 A. 18 1 B.4 c. 3 D.5 A E ① ② ③ ③ B 第7题图 第8题图 二.填空题（供5小题，每小题3分，共15分） 9.若是方程2x2-3x-1=0的一个根，则2m2-32025的值为 10.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并 测得ㄥB=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC=40cm,则图1 中对角线AC的长为 cnL. 11.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOB=60°，则BD的长 为 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则 原矩形长边与短边的比值是 1B如图，在口ACD中，MN分别为CD,AD上一点，已知哈气=面积=景GC与B交于点 0,器=片且职为既约分数（分子，分母互质），则mm= 共3页 三.解答题（共8小题，共61分） 14.(8分)解方程 (1)x2+4x+3=0; (2）x(x+5)=3x+15. 15.在如图所示的方格纸中，△OAB1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形 (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标 (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似图形△OAB,使它与△OAB的相 似比为2：1. (3)在(2)的条件下，若点M(a,b)是线段AB上一点，则线段AB2上点M的对应点M的 坐标为 16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DML BC于点M,连接OM, 延长CB至点N,连接AN. (1)请你只添加一个条件，使得四边形AMD为矩形，你添加的条件是 并进行 证明； D A (2)若CD=13,OM=213,求DM的长. M B N 第2页 17.(8分)如图，在四边形ABCD中，BAI CD,且AB=ADCD,连接对角线BD,已知BDL CB. (1)(4分)实践与操作：利用尺规作线段CD的垂直平分线，交CD于点E,交CB于点F;(要 求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)(4分)猜想与证明：连接BE,判断四边形BEDA的形状，并说明理由. B B A D (备用图) 18.(7分)观澜某大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策.某灯具销售商通过 大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降1元， 每日销售量就增加2个. (1)(2分)设售价下降x元(x>0),请填空： 售价 70 65 70-x 单个台灯利润 40 ① 40-x 销售量 20 30 ② (2)（5分)为迎接双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预 计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价， 共3页 19.（10分)阅读材料，并解决问题 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解 法，以x+2x-35=0为例，构造方法如下： 首先将方程x+2x-35=0变形为x（(x2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形，按如图1 所示的方式拼成一个空心大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 (+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因 此，可得新方程(x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12,即 x=5.遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根 (3分)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法 求解方程x2-4x-21=0（x>0)的正确构图是 .(从序号①②③中选择) x x+2 x+2 c+2 x+2 图1 ① ② ③ (3分)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为2+x10,即x( ）=1; 第二步：利用四个全等的矩形构造空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： 解得原方程的一 个根为 (4分)【拓展应用】一般地，对于形如x4+x=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是 由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数α= b= ，求得方程的正根为 图2 第3页 20.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6. (1)发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD交BD于点E,交BC 于点F,则∠BAE与ECBD的数量关系是 一，写出一个与△ABF相似的三角 形 (2)探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG,过点A作AE⊥DG于点E,交 BC于点F,BG=GF,求BG的长； (3)拓展：点P为BC边上的三等分点，点E是AD中点，点F在BC上，将矩形ABCD沿直线 EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，直接写出PF的长. D D E B B G 图1 图2 A D A D B B 备用图 备用图 共3页九年级数学参考答案和评分标准 一.选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 6 8 答案 B A B C B B D 二. 填空题（共5小题） 题号 9 10 11 12 13 答案 2026 -3 8 V2 196 (12题写V2:1不给分) 8.【解析】解：如图，延长CE交DA延长线 ∴.BE=5, 于点G,过D作DH⊥BF于点H,则∠BHD =90°， A AG=号 G .AD∥BC, E ∴.∠G=∠BCE, ,∠DCE=∠BCE, B CH .∠DCE=∠G, .DF=DC, ..CD=GD ·.cHCR, 设CH=FH=x,则AD=BH=4+x, .AD∥BC,∠B=90°， ∴CD-GD-4+号+ ∴.∠B=∠GAE=90°，∠B+∠BAD=180°， 由勾股定理得：CD=CH+HD, ∴.∠B=∠BAD=∠BHD=90°， ∴6+3）P=2+82, ∴.四边形ABHD是矩形， 解得： ∴.AB=DH=8,AD=BH, ,'∠AEG=∠BEC, 即Cc ∴.△AEG∽△BEC, “CF2CH8 .40_AB BC BE 放答案为：品 ,AB=8,AE=3, 第1页共8页 三.解答题（共8小题） 14.解：(1)(x+1)(x+3)=0, .2分 x+1=0或x+3=0, 3分 所以x1=-1,x2=-3; 4分 (2)原方程可变形为：x(x+5)-3(x+5)=0, 5分 (+5)(x-3)=0, 6分 x+5=0或x-3=0, 2.22.2.2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 所以1=-5，x2=3. .411…8分 15.【分析】(1)连接O1O,A4,B1B并分别延长，相交于点P,则点P即为所求，即可得出答案. （2)根据位似的性质作图即可. (3)结合位似的性质可得答案， 【解答】解：(1)如图，连接O1O,A1A,B1B并分别延长，相交于点P, 则点P即为所求。 由图可得，点P的坐标为(-5，-1). 故答案为：（-5，-1) (2)如图，△OAB2即为所求. y ○ B (3)由题意得，线段AB2上点M的对应点5的坐标为(2a,2b). 第2页共8页 故答案为：(2a,2b). 16.【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而利用矩形的判定解答即可： (2)根据菱形的性质得出AC⊥BD,进而利用菱形的性质和勾股定理解答即可. 【解答】解：(1)添加ANLBC,使得四边形AMD为矩形，理由如下： .DM⊥BC,AN⊥BC, ∴.DM∥AN, ,四边形ABCD是菱形， AD∥BC, ,DM⊥BC,AN⊥BC, .DM-AN, .四边形DMVA是平行四边形， .'DM⊥BC ∴.口DMA是矩形， 故答案为：AN⊥BC; (2)四边形ABCD是菱形， ,.AC⊥BD,OD=OB .DMLBC,OD=OB, ..OM=OD=OB=2V13, .CD=13, ..OC- √132-(2W13)2=3V13 ,菱形ABCD的面积=4△COD的面积=BCDM, 即4××0D·0c=BC·DM, 即4×2×2V×313=13·DM, ..DM=12. 17.解：(1) 第3页共8页 B .3分 (直线画成了射线、线段均扣一分：点E、点F漏标一个扣0.5分) 如图所示，直线EF即为所求， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 .4分 (2)四边形BEDA是菱形.理由： 由(1)可知点E为CD中点， .BD⊥CB, .∠CBD=90°， ,∠CBD=90°，BE为CD边上中线， ∴.BE=DE=CD AB=AD-CD, ∴.DE=BE=AB=AD, .AB=DE,AB∥CD, ∴.四边形BEDA是平行四边形. .7分 .AB=AD, ∴.平行四边形BEDA是菱形. 8分 (其他证法酌情给分) 18.解：(1)35,20+2x: 2分 (2)设每个台灯下降y元(y>0),则每个台灯的售价为(70-y)元，每日能售出台灯 (20+×4)个，即(20+2y)个， 3分 由题意得：(70-y-30)(20+2y)=1200, 。。。。 4分 第4页共8页 整理得：y2-30y+200=0, 5分 解得：1=10，归=20（不符合题意，舍去)，6分 答：每个台灯售价为60元 7分 19.[理解应用]③： 3分 [类比迁移]x+(++)-4×1+(), 6分 「拓展应用]±2,3,1或3. .10分 (最后一空写对1个给1分) 第5页共8页 20.1、【考点】相似形综合题， 【专题】几何综合题：推理能力. 【答案】(I)∠BAB=∠CBD,△ABF∽△BCD(△ABF∽△DAB、△ABF∽△BEF): （2)2: (3)5-2W2或7-4V2. 【分析】(I)由同角的余角相等可得∠BAE=∠CBD,即可得到几组相似三角形： (2)易证△ABF∽△GCD,再根据BF=2BG,CG=BC-BG=6-BG,代入相似比求出BG即可； (3)作MLBC于点M,由矩形的判定和性质，可得M-4,证明△EM∽△PCQ,则M-M PC CQ ,分类 讨论，可得MF和CQ的关系，进而在△CFQ中利用勾股定理建立方程求解即可. 【解答】解：(1)在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴.∠ABDH∠CBD=90°， ,AE⊥BD .∴.∠ABD叶∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠CBD, ∠ABF=∠BCD=90°， ∴.△ABF∽△BCD, 故答案为：∠BAE=∠CBD,△ABF∽△BCD(△ABF∽△DAB、△ABF∽△BEF): (2)在矩形ABCD中，∠ABC=90°， .∴.∠BAF+∠AFB=90°， ,AE⊥DG, ∴.∠GEF=90°， .∴.∠DGC+∠AFB=90°， ∴.∠DGC=∠BAF, ,∠B=∠C=90°， .△ABF∽△GCD, :AB、BF CG =CD .BG=GF, ..BF=2BG,CG=BC-BG=6-BG, 4 2BG 6-BG 4 第6页共8页 解得BG=2或4， 当BG=4时，BF=2BG=8>BC,故舍去， ∴.BG=2; (3)如图，作EMLBC于点M,则∠EMB=∠EMF=90°， E D A B E为AD中点， “DE=CM-=2AD=3, ,在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=90°=∠EMF, ∴.四边形ABME为矩形， .∴.EM=AB=4, 根据题意可知，点P和点Q关于直线EF对称， ∴.EF⊥PQ, ∴.∠CPQH∠PFE=90°， ∠C=90°， ∴.∠CPQ+∠CQP=90°， ∴.∠MFE=∠CQP, .∴.△EMF∽△PCQ, r PC CQ 当BP=BC=2时，PC=BC-BP=4, .ME_4-l,即MF=CO, C04 MF=CO=x,CF=3-x,FO=PF=CP-CF=4-(3-x)=x+1, 在Rt△CFQ中，CF2+CQ=FQ, ∴.(3-x)2+x2=(x+1)2, 解得x=4士2√2， 当x=4+2V2>6,明显不合题意，舍去： 第7页共8页 x=4-2V2, ∴.PF=x+1=5-2V2: 当BP=BC=4时，PC=BC-BP=2, MF EM CQ PC 设CQ=x,则MF=2x, ..CF=CM-MF=3-2x,PF=FO=CP-CF=2-(3-2x)=2x-1, 在Rt△CFQ中，CFP2+CQ=FQ, .(3-2x)2+x2=(2x-1)2, 解得x=4-2V2(不合题意已舍去)， ∴.PF=2x-1=7-4v2: 综上，PF的长为5-2W2或7-4W2. 第8页共8页