精品解析：广东广州市江南外国语学校2026-2027学年八年级上学期中考试数学科问卷

2026学年第一学期八年级期中考试数学科问卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ） A. 2，4，7 B. 5，6，6 C. 1，1，2 D. 3，4，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形， 故选：B． 3. 双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，准确理解三角形稳定性是解题的关键．根据题意，结合选项进行判断即可． 【详解】解：对于A选项：三角形的稳定性是指三角形具有稳固、坚定、耐压的特点，当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定下来，不会变形．双人漫步机中的三角形支架正是利用了三角形的稳定性，使其结构更加牢固． 对于B选项：两点之间，线段最短是指连接两点的所有线中，线段是最短的，它一般用于解决最短路径等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于C选项：两点确定一条直线是指经过两点有且只有一条直线，它主要用于确定直线的位置等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 对于D选项：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它主要用于求点到直线的距离等问题，与双人漫步机三角形支架的原理不相关． 故选：A． 4. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 5. 如图，已知，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法： 、、、． 【详解】解：．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．用，，，无法证明．故该选项符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得出对应角相等，，在中，根据三角形内角和为，可得，通过角的和差关系求的度数． 【详解】解：由题可知，， ， ，， ，， ， ． 故选：B． 7.  若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出，然后代入即可求解，熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴点， ∴，， ∴， 故选：． 8. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【分析】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 9. 在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 10. 如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 13. 如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若，则的度数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：如图所示 由三角形的外角性质得，， 直尺的两边互相平行， ． 故答案为． 14. 如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．先证明，可得出，，从而得出即可解答． 【详解】解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ， 故答案为： ． 16. 如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 三、解答题（本大题共9题，满分86分．解答须写出必要的过程．） 17. 如图，点、、、四点共线，且，，. 求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据线段的和差关系可得BC=DE，利用ASA可证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得AB=EF. 【详解】∵BD=CE， ∴BC+CD=DE+CD， ∴BC=DE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF， ∴AB=EF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、ASA、SAS、AAS及HL等，全等三角形的判定必须有边的参与，两边一角时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键. 18. 如图，在三角形中，点D是上一点，且．，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键：根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）画出关于y对称的，其中，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）直接写出点、、的坐标：______，______，______． （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所求． （2），， （3）5 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出、、，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中、、所在的位置求解即可． （3）用长方形的面积减去3个小直角三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中、、所在的位置可得∶，，． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：． 【点睛】此题考查了轴对称性质，平面直角坐标系的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称性质，平面直角坐标系的性质． 20. 如图，A、D、E三点在同一条直线上，且． （1）若，，求； （2）若，求． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数． 【小问1详解】 解：∵，，， ，， ； 【小问2详解】 ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 21. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】（1） 如图所示： （2）这个服务站到三条公路的距离均为米． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：作和平分线，交于点，则点即为所求， 【小问2详解】 解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 22. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 23. 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． （1）如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是 （2） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）∠ACB＝108°或117°或84°或102° 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点． （1）先求出、、，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得出结论； （2）可计算得出，，，，再根据“完美分割线”的定义即可证明结论； （3）分为当是等腰三角形和是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互为“类似三角形”． 故答案为：是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或． 24. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　 　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质先求解，再求∠ABD的大小，证明AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，求解，再根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可得到答案； （2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD，即可求得ME=CD，于是证得结论； （3）如图2延长EF与BA延长线交于H，证明，再证明：Rt△ANE≌Rt△APB，可得：，再证明BF是△BEN的中线，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； 故答案为： （2）略 （3）延长EF交BA的延长线于点N， 由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形， ， EF⊥BP， ∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE， ∴Rt△ANE≌Rt△APB（ASA）， ∴BP=EN， ∵BF既是△BEN的角平分线又是高， ∴BF是△BEN的中线， 即： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线构建三角形的全等是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，两点坐标分别为，，且，满足，点，分别是线段，上的动点． （1）直接写出点、点的坐标； （2）如图1，若点为的中点，连接，，，过点作轴的平行线交于点，，求证：； （3）如图2，若点，点在运动的过程中，始终有．当最小时，求的长度． 【答案】（1）， （2）证明：如图，作轴，交延长线于， 点为的中点， ． ， ． 轴， ，， ， 在和中， ， ， ． ，， ， ， 又， ， ， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质即可得解； （2）作轴，交延长线于，根据平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质可推出，先证，得到，再证得到，结合，即可得证； （3）作且，连接，证明得到，从而可得， 当、、三点共线时，最小，据此求解． 【小问1详解】 解：， ，， 解得，， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作且，连接， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时， 又， ， ，， ， ， 当最小时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级期中考试数学科问卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ） A. 2，4，7 B. 5，6，6 C. 1，1，2 D. 3，4，5 3. 双人漫步机（如图）是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7.  若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 12. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 13. 如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若，则的度数为________． 14. 如图，在中，，的角平分线交于点D，，，则的面积是_______． 15. 如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则__________． 16. 如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 三、解答题（本大题共9题，满分86分．解答须写出必要的过程．） 17. 如图，点、、、四点共线，且，，. 求证：. 18. 如图，在三角形中，点D是上一点，且．，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）画出关于y对称的，其中，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）直接写出点、、的坐标：______，______，______． （3）求的面积． 20. 如图，A、D、E三点在同一条直线上，且． （1）若，，求； （2）若，求． 21. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 22. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 23. 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． （1）如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； （3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 24. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　 　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 25. 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，两点坐标分别为，，且，满足，点，分别是线段，上的动点． （1）直接写出点、点的坐标； （2）如图1，若点为的中点，连接，，，过点作轴的平行线交于点，，求证：； （3）如图2，若点，点在运动的过程中，始终有．当最小时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $