广东清远市第一中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试数学试卷

2026一2027学年第一学期高二年级期中考试卷 数 学 参考答案和评分细则 1、 选填题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B Ｄ C D C C B BCD ABC ABD 12． 0.6 13． 14．2-2 一、单项选择题 1．【答案】B【解析】因为向量，，且，所以，解得：.故选：B. 2.【答案】B【解析】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数，因为该组数据的分位数为，所以，解得.故选：B. 3.【答案】D【解析】由题意，有的学生只喜欢足球，有的学生只喜欢篮球，则只喜欢足球的学生与只喜欢篮球的学生比例为，按照分层随机抽样，由于抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，设抽取的样本中只喜欢篮球的学生有人，则，解得，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有9人.故选：D. 4.【答案】C 【解析】因为，则，即，解得或，当时，，，此时两直线重合，不符合；当时，，，符合要求；综上，可得，故“”是“”的充要条件.故选：C. 5.【答案】D【解析】由题意得，直线可化为，可得直线过定点，将曲线化为，则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时，若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得，则实数的取值范围是.故选：D. 6.【答案】C【解析】由题意得：事件“”的情况有：共12种，所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种，所以；事件“”的情况有：共10种，所以； 事件“”的情况有：共6种，所以. 对于A，因，则A与C不独立，故Ａ错误； 对于B，因，则B与C不独立，故B错误； 对于C， ，则B与D相互独立，故C正确； 对于D，因事件C与D不能同时发生，则，故D错误.故选：C. 7.【答案】C【解析】A选项，由题意得，则，故A错误； B选项，由于，故的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，由于的中位数为，故的中位数为，B错误； C选项，由题意得，所以 ，C正确；D选项，由于，故中最大值和最小值，经过变化后仍然为中的最大值和最小值，即，则，D错误.故选：C 8.【答案】B【解析】如图，作出符合题意的图形，作面，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，，则，，，而，由两点间距离公式得，因为，所以，解得，因为，所以，解得，代入可得，解得（负根舍去），得到，则，因为，所以，设，则，可得，解得，而，可得，则，而，，设面的法向量为，则，令，解得，，可得，因为平面，所以，得到，化简得，此时变为， 则，由模长公式得，令，由二次函数性质得在处取得最小值，而，则.故选：B 2、 多项选择题 9.【答案】BCD【解析】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，与互斥，则，那么 ，故C正确；对于D，如果与相互独立，那么 ，故D正确.故选：BCD 10.【答案】ABC【解析】连接交于O，连接，由正方形得，八面体各面是正三角形，根据对称性可知三点共线且平面，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ，对于A，，,设异面直线与所成角为，则，因为，所以，故A正确；对于B，设平面ABCD的法向量为,设直线AF与平面ABCD所成角为α（），则，所以直线AF与平面ABCD所成角为，故Ｂ正确，对于C，由，且由对称性易知外接球球心为O，则外接球半径为，外接球体积为，故C正确；对于D，，设面的一个法向量为，则，也即，取，则，设面BEC的一个法向量为，则，也即，取，则，所以，又面与面所成的角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为，故D错误；故选：ABC． 11.【答案】ABD【解析】由，得，整理得，即，因此曲线是以点为圆心，1为半径的圆，对于A，，当且仅当是线段与圆的交点时取等号，A正确；对于B，由H为直线上一点，设点，以线段为直径的圆 ，即，因此直线MN的方程，即，令，解得，因此直线MN过定点，B正确； 对于C，由点是上一点，令，因此，其中锐角由确定，当且仅当时取等号，C错误；对于D，，表示圆上点到点的距离， 取，，，则 ，当直线与圆相切于第一象限内的点时，最小，最大，而，则，， ，因此，D正确.故选：ABD 3、 填空题 12.【答案】/0.6【解析】设从甲公司购买的3台记为，从乙公司购买的2台记为，从中任取2台的情况为共10种，其中这2台来自于不同公司的情况分别为，共6种，故概率.故填： 13.【答案】【解析】设点关于直线对称点为则点在反射光线的延长线上，所在直线与垂直，反射光线所在直线方程为即 14.【答案】2-2【解析】设线段MN的中点为D，圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为, 则圆心C到直线MN的距离为=1,所以|CD|=1,故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆. 设点D的轨迹为圆D,圆D上的点到直线的最短距离为d=-1=-1,所以||=2||≥2d=2-2. 4、 解答题 15． 【解析】（1）由已知得，.......2分 而 ，因此，.......4分 所以；.......6分 （2） 由已知，，.......9分 由，得，所以. .............13分 16.【解析】（1）样本容量为50，区间频数为15，对应频率为.......1分 频率分布直方图组距为2，故 ......2分 所有区间频率和为，即，解得......4分 设满意指数的平均数为，则......6分 （2）该餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2；......8分 第四组人数为，平均数9，方差1，......10分 混合数据平均数......12分 方差......15分 17.【解析】 （1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为，则，解得，.............2分 故半径为，故圆C的方程为；.............4分 由已知得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或..............6分 当时，直线l的方程为，如图，圆的半径为，即，其中，由对称性可知，四边形的面积..............8分 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短，显然当时，，所以，.............10分 四边形的面积的最小值，直线的斜率为，.............12分 由垂直关系可知此时，又，故直线方程为，即，......14分 联立与得，即..............15分 18.【解析】（1）证明：取的中点，连接，如图1：.............1分 因为为棱的中点，所以，又，所以， 所以四边形为平行四边形，.............3分 所以，又平面，平面，所以平面..............5分 如图1 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图2，.............6分 易知则，.............7分 设平面的一个法向量为，则，令，可得，可得；............8分 又，设平面的一个法向量为，可得，令，可得，即，.............9分 所以｜，.............10分 （3）由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；.............11分 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，设，，即，可得,所以，.............13分 则点到平面的距离是，又，可得,.............15分 所以，，.............16分 即存在点到平面的距离是..............17分 如图2 19.【解析】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以.........2分 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，则，因为，所以，所以..............4分 （2） 解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”，记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为，则，所以．则互斥，相互独立，.......6分 所以 ..............8分 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为..............10分 （ii）由（i）知．同理，互斥，相互独立，． 因为，所以，解得．..............12分 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，，.............13分 当时，，， 当时，，，.............14分 当时，，， 当时，，，.............15分 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意．..............16分 因此，符合题意的的取值为5，6，7．.............17分 高二数学答案 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ★启用前注意保密 2026一2027学年第一学期高二年级期中考试卷 数 学 本试卷共4页，19题，共150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知向量，，且，则实数x的值是 　　A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，10，m，16，18，19，20，若该组数据的60%分位数是14，则m＝ 　　A．11 B．12 C．13 D．14 3．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球，的学生喜欢篮球，的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有 　　A．3人 B．4人 C．6人 D．9人 4．直线，，则“”是“”的条件 　　A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为 　　A． B． C． D． 6．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是 　　A．A与C B．B与C C．B与D D．C与D 7．有一组样本数据，其平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d .由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，则新样本数据的 　　A．样本平均数为2a B．样本中位数为2b 　　C．样本方差为4c D．样本极差为 8．已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为 　　A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知事件，满足，则下列结论正确的是 　　A． B．如果，那么 　　C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则 　　A．异面直线与所成的角大小为 B．直线AF与平面ABCD所成角为 　　C．此八面体的外接球的体积是 D．二面角的平面角的余弦值为 11.已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是 　　A．若点，则的最小值为 　　B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 　　C．若点是上一点，则的最大值为 　　D．若点是上一点，则的最大值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为 . 13．已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为 . 14．已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点，且|MN|=4,点P在直线:x-y+3=0上,则||的最小值为 .  四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本小题满分13分）已知，； （1）设向量，，求； （2）若，求的值. 16．（本小题满分15分）为了解学生对某餐厅的满意度情况，现从在该餐厅用过餐的学生中随机抽取了50人，每人均对这家餐厅的满意度进行打分（分数区间为[2，10]），将其分数记为满意指数。根据打分结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中满意指数在[2，4）内的学生有15人. （1）求a，b的值及利用样本估计总体的思想，估计该餐厅满意指数的平均数的大小（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若在该餐厅满意指数频率分布直方图中，从左往右数第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在该餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 17．（本小题满分15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标.   18． （本小题满分17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19． （本小题满分17分）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为 1，2，3，白球编号为4，5. （1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； （2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率? （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大? 高二数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $