微专题对数函数的图象、定点与单调性导学案-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

微专题：对数函数的图象、定点与单调性 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题在指数函数与对数运算之后。教材由 与 互为反函数的关系得到对数函数的图象，再给出定义域、值域、过定点 与单调性四条性质，并讨论 一类复合函数的单调性。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在四处：判定对数函数、由过点求解析式，选填 5 分；求含真数平移的定点，或由定点落在另一图象上反求参数；复合函数 的单调区间与值域，须先解真数为正；含参的对数式恒成立，即真数的二次式恒正。 第二部分　记·模型与结论 一、对数函数的界定 形如 （，）的函数叫对数函数。底数为常数、真数恰为 、系数为 。、、 都不是对数函数。 含参写法如 ，先由系数为 解出 ，再用 且 筛选。真数位置带参数的，还要把真数为正、底数合法一并列入定义域。 二、图象与四条性质 两类图象都过点 ，都在 轴右侧，值域为 ，以 轴为渐近线。 时曲线上升， 时曲线下降； 与 的图象关于 轴对称。 与 互为反函数，图象关于直线 对称。真数平移则图象左右移动，整体加减则上下移动。 三、复合函数的单调性 先求真数为正的范围作为定义域，再在定义域内讨论内层 的单调性。外层 时不翻转， 时翻转。单调区间必须是定义域的子集，这是本讲最集中的失分点。 求值域先求内层在定义域上的取值范围，再由外层对数在该范围上的单调性得值域。内层取到正数任意小时，值域向下无界。 四、含参的恒成立 「 的定义域为 」等价于二次式恒正，即开口向上且判别式小于零。求出参数范围后，还要补上底数的两个限制：大于 、不等于 。 「在闭区间上的最大值与最小值之差为定值」按 与 分两类列式，两类都要解，最后逐一回验底数范围。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　对数函数的判定与定义域 【解题技巧】判定看三条：底数为常数、真数恰为 、系数为 。求定义域列两个不等式组：真数为正，底数大于 且不等于 ；底数含 时，底数也要进不等式组。 【教学提醒】本型可把「真数为正」与「底数合法」写成两行并列，逐题填一次。学生漏条件多因只盯真数，两行并列能把底数的两条限制固定下来。 【典例 1-1】（原创） 已知对数函数 （，）的图象经过点 ，求 及 。 解析：代入得 ，即 ；又 ，故 。 。 参考答案：，。 【学情易错提醒】把 解成 ，把底数与真数的位置弄反。 表示 的平方等于 。 【变式 1-1】（原创） 若函数 是对数函数，求实数 的值。 解析：系数为 ：，整理得 ，解得 或 。 底数须大于 且不等于 ，故舍去 ，取 。 参考答案：。 【学情易错提醒】两解都留，没有用底数不等于 这一条筛。 时 无意义，必须舍去。 【变式 1-2】（原创） 求函数 的定义域。 解析：真数为正：，得 。 底数合法： 且 ，即 且 。 取交集得 或 ，定义域为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只解 得 ，把底数含 这一层漏掉。底数位置的 既要大于 ，又不能等于 ， 必须挖去。 题型二　图象平移与定点 【解题技巧】求定点令真数为 ，解出横坐标后代回得纵坐标，与底数无关。定点落在另一条曲线上时，把定点坐标代入那条曲线的方程，直接解出参数。 【教学提醒】本型可与第 11 讲的指数定点对读：指数函数令指数为零，对数函数令真数为 ，两个动作本质相同。两条放在一起讲，定点一类题就不再分开记。 【典例 2-1】（原创） 函数 （，）的图象恒过哪个定点？ 解析：令真数为 ：，得 ，此时 ，与 无关。 代回得 ，故定点为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】沿用 的定点 ，或把定点写成 。平移后定点跟着移动，横坐标由真数为 解出，是 。 【变式 2-1】（原创） 函数 的图象恒过哪个定点？ 解析：令 ，得 ，此时 。 代回得 ，故定点为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 得 后，把纵坐标仍写成 ，漏掉后面的 。定点纵坐标要把平移量一并算上。 【变式 2-2】（原创） 已知函数 （，）的图象恒过定点 ，且 在函数 的图象上，求实数 的值。 解析：令 ，得 ，此时 ，故 。 在 上：，解得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把定点的两个坐标对调代入，写成 一类式子。代入时横坐标进 、纵坐标进 ，顺序不能反。 题型三　复合函数的单调性与值域 【解题技巧】第一步永远是真数为正，求出定义域；第二步在定义域内找内层的单调区间；第三步按外层底数决定是否翻转。写单调区间时端点要在定义域内，开闭要跟着真数的零点走。 【教学提醒】本型的错误有两类：忘解定义域，把单调区间写到真数为负的地方；忘翻转，直接抄内层结论。可让学生每写一个区间，回头核对区间里真数是否为正。 【典例 3-1】（原创） 求函数 的单调递增区间。 解析：真数为正：，即 ，得 或 。 内层 的图象开口向上、对称轴为 ，故 在 上递增，在 上递减。 外层 的底数大于 ，递增，不翻转，故递增区间为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】直接写内层的增区间 。该区间含真数为负的部分，不在定义域内；复合函数的单调区间必须是定义域的子集。 【变式 3-1】（原创） 求函数 的最大值。 解析：真数 ，恒正，定义域为 。 外层底数 ，关于 递减，故 取最小值时 取最大值。 时 。 参考答案：最大值为 。 【学情易错提醒】按递增函数处理，求出 的最小值 后判为函数的最小值。底数小于 时方向相反，真数最小处函数值最大。 【变式 3-2】（原创） 求函数 在区间 上的值域。 解析：底数 ， 在 上递增。 时 ； 时 。 值域为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 处的函数值写成 。，任何底数的 的对数都等于 。 题型四　含参的底数与恒成立 【解题技巧】真数的二次式恒正，用开口与判别式列式，求出参数后再补底数的两条限制。闭区间最值问题按 与 分类，两类各列一式，所求结果要回验底数范围。 【教学提醒】本型的两类讨论与第 11 讲指数最值同构，可对照讲：底数不确定就先分两类，再把结果与底数范围取交集。分类标准写在标题旁，避免中途混用。 【典例 4-1】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 解析：当 时 递增，差为 ，故 。 当 时 递减，差为 ，故 。 两解都在各自的底数范围内，均可取。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】默认 只算出一解。底数不确定时两种单调情形都要列式，答案缺一半即为不全。 【变式 4-1】（原创） 若函数 （，）的定义域为 ，求 的取值范围。 解析：定义域为 等价于真数恒正： 对一切实数成立，故判别式 。 解得 。 再补底数限制 且 ，得 或 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写 ，忘了底数必须为正且不等于 。 使底数非法， 使对数无意义，都要去掉。 【变式 4-2】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求 的值。 解析：当 时 递增，最大值在 处：，故 。 当 时 递减，最大值在 处：，此情形无解。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写 得 或 ，把负值留下。底数须大于 ， 直接舍去。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖对数函数的判定、定义域、过点求解析式、定点、单调性、性质辨析与含二次真数的单调区间。 1．（单选）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项系数为 ，C 项真数为 ，D 项真数为 ，三者都不符合「真数恰为 、系数为 」的要求。 B 项符合定义。 参考答案：B。 2．（单选）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 解析：真数为正：，得 ，定义域为 。 参考答案：A。 3．（填空）已知对数函数 的图象经过点 ，则 ______。 解析：由 得 ，又 ，故 ；。 参考答案：。 4．（填空）函数 的图象恒过定点 ______。 解析：令 得 ，此时 ，定点为 。 参考答案：。 5．（单选）函数 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不具单调性 解析：底数 在 与 之间，函数在 上单调递减。 参考答案：B。 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 解析：A、B、C 三项分别由对数函数的定义域、值域与单调性得到，均正确。 ，图象过点 ，D 错误。 参考答案：ABC。 7．（解答）求函数 的单调递减区间。 解析：真数为正：，得 或 。 内层 的对称轴为 ，在 上递减，在 上递增。 外层底数 ，递增不翻转，故递减区间为 。 参考答案：。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向二次真数的最值、定义域为 的含参范围、闭区间最值反求底数、性质辨析与单调区间连同值域的综合。 8．（解答）求函数 的最大值及取得最大值时 的值。 解析：真数 ，恒正，定义域为 。 外层底数 ，关于 递减，故 最小时 最大。 时 。 。 参考答案：最大值为 ，此时 。 9．（解答）若函数 （，）的定义域为 ，求 的取值范围。 解析：定义域为 等价于 恒成立，故 ，得 。 补底数限制 且 。 故 或 。 参考答案：。 10．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求 的值。 解析：当 时 递增，最大值在 处：，得 ，即 。 当 时 递减，最大值在 处：，此情形无解。 故 。 参考答案：。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 解析：A 项：真数为正得 ，正确；B 项：值域为 ，正确；C 项：底数 ，递增，正确。 D 项： 处真数为 ，函数无定义，图象不过 ，错误。 参考答案：ABC。 12．（解答）求函数 的单调递增区间与值域。 解析：真数为正：，即 ，定义域为 。 内层 ，在 上递增；外层递增不翻转，故递增区间为 。 的最大值为 ，此时 ；当 趋近 或 时 趋近 ， 趋于负无穷。故值域为 。 参考答案：递增区间 ，值域 。 第五部分　思·小结反思 一、真数为正先立规 一切对数题的起点是真数为正；底数含 时，底数也要大于 且不等于 。单调区间必须是定义域的子集。 二、定点令真数为 1 的定点为 ，与指数函数令指数为零同一思路；定点落在别的曲线上时代入那条曲线求参。 三、复合翻转看底数 先在定义域内定内层的单调区间，再看外层底数是否翻转；求值域把内层的取值范围代入外层对数，注意内层趋近 时函数值向下无界。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：对数函数的图象、定点与单调性 学生版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题在指数函数与对数运算之后。教材由 与 互为反函数的关系得到对数函数的图象，再给出定义域、值域、过定点 与单调性四条性质，并讨论 一类复合函数的单调性。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在四处：判定对数函数、由过点求解析式，选填 5 分；求含真数平移的定点，或由定点落在另一图象上反求参数；复合函数 的单调区间与值域，须先解真数为正；含参的对数式恒成立，即真数的二次式恒正。 第二部分　记·模型与结论 一、对数函数的界定 形如 （，）的函数叫对数函数。底数为常数、真数恰为 、系数为 。、、 都不是对数函数。 含参写法如 ，先由系数为 解出 ，再用 且 筛选。真数位置带参数的，还要把真数为正、底数合法一并列入定义域。 二、图象与四条性质 两类图象都过点 ，都在 轴右侧，值域为 ，以 轴为渐近线。 时曲线上升， 时曲线下降； 与 的图象关于 轴对称。 与 互为反函数，图象关于直线 对称。真数平移则图象左右移动，整体加减则上下移动。 三、复合函数的单调性 先求真数为正的范围作为定义域，再在定义域内讨论内层 的单调性。外层 时不翻转， 时翻转。单调区间必须是定义域的子集，这是本讲最集中的失分点。 求值域先求内层在定义域上的取值范围，再由外层对数在该范围上的单调性得值域。内层取到正数任意小时，值域向下无界。 四、含参的恒成立 「 的定义域为 」等价于二次式恒正，即开口向上且判别式小于零。求出参数范围后，还要补上底数的两个限制：大于 、不等于 。 「在闭区间上的最大值与最小值之差为定值」按 与 分两类列式，两类都要解，最后逐一回验底数范围。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　对数函数的判定与定义域 【解题技巧】判定看三条：底数为常数、真数恰为 、系数为 。求定义域列两个不等式组：真数为正，底数大于 且不等于 ；底数含 时，底数也要进不等式组。 【典例 1-1】（原创） 已知对数函数 （，）的图象经过点 ，求 及 。 【变式 1-1】（原创） 若函数 是对数函数，求实数 的值。 【变式 1-2】（原创） 求函数 的定义域。 题型二　图象平移与定点 【解题技巧】求定点令真数为 ，解出横坐标后代回得纵坐标，与底数无关。定点落在另一条曲线上时，把定点坐标代入那条曲线的方程，直接解出参数。 【典例 2-1】（原创） 函数 （，）的图象恒过哪个定点？ 【变式 2-1】（原创） 函数 的图象恒过哪个定点？ 【变式 2-2】（原创） 已知函数 （，）的图象恒过定点 ，且 在函数 的图象上，求实数 的值。 题型三　复合函数的单调性与值域 【解题技巧】第一步永远是真数为正，求出定义域；第二步在定义域内找内层的单调区间；第三步按外层底数决定是否翻转。写单调区间时端点要在定义域内，开闭要跟着真数的零点走。 【典例 3-1】（原创） 求函数 的单调递增区间。 【变式 3-1】（原创） 求函数 的最大值。 【变式 3-2】（原创） 求函数 在区间 上的值域。 题型四　含参的底数与恒成立 【解题技巧】真数的二次式恒正，用开口与判别式列式，求出参数后再补底数的两条限制。闭区间最值问题按 与 分类，两类各列一式，所求结果要回验底数范围。 【典例 4-1】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 【变式 4-1】（原创） 若函数 （，）的定义域为 ，求 的取值范围。 【变式 4-2】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求 的值。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖对数函数的判定、定义域、过点求解析式、定点、单调性、性质辨析与含二次真数的单调区间。 1．（单选）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（单选）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 3．（填空）已知对数函数 的图象经过点 ，则 ______。 4．（填空）函数 的图象恒过定点 ______。 5．（单选）函数 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不具单调性 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 7．（解答）求函数 的单调递减区间。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向二次真数的最值、定义域为 的含参范围、闭区间最值反求底数、性质辨析与单调区间连同值域的综合。 8．（解答）求函数 的最大值及取得最大值时 的值。 9．（解答）若函数 （，）的定义域为 ，求 的取值范围。 10．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值为 ，求 的值。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 12．（解答）求函数 的单调递增区间与值域。 第五部分　思·小结反思 一、真数为正先立规 一切对数题的起点是真数为正；底数含 时，底数也要大于 且不等于 。单调区间必须是定义域的子集。 二、定点令真数为 1 的定点为 ，与指数函数令指数为零同一思路；定点落在别的曲线上时代入那条曲线求参。 三、复合翻转看底数 先在定义域内定内层的单调区间，再看外层底数是否翻转；求值域把内层的取值范围代入外层对数，注意内层趋近 时函数值向下无界。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $