精品解析：广东省广州市海珠区琶洲实验学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第一学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 4，4，7 C. 6，7，15 D. 2，5，8 3. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 4. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果，那么 5. 如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，若点P在上，于点B，于点C，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E．，交于点F，交的延长线于点H，连接．下列结论中：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 12. 如图，已知，平分，若，则的长为________． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是________． 14. 如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 15. 在数学实践课上，小珊老师带领同学通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点B，C均与上的点D重合，AC翻折后与AB交于点P，折痕分别为，．已知，的长为，则的周长为________． 16. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值称为线段的“好评距离”，记作．例如：若，，则线段的“好评距离”．①若点，，则________；②若将经过点且垂直于y轴的直线记作，点，关于直线的对称点分别为点G，H，连接和，当为定值时，m的取值范围为________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 已知，，点在上，且满足，求证：． 18. 如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴对称，在图中作出，并直接写出，，的坐标； （2）的面积为________；（直接写答案） （3）若点P在坐标轴上，使得为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．（直接写答案） 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得点D到B，C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为23，求的面积． 21. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中，点B和点C的高度差． 22. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 23. 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分∠ADC； （3）若，，，且，求的面积． 24. 如图，在中，，D为边上的中点． （1）如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 25. 【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 初二级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求的） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 4，4，7 C. 6，7，15 D. 2，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的构成条件，根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，否则不能组成三角形． 只需检查最大边是否小于其余两边之和． 【详解】解：∵选项A：最大边4，，不大于4，∴不能组成三角形． ∵选项B：最大边7，，∴ 能组成三角形． ∵选项C：最大边15，，∴ 不能组成三角形． ∵选项D：最大边8，，∴ 不能组成三角形． 故选B． 3. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 4. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题的对错判断，需写出每个命题的逆命题，再根据等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识判断其正确性即可． 【详解】解：A．原命题：等边三角形是锐角三角形． 逆命题：锐角三角形是等边三角形． ∵锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴逆命题错误． B．原命题：直角三角形的两个锐角互余． 逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形．∵两锐角互余，则第三角为，∴逆命题正确． C．原命题：全等三角形的对应角相等． 逆命题：对应角相等的三角形全等． ∵对应角相等但边长不一定相等，则不一定全等，∴逆命题错误． D．原命题：如果，那么． 逆命题：如果，那么，∵如果，那么，∴逆命题错误． 故选：B 5. 如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积、三角形的中线等知识点，掌握三角形面积公式以及中线的定义是解题的关键． 由代入可得，再由是的中线即可得即可解答． 【详解】解：∵是的高线，的面积是8，， ，解得：， ∴． 故选：D． 6. 如图，若点P在上，于点B，于点C，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，则选项B和D正确；再根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，选项A正确；根据已知条件无法得出，则选项C错误． 【详解】解：∵， ∴，，，则选项B和D正确； ∵， ∴， ∴，则选项A正确； 假设， ∴，由已知条件无法得出这个结论，则选项C错误； 故选：C． 7. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据三线合一得出，根据等边对等角得出，从而可得，由此可求得，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本做题，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由作图可得平分，，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，，故C正确； ∴，故A正确， ∵， ∴，故D正确； 和不一定相等，故B错误， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：．   故选：A ． 10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E．，交于点F，交的延长线于点H，连接．下列结论中：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再结合角平分线的意义求得，即可求得，由此可判断①； 先根据对顶角的性质得出，再证明，从而可得，然后证明，从而可得，结合，可得出，由此可判断②； 证明，从而可得，根据，可得出，从而可得是的中位线，于是有，进而可求得，由此可判断③； 先根据角平分线的性质得出，再利用直角三角形中的两个锐角互余求得，从而可得，于是有，再求得，从而可得，进而可得，由此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图2，延长，交于点N，过点H作于M，过点B作于G，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 如图3，过点F作于K，作于L，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，与三角形中位线有关的求解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于对称轴对称点的特点，根据点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的横坐标不变，为3，纵坐标变为相反数，即， 因此的坐标为． 故答案为． 12. 如图，已知，平分，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，三角形角平分线的定义，根据等角对等边证明边相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用平行线的性质证明，再根据角平分线的意义得出，从而可得，再根据等角对等边得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 15. 在数学实践课上，小珊老师带领同学通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点B，C均与上的点D重合，AC翻折后与AB交于点P，折痕分别为，．已知，的长为，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，利用折叠的性质和等边三角形的判定，说明是等边三角形，再由含30度直角三角形的性质得出，进而解决问题． 【详解】解：由折叠的性质知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 16. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值称为线段的“好评距离”，记作．例如：若，，则线段的“好评距离”．①若点，，则________；②若将经过点且垂直于y轴的直线记作，点，关于直线的对称点分别为点G，H，连接和，当为定值时，m的取值范围为________． 【答案】 ①. 3 ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查点到直线的距离，涉及绝对值的应用、轴对称的性质和分类讨论思想的应用．①直接根据点C和点O到x轴距离，求其最大值即可；②先根据轴对称的性质求点E和点F关于直线的对称点G和H，再计算线段和的“好评距离”和，最后通过分区间讨论绝对值差为定值的条件． 【详解】解：①∵点到x轴的距离为，点到x轴的距离为0， ∴线段上各点到x轴距离的最大值为3， 则 故答案为：3； ②∵点关于直线的对称点G， ∴点G的纵坐标为， 则点G的坐标为， 同理，点关于直线的对称点H的坐标为． 根据题意可得，为或的最大值，为或的最大值， 当时，则，， 故； 当时，则，， 故； 当时，则，， 则的值随m变化，不是定值． 因此，为定值时，m的取值范围是或． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 已知，，点在上，且满足，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 18. 如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义和角平分线的定义，三角形外角的定义和性质等知识. （1）根据三角形内角和定理求得即可； （2）根据三角形的高的定义和角平分线的定义得出,根据三角形外角的定义和性质得出，最后根据三角形内角和定理求得即可. 【小问1详解】 解：∵，． ∴ 【小问2详解】 解：∵，分别是的高线，角平分线， ∴,, ∵是的一个外角， ∴, ∴. 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴对称，在图中作出，并直接写出，，的坐标； （2）的面积为________；（直接写答案） （3）若点P在坐标轴上，使得为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．（直接写答案） 【答案】（1） 如图，与关于x轴对称， 即为所求作， ，，； （2） （3）7个 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的特征画出三角形，再写出相应点的坐标； （2）利用矩形面积减去周围的三角形即可求解； （3）根据等腰三角形的性质分为腰和为腰，结合勾股定理求得点P即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 当时， 以A为圆心长为半径与两坐标轴有4个交点； 其中点在直线上，不构成等腰三角形，其余三个能构成等腰三角形； 当时， 作线段的垂直平分线，与两坐标轴各有一个交点，都符合； 当时， 以B为圆心长为半径作圆，与x轴有两个交点，都符合， 综上所述，符合条件的点共有7个． 故答案为：7个． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形面积，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得点D到B，C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为23，求的面积． 【答案】（1） 点D即为所求． （2）60 【解析】 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）设，可用x表示出和，再根据的周长，列出关于x的方程求解，即可求得，从而可求得的面积为60​． 【小问1详解】 解：连接， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 可得： 【小问2详解】 解：设，则． ∵， ∴． ∴的周长为． ∵的周长，得： ∴ 解得：． ∴的面积为：． 答：的面积为60​． 21. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中，点B和点C的高度差． 【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）通过证明即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质得到的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴点B和点C的高度差为． 22. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）54 【解析】 【分析】（1）利用证明； （2）得到，再利用证明可证明； （3）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23. 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分∠ADC； （3）若，，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 24. 如图，在中，，D为边上的中点． （1）如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）的长为2或14 【解析】 【分析】（1）①求出，可得； ②连接，证明，可得，即可证得； （2）取的中点K，连接，，证明，可得，从而可得； （3）分两种情况：当E在线段上时，取中点T，连接，证明，可得，即可求出；当E在延长线上时，取中点T，连接，可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 解：线段，，之间的数量关系为， 理由如下： 连接，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵D为边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 取的中点K，连接，，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∵K为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当E在线段上时，取中点T，连接，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∴， ∵T为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当E在延长线上时，取中点T，连接，如图： 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边对等角，等边三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 25. 【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2），理由如下： 在上取点，使得，连接， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 为的中点，点为的中点， ， 设，则， ， ， ． （3）当的值最小时，边长的最小值为 【解析】 【分析】（1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，得，则可得出结论； （3）作，使，连接，证明，得，当点在线段上时，的值最小，此时的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：作，使，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $