精品解析：天津市静海区杨成庄乡中学　2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试卷

2025—2026学年度第一学期第三次综合素质评价 九年级数学学科 一、选择题 1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中与点关于原点对称的是（） A. B. C. D. 3. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. 5，2 4. 的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 5. 下列描述的事件为必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上 C. 如果，都是实数，那么 D. 从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为 6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 7. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 某山村种植的水稻年平均每公顷产量为，年平均每公顷产量为，若水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 15. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 16. 已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是_______． 17. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是_______． 18. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，则的长为________． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 解方程 （1）； （2）． 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 22. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 23. 一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价元，则每天销售量增加________件（用含的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元． 24. 如图，内接于，是的直径，点D是上一点，． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点E，求的度数． 25. 如图，的斜边在轴上，，，将绕原点顺时针旋转得到，旋转角记作，点、的对应点分别为点、． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第三次综合素质评价 九年级数学学科 一、选择题 1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可． 【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列各点中与点关于原点对称的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：与点关于原点对称的是． 故选：B． 3. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的各项系数．熟练掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数，且）是解题的关键． 根据方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是5，2，． 故选：A． 4. 的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较圆心到点的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为8，的半径为6， ∴圆心到点的距离大于半径， ∴P在圆的外部， 故选：C． 5. 下列描述的事件为必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上 C. 如果，都是实数，那么 D. 从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，此选项不符合题意； 、小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上，是随机事件，此选项不符合题意； 、如果，都是实数，那么，是必然事件，此选项符合题意； 、从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为，是不可能事件，此选项不符合题意； 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 7. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为， ∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， 当时，，即图象与y轴交点为， 综上，选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意． 故选D． 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的横坐标代入函数解析式，可求出，，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵ 二次函数为， ∴ 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ∴． 故选：B． 10. 某山村种植的水稻年平均每公顷产量为，年平均每公顷产量为，若水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：． 11. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 12. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 二、填空题 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位长度， ∴可得：平移后的抛物线的解析式为， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式等于零列关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 16. 已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本体考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，直接进行计算即可．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意，圆锥的侧面积是； 故答案为：． 17. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，根据公式计算即可． 【详解】∵一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有7种等可能性，白色棋子，有2种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．勾股定理求出的长，旋转得到，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是利用因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程． （1）利用提公因式法分解因式解一元二次方程； （2）利用十字相乘法分解因式解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，． 20. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， ， 所以，． 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 22. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式与列表法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红2 红1，黄 红1，蓝 红2 红2，红1 红2，黄 红2，蓝 黄 黄，红1 黄，红2 黄，蓝 蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄 共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片． 23. 一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价元，则每天销售量增加________件（用含的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元． 【答案】（1） （2）15元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，分析题意，理清数量关系，正确列出代数式与方程是解题的关键． （1）根据“每件服装降价1元，平均每天可多售出2件”可得当每件服装降价x元时，每天销售量增加件； （2）每件服装降价元，则每件服装的利润为元，每天可销售件，它们的积为每天总利润，从而列出方程，求解并对根取舍即可解答． 【小问1详解】 解：∵每件服装降价1元，平均每天可多售出2件， ∴当每件服装降价元时，每天销售量增加件． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每件服装降价元，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，， ∵要让利于顾客， ∴， 答：每件服装降价15元时，商家平均每天能盈利1500元． 24. 如图，内接于，是的直径，点D是上一点，． （1）如图①，若，求和的度数； （2）如图②，若于点E，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆周角及弧的关系． （1）根据圆周角定理即可得到本题答案； （2）根据（1）中结果及圆周角定理，圆周角弧之间关系即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：∵是的直径，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 25. 如图，的斜边在轴上，，，将绕原点顺时针旋转得到，旋转角记作，点、的对应点分别为点、． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，坐标与图形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）由旋转的性质结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）作轴于点，证明，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 设，则， ， ， 解得， ． 由旋转性质得，， ，，， ， ，； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点， 由题意得， ． 由（1）得， 设， 在中， ， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $