练案32 第四章 3.3 对数函数y=log2x的图象和性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

8.(1)如图 -f(x)mi =f(2a)-f(a)=logz (2a)-logza =1. 7.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移 1个单位得到的 y=f(x) (2)在坐标系中作出y=lo竖(x-1)1的图象，如图所示. f2) 4 2 y=log,x-1)川 (2)令八o)=术2)，即lga1=21,解得a=宁或a=2 4-3-2-1101234 从图象可知，当0<a<2时，满足。)>2)，所以a的取值 - 3 范围是{a0<a<宁} 2（1由+>0得-1<<1， (3)设函数y=()与函数y=g:(x-)1的图象的两个 1-x>0, 交点的横坐标分别为x1,x2,则1<x1<2,2>2. 所以函数f孔x)的定义域为xl-1<x<1}. y (2)因为函数f孔x)的定义域为x-1<x<1}, (分》 3 y=llog (x-1)l 又f-x)=log2[1+(-x)]+log2[1-(-x)]=log2(1-x) 2 +log2(1+x)=fx), 4-3-2-101234x 所以函数f八x)=log2(1+x)+log(1-x)为偶函数 2A 39)=e1+9）)+s(1- - - 1g[(1+9(1-2】=s7-1 所以M=x12-2(x1+）+4=(x1-2)(x2-2)<0,故M<0. B组素养提升 练案[32] 1.B因为f(x)1≥1，所以l1og2x≥1或lg2x≤-1.由于f(x)=A组 基础自测 1g在(0，+)上是增函数，故≥2或x≤？所以x的取值范1，C由题意知 2x+1>0 2x+1≠1， 围是(0，]U[2,+x),放选B --- 解得>-分且≠0，故选C 2.C因为-2<a<b<-1,e>2,所以1<Ib1<al<1cl,所以2.A由题意可得，函数f(x)的定义域为(-1,1)，且代x)= log2lb1<log2lal<log2lcl,所以f(b)<f(a)<f(c),故选C. 3.AC函数y=log2(2x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 芒兰h己。-小易知y=己-1在0.上为增函数 2倍，纵坐标不变，可得函数y=lg(2x×）=lgx的图象， 故fx)在(0,1)上为增函数，又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x) =-f(x),故fx)为奇函数，选A. 则A正确；函数y=log2(2x)图象上所有点的横坐标缩短到原 来的2倍，纵坐标不变，可得函数y=log(2x×2)=lbg(4x) 3.C由g分>log方>0，得-lg3>-ls3>0,得log3< 的图象，故B错误；log2(2x)=1+log2x,将y=1+log2x图象上 s3<0,得d。6<0,得s6<a<0,得0<6ca 的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数y=log2x <1. 的图象，故C正确：函数y=lg(2x)图象上所有点沿x轴向4A由2x2-3x+1>0得(2x-1)(x-1)>0,解得x<2或x 右平移分个单位长度，可得函数y=lg2(x-）=1g(2x -1)的图象，故D错误，故选AC >1设：=22-3+1=2(--g,所以函数：的单调 4.AB由题意可知5x-2=x2+4,即x2-5x+6=0,解得x=2: 递增区间为(1，+∞).又y=log号t为减函数，故y= 或x=3.经检验x=2或x=3均符合题意，故选AB log(22-3x+1)的单调递减区间为(1，+∞)，故选A. 5号-(-)设x<0,则->0，又x>0时，八)=5.A易知2x-3≠0，即x≠弓排除C,D项当x>时，函数 log2x,所以f-x)=log2(-x）, 由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f代x)=log(-x) 为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A 故fx)=-g2(-x)(x<0), :6.3当a>1时fx)的最大值是f(3)=1, 所u/(-9号-s2-号 则l0gm3=1,∴.a=3>1,∴.a=3符合题意； 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)=1, 6.1因为f(x)=logx在区间[a,2a]上是增函数，所以f(x)m 则log2=1,∴.a=2>1.∴.a=2不合题意. —350 7.[-3,-2]y=log.5(x2-6x+13)=logo5[(x-3)2+4],而错误，f代x)没有最大值.故选ABC 当xe[2,5]时，(x-3)2+4e[4,8],令y=logo5t,则te[4,5.1f(x)为偶函数 8],因为该函数是减函数，所以该函数的值域是[log.,8,f代-1)=f1), log.s4],即[-3，-2]. .-ln(-1+√a+I)=ln(1+a+I), 8.b>a>1>d>c>0由题图可知a>1,b>1,0<c<1,0<d！ .ln(1+√a+I)+ln(-1+√a+I)=0, <1. ∴.ln[(√a+1)2-1]=0, 直线y=1与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为c, .lna=0,∴.a=1. d,a,b.故答案为b>a>1>d>c>0. 6.(1,2)若f(x),g(x)均为增函数， 9.(1)当x<0时，-x>0,则 f-x)=log号(-x), ; 则3-a1, La>1, 又fx)为奇函数，所以f(x)=-f孔-x)=-lg头(-x).故当x<0 即1<a<2,若f(x),g(x)均为减函数， 时f孔x)=-log号(-x) (2)由题意及(1)知，原不等式等价于 则0<3-a<1无解 l0<a<1 「x>0, 或∫x<0, 综上，a的取值范围是(1,2) llog号x≤2，l-log号(-x)≤2， 7.(1)使函数fx)-g(x)有意义， 解得≥人或-4≤x<0. 必须有 3+2x>0 4 L3-2x>0 解得- 2 不等式的解朱{≥子或-4≤x<0 所以函数)-()的定义域是{-子<x<} 10.(1)由题意，当Q=0时，代人关系式可得0=50g8,解得 (2)f(x)-g(x)为奇函数.证明：由(1)知函数f(x)-g(x)的 定义域关于原点对称。 S=10. f-x)-g(-x)=log.(3-2x)-log(3+2x)= 因为Q随S的增大而增大，所以当Q≥0时S≥10. -[log.(3+2x)-log(3-2x)]=-[f(x)-g(x)], 所以要保证森林具有净化效果，则森林面积至少为10个 .函数fx)-g(x)是奇函数. 单位 (3)fx)-g(x)>0,即log.(3+2x)>log(3-2x). (2)将S=80代人解析式，得Q=50g8=150, r3+2x>3-2x, 所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150 当a>1时，有3-2x>0, 个单位. 3+2x>0, B组素养提升 解得x的取值范围是(0，)】 1.D根据指数函数和对数函数的性质，可得a=(2)12 r3+2x<3-2x, 2>2°=1,6=lg<ls1=0.0<c=h2<ne=1, 当0<a<1时，有{3-2x>0, 3+2x>0, .a>c>b,故选D. 2.B:log(e+3)≥1=loga对任意实数x都成立∴.a>1且 解得：的取值痘固足(-子，】 a≤e+3,又e+3>3,.1<a≤3，故选B. 3.AD由lx-11>0得，函数y=1oglx-1I的定义域为xlx≠1}. 综上所述，当a>1时x的取值范围是(0,2）： 设g(x)=1x-1山=x-1*>1, 则g(x)在(-∞，1)上为 当0<a<1时，x的取值范围足(-子，0 1-x+1,x<1, 8.(1):f(x)为偶函数 减函数，在(1，+∞)上为增函数， ∴.f代-x)=fx), 且g(x)的图象关于x=1对称，所以f代x)的图象关于x=1对 称，D正确； .In(1-x)+In(a+x)=In(1+x)+In(a-x), .In(1-x)-In(1+x)=In(a-x)-In(a+x), 由上述分析知f代x)=log。Ix-1I在(1，+∞)上递增且无最大 值，A正确，B错误 In1-x=Ia-z 1+x a+x 又f(-x)=lbgI-x-1I=log。lx+11≠f(x),所以C错误，故 .1-x=a-x 选AD. +xa+x' 4.ABCA正确，f(4)=(1g24)2-l1og42-3=-3;B正确，令 整理得2x(a-1)=0, )=0,得(og+D(gx-3)=0,解得=或x=8,即 x不恒为0，.a-1=0,.a=1. (2)由(1)知fx)=n(1+x)+ln(1-x), f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f孔x)=(log2x-1)2 4(x>0),所以当log2x=1,即x=2时，fx)取最小值-4；D 要使函数x)有意义，应满足！+>0， 1-x>0 351 ..-1<x<1 连续生长10年，木材量N=Q(1+18%)(1+10%); .函数fx)的定义域为(-1,1) 生长5年后出售再重新栽树木，木材量M=2Q(1+18%)5 设任意x1,x2e(-1,1),且x1<x2, 则兴-a+i万 2 f(x2)-f(x）=ln(1+x2)+h(1-:）-ln(1+x1)- ln(1-x)=ln(1-x)-ln(1-x) M (1+10%)'≈1.61<2，N>1,即M>N 当-1<x<x2<0时，>号，1-x<1-好， 因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量 .ln(1-x)>n(1-x), B组素养提升 .ln(1-x2)-ln(1-x)>0, :1.D方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差 fx2)-fx)>0,f(x2）>fx1), 大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次函数模型 .f(x)在(-1,0)上是增函数， 的拟合程度最好，故选D 当0≤x1<x2<1时， 方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法.可 x好<号，1-x>1-x2, 取x=4,经检验易知选D .ln(1-x)>ln(1-x), :2.AC在区间(0，+∞)上，指数函数y=a(0<a<1)和对数函 .ln(1-x)-ln(1-x)<0, 数y=ogx(0<b<1)都是减函数，它们的衰减速度都是先快 .f(x2)-f(x1)<0,∴.f(x2)<f(x1), 后慢，故选AC. .f代x)在[0,1)上是减函数： 3.④①③②A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快， 综上可知，函数f(x)在(-1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数 故与④对应：B容器为球形，水高度变化为快一慢一快，应与 ①对应；C,D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线 练案[33] 型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与 A组基础自测 ③对应，D容器慢，与②对应. 1.C通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越 4.e6-1设M=tm,则有2000ln(1+t)=12000, 快，而AD中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度 即n(1+t)=6解得t=e6-1. 保持不变，故选C. 5.由题意得，ae“=a-ae,即。=分，设再过1分钟水桶甲中 2.A由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数 模型为分段函数，故选A 的水只有g,得ae6》= 8 3.C对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大； 11 对于B中的函数，当x=3或4时，误差也较大； 所以e+5)=1 =8=(2) =e1, 对于C中的函数，当x=1,2,3时，误差为0，x=4时，误差为 ∴.t+5=15,.t=10, 10,误差较小： 对于D中的函数，当x=2,3,4时，据函数关系式得到的结果 “再过10分钟水桶甲中的水只有令 与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故6.(1)由题意得。=4，少=3.94， 选C. 所以当n=1时，y=%-(y0-y)×55+ 4.C即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排 即3.94=4-(4-3.94)×515+b,解得b=-1.5. 除A,D:即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排 (2)由(1)得，yn=4-0.06×5m-15 除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有 若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超 相同起点，排除A,D).故选C 过2.08mg, 5.y=x2当x变大时，x比lnx增长要快，.x2比xnx增长得 则4-0.06×51.5m=15≤2.08，整理得，55m-15≥32 要快 两边同时取常用对数，得1.5n-1,5≥g32 1g5 4 由log。x+21og.a+logy=-3,得log.x+bg,+ig 5lg 2 =-3(x>0,y>0,x≠1)， 整理得，1.5n≥1g2+1.5,将1g2≈0.3代人，得n>2.2, 整理可得logy=-(logx)2-3logx-2. 又因为neN,所以n≥3. 综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废 设1=0).则有吧-（+)广+子 气中含有的污染物数量达标， 因为a>1,所以当1=多时，y取得最大值反， 练案[34] 即。万=}，解得a=4,从而g=-,即x=4 3 A组 基础自测 1.B函数fx)=x2+的定义域为xlx≠0}，令f代x)=x2+ 7.设新树苗的木材量为Q,则10年后有两种结果： =0,即2=-1，解得x=-1,所以函数x)=+的零 -352练案[32] 第四章§3[3.3对数函数y=log。x的图象和性质] 化组·基础自测 二、填空题 一、选择题 6.函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)在[2,3]上 的最大值为1，则a= 1.若f八)=og2x+1D,则)的定义城为 7.若函数y=l1og0.5(x2-6x+13)的定义域为[2， 5],则该函数的值域是 A(-3 8.如图所示的曲线分别是对数函数y=logx,y= log6x,y=logx,y=log4x的图象，则a,b,c,d, B(-2+x 1,0的大小关系为 (用“>”号连 c(-20u(0.+x) 接) y=log x D(-2 y=log x 2.设函数fx)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 y=log x A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 三、解答题 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 9.设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=logx. C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 (1)求当x<0时，f(x)的解析式； 3.已知1og了>1og了>0，则a,b的取值范国是 1 (2)解不等式f(x)≤2， ( A.1<b<a B.1<a<b C.0<b<a<1 D.0<a<b<1 4.函数y=l0g(2x2-3x+1)的单调减区间为 A.(1,+0） B.(-. C(2,+ D(-引 5.函数y=血2x-3的图象为 235 10.森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林二、填空题 净化空气量Q与森林面积S的关系是Q=5.若函数f(x)=xn(x+√a+x)为偶函数，则 501og210 a= 6.如果函数f(x)=(3-a),g(x)=logx的增减 (1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则 性相同，则α的取值范围是 森林面积至少为多少个单位？ 三、解答题 (2)当某森林面积为80个单位时，它能净化 7.已知函数f(x)=l0g(3+2x),g(x)=log(3- 的空气量为多少个单位？ 2x)(a>0,且a≠1). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性，并予以 证明； (3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围. 分组·素养提升 一、选择题 1.设a=(2),b=lg子，c=1n3 ,则a,b,c的 大小关系是 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 2.若对任意的实数x,都有log.(e+3)≥1(a>0 且a≠1)，则实数a的取值范围是 ( )8.已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(a-x)为偶 4o引 B.(1,3] 函数 (1)求实数a的值； C.(1,3) D.[3,+∞) (2)讨论函数f(x)的单调性， 3.(多选题)函数f(x)=log Ix-1|在(0,1)上是 减函数，那么 ( A.f(x)在(1，+∞)上递增且无最大值 B.f(x)在(1，+o∞)上递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f八x)的图象关于直线x=1对称 4.（多选题)已知函数f(x)=(1og2x)2-l1og2x2- 3,则下列说法正确的是 A.f(4)=-3 B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点 C.函数y=f(x)的最小值为-4 D.函数y=f(x)的最大值为4 —236