4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

§4指数函数、幂函数、对数 当x1时，m=号-子-子nm取最大值学当月总产值 函数增长的比较 为好万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为}万元 必备知识探新知 对点训练3：(1)补齐的图如图： 知识点(a>1)递增快慢较快 关键能力攻重难 例1：y2以爆炸式增长的变量呈指数函数变化， 65- 从表格中可以看出，四个变量y1,,,y均是从2开始变 年 化，变量y1,y2,y,y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中 60 售 变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量 量 y2关于x呈指数函数变化. 对点训练1：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大. 50 (2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f代x)= 2*的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)=x2,增长的 45 3540. 4550 55 60 幅度也在变大；而f(x)=2x+7增长速度不变；增长速度最慢 年宣传费 的是f代x)=log2x,而且增长的幅度越来越小. 由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来 例2：列表： 越慢，因此选取y=c+d√更适合作为年销售量y关于年宣传 0 3 费x的函数解析式 f(x) (2)依题意得，z=200×(4.2+0.07)-x(32≤x≤64)， g(x》 27 化简得z=840+14√-x(32≤x≤64)， 设t=√x(42≤t≤8)，则有z=-t2+14t+840,z=-(t-7)2 +889 故当t=7即投人的年宣传费x=49千元时，年利润取到最 大值， 课堂检测固双基 1.A由函数y=1.1为单调递增的指数函数，函数y=2024x2 0名 x2 为二次函数，y=log2m4x为递增的对数函数，y=2024x为递增 描点、连线，得如图所示图象： 的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数 则函数f代x)=2对应的图象为C2,函数g(x)=x对应的图 的图象与性质，可得指数函数增长速度最快，故选A 象为C 2.B在同一坐标系内作出y=5,y=0.2,y=0.5的图象，由 g(1)=1,f1)=2,g(2)=8,f2)=4,g(9)=729 -1<x<0,观察图象知5<0.5<5，故选B. f9)=512,g(10)=1000,f10)=1024, 3.D由题意可知y=(1+10.4%),故选D. .f1)>g(1),f2)<g(2),f9)<g(9),f10)>g(10), 4.②③由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y=x(0<a<1), .1<x1<2,9<2<10,x1<8<x2<2024 反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈ 从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x): [3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生 当x>x2时，f(x)>g(x),且g(x)在(0，+∞)上是增函数 产，故选②③. ∴.f(2024)>g(2024)>g(8)>f(8) 对点训练2：(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函 §5信息技术支持的函数研究（略） 数为fx)=lgx (2)当0<x<x1时，g(x)>fx);当x1<x<x2时，fx)> 章末知识梳理 g(x);当x>x时，g(x)>f(x). 要点专项突破 例3：(1)依题意，m-n≥0，即9-1 7 2x-4≥-4+5x+4,整理得 例1：(1)原式=log2[(5+2)×(2-V5)]=1g21=0. 2-2x-8≥0，解得x≥4或x≤-2（舍），所以企业要成为不亏 (2)原式=2log2-(1og32-log9)+3log2-3=51og2 损企业，每月至少要生产4台电机 (51og2-2)-3=-1. (2)由(1)可知当0<x<4时企业亏损，亏损额n-m= ③原赋-时+a+ga片=-n-n (子+5+好）-（侵-）-子(：-+号所以例2：①c方法一：当=0时，y=0,放可排除选项A,由1- -307106 课堂检测 固双基 1.函数y=logn(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定 (1)求函数f(x)的解析式； 点 () (2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1). A.(4,2)B.(4,0)C.(5,0)D.(5,2) 2.函数f(x)=logx在(0，+∞)上是减函数，则 a的取值范围是 ( A.(0,+∞）) B.(-0,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 3.函数f(x)=1g(x2-2x-3)的单调递减区间是 () A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(1,+∞) D.（3,+∞) 4.若函数f(x)=logx(0<a<1)在区间[a,2a] 上的最大值是最小值的3倍，则a的值 为 夯基提能作业 5.已知函数代x-1)=82产 请同学们认真完成练案[32] §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课标要求 核心素养 1.能从教材实例中归纳出指数函数与一元一 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，应用 次函数、对数函数与一元一次函数增长的 函数模型解决实际问题的重要特征是将实际问题 差异 中的变量关系用函数表示出来，然后对函数进行 2.能从教材实例中理解“对数增长”“直线上 研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题， 升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 必备知识探新知 知识点三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 幂函数 解析式 y=a(a>1) y=log x y=x(c>0) 单调性 在(0，+∞)上单调 图象（随x的增大） 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 逐渐上升 增长速度（随x的增大） y的增长速度越来越 y的增长速度越来越 y的增长速度 增长关系 存在一个o,当x>x。时，a>x>logx 107 关键能力、 攻重难 ●题型一 函数模型的增长差异 归纳提升：三种函数 例1四个变量心随变量x变化的数据如下表： 模型的增长规律 (1)对于幂函裁y= 5 10 15 20 25 30 x”,当x>0,n>0 2 26 101 226 401 626 901 时，y=x”才是增函 数，当n越大时，增 2 2 32 1024 32768 1.05×10 3.36×10 1.07×109 长速度越快。 10 20 30 40 50 60 (2)指数函数与对数 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 函数的递增前提是 a>1,又它们的图象 关于x呈指数函数变化的变量是 关于y=x对称，从而 [分析]从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值，哪个变量的增加 可知，当a越大，y= 值最大，则该变量关于x呈指数函数变化 [归纳提升] a增长越快；当a越 】对点训练1 小，y=log。x增长越 下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表： 快，一般来说，a> 2 2x+7 logx logx(x >0.a >1). 1 1 9 0 (3)指数函数与幂函 2 11 数，当x>0,n>0, 3 8 9 13 1.585 a>1时，可能开始时 4 6 16 15 2 有x”>a,但因指裁 5 32 25 17 2.322 函数是爆炸型函数， 6 64 36 19 2.585 当x大于某一个确定 7 128 49 21 2.807 值x后，就一定有a 8 256 64 23 >x" 9 512 81 25 3.170 10 1024 100 27 3.322 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度快慢有什么不同？ 108 ●题型二指数函数、对数函数与幂函数模型比较 例2已知函数)=2和g()=,在同一坐标系下作出了它们的图象， 结合图象比较f(8),g(8),f(2024),g(2024)的大小 [分析]由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图 象的交点，分析函数值的大小情况， 归纳提升：由图象判 断指数函数、对数函 数和幂函数的方法 根据图象判断增长型 的指数函数、对数函 数和幂函裁时，通常 是观察函数图象上升 的快慢，即随着自变 量的增长，图象最 “陡”的函数是指数 函数，图象趋于平缓 的函数是对数函数 [归纳提升] )对点训练2 函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的 函数； (2)比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对 f(x),g(x)的大小进行比较). 109 ●题型三几种增长函数模型的应用 归纳提升：实际问题 例3，设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万 中对几种增长模型的 元)与总支出a(万元)近似地满足下列关系：m子：子1=一子 选择技巧 (1)线性函数增长模 +5x+子，当m-n≥0时，称不亏损企业；当m-n<0时，称亏损企 型适合于描述增长速 度不变的变化规律： 业，且n-m为亏损额， (2)指数函数增长摸 (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ 型适合于描述增长速 (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 度快的变化规律： (3)对数函数增长模 型比较适合于描述增 长速度平缓的变化 规律 (4)幂函裁增长模型 介于上述两者之间， 适合一般增长的变化 [归纳提升] 规律 】对点训练3 某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润 (单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费x:和年销售量y:(i=1,2,…, 8)的数据： 5 6 7 38 40 44 46 48 50 52 56 45 55 61 63 65 66 67 68 (1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y=a+bx与y=c+d√x中哪 个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？（给出判断即可， 不必说明理由) (2)若(1)中的a=7,b=1.2,c=4.2,d=0.07,且产品的年利润z与x,y的 关系为z=200y-x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应 为何值？ 60 55 4 35 40 4550 60 年宣传费 110 课堂检测 固双基 1.下列函数增长速度最快的是 A.y=1.1 B.y=2024x2 C.y=log2 024* D.y=2024x 0 2.若-1<x<0,则以下不等式成立的是() c D A.5<5<0.5 4.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t B.5<0.5<5-x (年)的函数关系如图，给出下列四种说法： C.5*<5-<0.5 C D.0.5<5x<5 3.专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面 积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能 0 3 8 年) 增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大 ①前三年中总产量增长的速度越来越快； 致为 ②前三年中总产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变 其中说法正确的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[33] §S信息、技术支持的函数研究（略） 章末知识梳理 知识体系构建 定义：如果a=N,那么b=logN(a>0,a≠1，N>0) 对数的性质：log,a=1,log1=0,aN=N(a>0,a≠1，N>0) 对数的运算性质：若a>0,且a≠1，M>0,N>0,b∈R,则 对数 (1)log,(M.N)log M log N; 及其 运算 （2g兴 log,M log,N; (3)log,M'=b log,M 对数运 换底公式：logb= log b (a>0,b>0,c>0,且a≠1，c≠1) 算与对 log a 数函数 图象 对数函数：y=logx(a>0,且a≠1) 性质 反 定义 函 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数 数 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较