微专题 对数函数比较大小 导学案-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

微专题：对数函数比较大小 学生版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是对数函数性质的直接应用，与指数函数比较大小并列。教材在给出 的图象后，用单调性处理对数值的大小，并在习题中安排底数不同、真数也不同的比较题，要求借换底、插入中间量完成判断。 考查形式：新高考在本讲的题型与指数比较大小同类，多在第 3 至第 5 题，5 分。常见形式为「设 ，，，比较三者大小」，或给三个真数相同、底数不同的对数；也有与 、 比较、与 型配对出现的变形题。 第二部分　记·模型与结论 一、同底数：单调性定序 底数相同、真数不同，把对数看成 的函数值。 时递增，真数大者对数值大； 时递减，真数大者对数值小。 真数的符号要按底数分两类： 时，真数在 与 之间对数值为负、真数大于 对数值为正； 时恰好相反，真数在 与 之间对数值为正、真数大于 对数值为负。插入中间量前先定底数范围，两类不能共用一张符号表。 二、同真数：底大者靠拢 真数相同、底数不同时，可用换底公式化为同一底的商：。分子 相同，只需比较分母 ：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小，真数在 与 之间则底数越大对数值越大；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负，正数大于负数。 两个常用特例：，故 与 一正一负或同时大于 ；，用于底与真数同时带次幂的情形。 三、插入中间量 与 对数题的中间量首选 与 ：，。先把各数与 、 比较分组，组内再用单调性定序。 两数都落在 与 之间、或都在 与 之间时，可再插 、 一类半整数：把对数写成指数式检验，例如 等价于 。 四、三量综合的处理顺序 拿到三个数，先看有没有同底或同真数的配对，有就先配成一对；再看与 、 的关系分组；最后用半整数细分。三步走完，次序一般就确定了。 含参的不等式 要按 与 两类讨论：前者得 ，后者得 ，两类的结论方向相反。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　同底数比较：用单调性 【解题技巧】底数相同先定底数与 的大小，再比真数。真数是分数或小数时先通分或化成分数指数，比较真数本身的大小；底小于 时结论方向要翻转。 【典例 1-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 1-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 1-2】（原创） 比较 与 的大小。 题型二　化同底或同真数 底数之间成幂的关系时先化同底：，。真数相同时改用换底公式比较底数：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负，正数大于负数。 【典例 2-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 2-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 2-2】（原创） 比较 与 的大小。 题型三　插入中间量 【解题技巧】先与 比：真数为 时对数为 ；再与 比：真数等于底时对数为 。三数分组之后，组内用单调性，组间用「正数大于负数」拼接。 【典例 3-1】（原创） 比较 ，， 的大小。 【变式 3-1】（原创） 比较 ，， 的大小。 【变式 3-2】（原创） 比较 ，， 的大小。 题型四　三量综合与含参判定 【解题技巧】三量先配对再分组：找同底的一对或同真数的一对，剩下的用 、 定位。含参的由底数分类讨论： 保向， 反向，两类各解一次再合并。 【典例 4-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 【变式 4-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 【变式 4-2】（原创） 设 ，，，比较 、、 的大小。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖同底比较、底小于 的翻转、与 比较、互为倒数的两式、换底求值、性质辨析与三量中插 的定序。 1．（多选）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（单选） 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．（填空）比较大小： ______ （填 、 或 ）。 4．（填空）比较大小： ______ （填 、 或 ）。 5．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（解答）比较 ，， 的大小。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向同真数三量的定序、以半整数为界的两数比较、以幂次为界的配对比较、性质辨析与正负分层的三量定序。 8．（解答）设 ，，，比较 、、 的大小。 9．（解答）比较 与 的大小。 10．（解答）比较 与 的大小。 11．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（解答）比较 ，， 的大小。 第五部分　思·小结反思 一、同底看单调、同真数看换底 底数相同用对数函数的增减定序；真数相同改用换底公式：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小，真数在 与 之间则底数越大对数值越大；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负。 二、 与 是第一道分界 把 、 分别写成 、，逐个数标注位置，再拼接；两数挤在同一段时，用 、 或整数 再细分。 三、含参先分类、再合并 在 时等价于 ，在 时等价于 ，两类各解一次，结果与底数范围取交集。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：对数函数比较大小 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是对数函数性质的直接应用，与指数函数比较大小并列。教材在给出 的图象后，用单调性处理对数值的大小，并在习题中安排底数不同、真数也不同的比较题，要求借换底、插入中间量完成判断。 考查形式：新高考在本讲的题型与指数比较大小同类，多在第 3 至第 5 题，5 分。常见形式为「设 ，，，比较三者大小」，或给三个真数相同、底数不同的对数；也有与 、 比较、与 型配对出现的变形题。 第二部分　记·模型与结论 一、同底数：单调性定序 底数相同、真数不同，把对数看成 的函数值。 时递增，真数大者对数值大； 时递减，真数大者对数值小。 真数的符号要按底数分两类： 时，真数在 与 之间对数值为负、真数大于 对数值为正； 时恰好相反，真数在 与 之间对数值为正、真数大于 对数值为负。插入中间量前先定底数范围，两类不能共用一张符号表。 二、同真数：底大者靠拢 真数相同、底数不同时，可用换底公式化为同一底的商：。分子 相同，只需比较分母 ：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小，真数在 与 之间则底数越大对数值越大；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负，正数大于负数。 两个常用特例：，故 与 一正一负或同时大于 ；，用于底与真数同时带次幂的情形。 三、插入中间量 与 对数题的中间量首选 与 ：，。先把各数与 、 比较分组，组内再用单调性定序。 两数都落在 与 之间、或都在 与 之间时，可再插 、 一类半整数：把对数写成指数式检验，例如 等价于 。 四、三量综合的处理顺序 拿到三个数，先看有没有同底或同真数的配对，有就先配成一对；再看与 、 的关系分组；最后用半整数细分。三步走完，次序一般就确定了。 含参的不等式 要按 与 两类讨论：前者得 ，后者得 ，两类的结论方向相反。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　同底数比较：用单调性 【解题技巧】底数相同先定底数与 的大小，再比真数。真数是分数或小数时先通分或化成分数指数，比较真数本身的大小；底小于 时结论方向要翻转。 【教学提醒】本型可让学生先在草稿上写「底： 或 」「真数：谁大」两行，再写结论。两个标记写完，方向不会错，也便于自查。 【典例 1-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：底数 在 与 之间， 在 上递减。 ，故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】按真数大对数值大写成 。底小于 时函数递减，真数大对应的对数值反而小。 【变式 1-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：底数 ，函数递增，只需比较真数：。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】见真数小于 就判「对数值无意义」。真数只需大于 ， 合法，其对数为负值。 【变式 1-2】（原创） 比较 与 的大小。 解析：底数 ，函数递增；。 故 。 验算：前者为 ，后者为 ，由 得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把两式都化为负数后仍按正数的次序排，得相反结论。负数的比较要回到 与 的大小，再取相反数翻转。 题型二　化同底或同真数 底数之间成幂的关系时先化同底：，。真数相同时改用换底公式比较底数：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负，正数大于负数。 【教学提醒】本型的关键是识别「哪个量相同」。可让学生把每个对数写成「底、真数」两栏，看哪一栏能对齐；对齐后套用对应的结论，不必每次都换底算。 【典例 2-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：化同底：。 ，而 ，故 。 即 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 判 ，忽略了底数不同。化同底后比较的是 与 ，而不是 与 。 【变式 2-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：。 又 ，故两式相等。 参考答案：。 【学情易错提醒】由底 是 的两倍便判后者更大。底与真数同时乘方时对数值不变， 与 恰好相等。 【变式 2-2】（原创） 比较 与 的大小。 解析：两式互为倒数：。 ，故其倒数在 与 之间，即 。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 判「底小者大」得 。底与真数互换后两式互为倒数， 是这两类数天然的分界。 题型三　插入中间量 【解题技巧】先与 比：真数为 时对数为 ；再与 比：真数等于底时对数为 。三数分组之后，组内用单调性，组间用「正数大于负数」拼接。 【教学提醒】本型可让学生把 与 分别改写成 、，再用同底单调性比较。改写这一步是插入中间量的规范写法，也避免了凭感觉判正负。 【典例 3-1】（原创） 比较 ，， 的大小。 解析：。 ，且真数 ，故 。 综合得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 判 。两式底与真数互换，不能按真数大小定序，须各自与 比较后分组。 【变式 3-1】（原创） 比较 ，， 的大小。 解析：两式真数都小于 ，对数值都为负，均小于 。 换底比较：，。分子同为负数，分母 ，故前者绝对值大，即 。 综合得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】按「底大者对数值大」得 就收尾，忽略了真数小于 时两数都是负数，须连 一起排。真数小于 时结论方向与真数大于 时相反。 【变式 3-2】（原创） 比较 ，， 的大小。 解析：；，且真数 ，故 。 综合得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 判为负数。真数 ，对数为正，只是小于 ；负值出现在真数小于 的时候。 题型四　三量综合与含参判定 【解题技巧】三量先配对再分组：找同底的一对或同真数的一对，剩下的用 、 定位。含参的由底数分类讨论： 保向， 反向，两类各解一次再合并。 【教学提醒】本型可要求学生把三个数各写一行，行末标出它与 、 的关系，标完再排序。三量题的分都丢在「跳过标注、直接凭感觉排」。 【典例 4-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 解析：真数 ，而不等号方向与真数一致，说明函数递增。 故底数 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写「真数小则对数小，故成立」而不讨论底数。底数在 与 之间时函数递减，真数小反而对数大，与题设矛盾，这一层必须写出来。 【变式 4-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 解析：把 写成 ，原不等式为 。 当 时函数递增，得 ，结合 得 。 当 时函数递减，得 ，与 矛盾，此情形无解。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】直接把 当作真数比较，写成 ，得 恒成立，答成 且 。 要改写成 ，真数位置上出现的是 而不是 。 【变式 4-2】（原创） 设 ，，，比较 、、 的大小。 解析：三数都在 与 之间，用 细分：，故 ；，故 。 同理 ，故 ；，故 。 综合得 ，即 。 参考答案：。 【学情易错提醒】按「 递增则对数值递增」排成 。三数的底与真数同时在变，须借中间量细分，不能只看真数。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖同底比较、底小于 的翻转、与 比较、互为倒数的两式、换底求值、性质辨析与三量中插 的定序。 1．（多选）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：底数 ，递增，，故 ，B 正确、A 错误。 底数 ，递减，，故 ，C 正确、D 错误。 参考答案：BC。 2．（单选） 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 解析：，函数递增，，故 。 参考答案：B。 3．（填空）比较大小： ______ （填 、 或 ）。 解析：，函数递增，，故 。 参考答案：。 4．（填空）比较大小： ______ （填 、 或 ）。 解析：，。 故 。 参考答案：。 5．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：。 参考答案：B。 6．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项：底 递增，，正确。 B 项：底 递减， 应对应 ，错误。 C 项：，正确；D 项：，错误。 参考答案：AC。 7．（解答）比较 ，， 的大小。 解析：。 。 综合得 。 参考答案：。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向同真数三量的定序、以半整数为界的两数比较、以幂次为界的配对比较、性质辨析与正负分层的三量定序。 8．（解答）设 ，，，比较 、、 的大小。 解析：三式真数相同且小于 ，对数值都为负数：记 ，则 ，，。 分母 ，分子为负，分母越大商越大，故 。 即 。 参考答案：。 9．（解答）比较 与 的大小。 解析：以 为界：，故 。 ，故 。 故 。 参考答案：。 10．（解答）比较 与 的大小。 解析：以整数 为界：，故 。 ，故 。 故 。 参考答案：。 11．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项：前者大于 、后者小于 ，正确。 B 项：底 ，递减， 对应 ，正确。 C 项：真数为 时对数为 ，正确。 D 项：，错误。 参考答案：ABC。 12．（解答）比较 ，， 的大小。 解析：。 的真数 、底 ，故 。 。 综合得 。 参考答案：。 第五部分　思·小结反思 一、同底看单调、同真数看换底 底数相同用对数函数的增减定序；真数相同改用换底公式：两个底数都大于 或都在 与 之间时，真数大于 则底数越大对数值越小，真数在 与 之间则底数越大对数值越大；一个底数大于 、另一个在 与 之间时，两个对数值一正一负。 二、 与 是第一道分界 把 、 分别写成 、，逐个数标注位置，再拼接；两数挤在同一段时，用 、 或整数 再细分。 三、含参先分类、再合并 在 时等价于 ，在 时等价于 ，两类各解一次，结果与底数范围取交集。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $