精品解析：广东珠海市九洲中学2026-2027学年 八年级上学期数学期中试卷

珠海市九洲中学教育集团2026—2027学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A错误． B、∵， ∴不能组成三角形，故B错误． C、∵， ∴不能组成三角形，故C错误． D、∵， ∴能组成三角形，故D正确． 3. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 5. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题的对错判断，需写出每个命题的逆命题，再根据等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识判断其正确性即可． 【详解】解：A．原命题：等边三角形是锐角三角形． 逆命题：锐角三角形是等边三角形． ∵锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴逆命题错误． B．原命题：直角三角形的两个锐角互余． 逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形．∵两锐角互余，则第三角为，∴逆命题正确． C．原命题：全等三角形的对应角相等． 逆命题：对应角相等的三角形全等． ∵对应角相等但边长不一定相等，则不一定全等，∴逆命题错误． D．原命题：如果，那么． 逆命题：如果，那么，∵如果，那么，∴逆命题错误． 故选：B 6. 已知的内角分别为，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟记三角形内角和为180度并应用是解题的关键． 根据三角形的内角和定理，结合各角的关系求出它们的度数，即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故选：A 7. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺， ， ， ， ， ， ， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是， ， 故选：A． 8. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质．先根据等腰三角形的性质求出，由线段垂直平分线的性质得，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故选C． 9. 如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：．   故选：A ． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标特征． 根据关于y轴对称的点坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此m与1互为相反数． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数， 即， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为____． 【答案】 【解析】 【详解】分情况考虑：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去． 当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17 故填17． 13. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 14. 如图，在中，分别是的垂直平分线，，则__________cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，先证明，从而证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后通过证明，可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；故②正确； 由题意无法得到，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上所述：正确的结论有①②④； 故答案为①②④． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先得到，根据证明，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在中，． （1）在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求作的点； （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，过点作直线，交于点，点即为所求作的点； （2）根据等边对等角，得到，再根据外角的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义和角平分线的定义，三角形外角的定义和性质等知识. （1）根据三角形内角和定理求得即可； （2）根据三角形的高的定义和角平分线的定义得出,根据三角形外角的定义和性质得出，最后根据三角形内角和定理求得即可. 【小问1详解】 解：∵，． ∴ 【小问2详解】 解：∵，分别是的高线，角平分线， ∴,, ∵是的一个外角， ∴, ∴. 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴对称，在图中作出和； （2）求的面积； （3）若点P在坐标轴上，使得为等腰三角形，则这样的点P的个数为______．（直接写答案） 【答案】（1）解：如图，和即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案； (2)利用割补法求三角形的面积即可； (3)结合等腰三角形的定义确定点的位置，进而可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图， 当时，在y轴上有2个满足题意的点，在x轴上有1个满足条件的点； 当时，在x轴上有2个满足条件的点； 当时，在y轴上有1个满足题意的点，在x轴上有1个满足条件的点； 综上所述，这样的点P的个数为（个）． 20. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质. （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 21. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 五、解答题（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． （2）若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 【答案】（1） ①．理由如下： 点的运动速度与点的运动速度相等， 当时，厘米． 厘米． 是等边三角形， ， ． ②秒或秒 （2）厘米/秒或厘米秒 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，根据题意建立正确的方程是解题的关键． （1）①分别根据运动速度和时间计算出的值，易得，，再根据等边三角形的性质可得即可证得；②分别根据和两种情况进行讨论，根据角对应的直角边是斜边的一半建立方程求解即可； （2）设点的运动速度为厘米/秒，然后分点的运动速度更快和点的运动速度更快两种情况，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ，解得：秒； b．当时 ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． 【小问2详解】 解：设点的运动速度为． ①．若点的运动速度更快，则，解得：； ②若点的运动速度更快，则，解得． 综上，点的运动速度为厘米/秒或厘米秒． 23. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即将中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；若，，则的取值范围是______； 【方法运用】 （2）运用上面的方法解决下面的问题：如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点，使，连接． 同法（1）得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即平分； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据证明即可；②根据，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点，使，连接．由（1）得：，从而得到，，再由，可得，，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，，证明，得到，，进而得到，推出，，证明是等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市九洲中学教育集团2026—2027学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 3. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果，那么 6. 已知的内角分别为，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于y轴对称，则______． 12. 已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为____． 13. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 14. 如图，在中，分别是的垂直平分线，，则__________cm． 15. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 如图，已知，，，求证：． 17. 如图，在中，． （1）在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 18. 如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． （1）求的值； （2）求的值． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴对称，在图中作出和； （2）求的面积； （3）若点P在坐标轴上，使得为等腰三角形，则这样的点P的个数为______．（直接写答案） 20. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 五、解答题（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． （2）若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 23. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即将中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；若，，则的取值范围是______； 【方法运用】 （2）运用上面的方法解决下面的问题：如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $