精品解析：天津市静海区实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次巩固作业单练习 九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，先化简方程，再根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】A：，，故该方程为一元一次方程； B：若，则该方程不为一元二次方程； C：，，该方程为一元二次方程，符合题意； D：，该方程为二元二次方程． 故选：C． 2. 关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是 A. 图象的开口向下 B. 当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是（﹣1，2） D. 图象与y轴的交点坐标为（0，2） 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A．y＝﹣（x+1）2+2， ∵a＝﹣1＜0， ∴图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意； B．∵y＝﹣（x+1）2+2， ∴开口向下，对称轴为x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减少，故本选项正确，不符合题意； C．顶点坐标为（﹣1，2），故本选项正确，不符合题意； D．∵当x＝0时，y＝1， ∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 先明确一元二次方程一般式的定义：我们把、、为常数，称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到、、的值，求和即可． 【详解】解：． ． ． ． 故：，，． ． 故选：B． 4. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 7. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，结合开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵，抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵， ∴． 8. 把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　） A. y＝3（x+2）2+1 B. y＝3（x+2）2﹣1 C. y＝3（x﹣2）2﹣1 D. y＝3（x﹣2）2+1 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题． 【详解】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴y＝3（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键． 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟记开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴左边，y随着x的增大而增大，对称轴是， ∵， ∴ 故选A． 10. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 11. 如图，矩形的周长是，以为边向外作正方形和正方形，如果正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形的长与宽分别为、，根据周长公式得出的值，根据正方形面积和得出的值，利用完全平方公式变形求出的值.  【详解】解：设，， ∵矩形的周长是20， ∴，即； ∵正方形和的面积之和为68， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即矩形的面积是. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 【答案】x1＝﹣4，x2＝4 【解析】 【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可. 【详解】解：方程变形得：x2＝16， 开方得：x＝±4， 解得：x1＝﹣4，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝4 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 14. 一次同学聚会，每两人都相互握了一次手．小明统计了这次聚会上所有人一共握了28次手，则这次聚会的人数是______． 【答案】 8 【解析】 【分析】设聚会总人数为，根据握手的计数规则，每两人仅握一次手，需避免重复统计，总握手次数为，结合总握手次数为28建立一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，即可得到聚会人数. 【详解】解：设这次聚会的人数为， 由题意，得，整理得 解得，（舍去）； ∴这次聚会的人数为8. 15. 如果将抛物线向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位，得到， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 16. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 17. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，设每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品应售________元． 【答案】 ①. 100 ②. 25 【解析】 【详解】根据题意： (a-21) (350-10a)=400, 解得：a=25 或 31, 21（1+20%）=25.2.所以31舍去. 此时卖出350-10100. 需要卖出100件商品，每件商品应售25元． 18. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解 ：， ， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，. 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵ 不论为何值，，即， ∴ 不论为何值，该方程总有实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）将已知根代入方程求出，再利用根与系数的关系计算另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得． 设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 将代入，得． 综上所述，的值为，方程的另一个根为． 21. 已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1），； （2）当时，函数有最大值，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）根据二次函数的顶点式即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值是． 22. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 【答案】288m2 【解析】 【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2， 根据题意，得， ∴当x=24时，y有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288m2． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式． 23. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】（1）； ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 24. 如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则； （2）． （3）． 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； 【小问3详解】 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标． （2）连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）存在满足条件的点的坐标有． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键． ()根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式； ()先求出直线解析式，设点的坐标为，点的坐标为，且轴，得的解析式，即可求解； ()分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 ∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ①如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ②当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次巩固作业单练习 九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是 A. 图象的开口向下 B. 当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是（﹣1，2） D. 图象与y轴的交点坐标为（0，2） 3. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 4. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 7. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　） A. y＝3（x+2）2+1 B. y＝3（x+2）2﹣1 C. y＝3（x﹣2）2﹣1 D. y＝3（x﹣2）2+1 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11. 如图，矩形的周长是，以为边向外作正方形和正方形，如果正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 14. 一次同学聚会，每两人都相互握了一次手．小明统计了这次聚会上所有人一共握了28次手，则这次聚会的人数是______． 15. 如果将抛物线向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是_______． 16. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 17. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，设每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品应售________元． 18. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 21. 已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 22. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 23. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 24. 如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标． （2）连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $