精品解析：广西南宁市北湖北路学校2026年秋季学期10月期中质量检测九年级数学试题

2026年秋季学期期中质量检测九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：是负数，、、均为非负数， ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数是． 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形． 【详解】根据中心对称图形的定义，选项A，C，D不符合要求，只有选项B图形绕中心点旋转，图形能够与原图形重合，符合要求． 3. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 5. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：， 这三名同学跳远成绩最稳定的是丙， 故选：C． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得出，又因为，故进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、完全平方公式、平方差公式逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 8. 已知为方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．直接利用一元二次方程的根与系数的关系：，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程中，二次项系数，常数项， ∴， 故选：D． 9. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x．则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设平均每次降价的百分率为，根据题意可得原售价乘等于降价后的售价． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意可得． 故选：A． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 11. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，，，则的度数为（ ）． A. 24° B. 25° C. 26° D. 28° 【答案】B 【解析】 【分析】设∠BAC=x，然后结合平行四边形、等腰三角形的性质和已知条件列方程求出x即可． 【详解】解：设∠BAC=x， ∵， ∴∠EBA=∠BAC=x，∠BCE=∠CEB=2x， ∴∠EBC=180°-4x， ∴180°-4x+x=105°， ∴x=25°， 故答案为B． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形、等腰三角形的性质和方程思想方法的应用是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A(3，0)，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且点B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例函数的图象于点E，则点E的纵坐标是(　　) A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据AAS定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OB1的长，进而可得出E点坐标． 【详解】解：∵Rt△AOD中，OA=3，AD=5， ∴OD===4 过点C作CF⊥y轴于点F， ∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°， ∴∠DCF=∠ADO， 在△CDF与△DAO中， ∴△CDF≌△DAO（AAS）， ∴CF=OD=4，DF=OA=3， ∴C（4，7）． ∵反比例函数y=图象经过点C， ∴k=4×7=28， ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵OB1=OA+AB1=3+5=8， ∴点E的横坐标为8， ∴y== ∴点E的纵坐标是. 故选C. 【点睛】本题是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别将各点的横坐标代入二次函数计算对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴，的面积为5，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第二、四象限即可得出的值． 【详解】解：∵轴于点，的面积为5， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 16. 如图，四边形是正方形，E为边上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转性质得，结合可知垂直平分，从而；设，则，，，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，  四边形是正方形，，，  ，， 由旋转的性质可得：，  ，，  ，  垂直平分，  ， 设，则，，  ，  ， 在中，，  ， 解得， 即的长为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 如图，已知点，，． （1）画出与关于x轴对称的图形； （2）将绕着点A逆时针旋转得到的，画出． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，据此得到对应点的坐标，再作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到对应点的位置，再作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 实验小组进行过山车轨道建模实验，轨道上一点距离参考基准面的竖直高度(米)与水平位置(米)满足二次函数关系传感器记录下部分水平位置与对应高度的数据如下：这条轨道轮廓对应的抛物线最低点就是二次函数的顶点． … … … … （1）该抛物线对称轴是直线________，________； （2）根据上表数据，在给定的平面直角坐标系中描点，连线画出这个二次函数的图象； （3）参考二次函数图象性质的表述，请你根据函数图象写出一条性质． 【答案】（1）， （2） （3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）表中与时的函数值相等，由此确定对称轴，再由对称性求； （2）按表中数据描点，用光滑曲线顺次连接各点； （3）由图象的开口方向与最低点，写出随的变化规律． 【小问1详解】 解：∵当时，当时， ∴点与点关于该抛物线的对称轴对称， ∴该抛物线的对称轴是直线． ∵点与点关于直线对称， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知该抛物线的对称轴是直线， ∵由表中数据可知顶点为，它是图象的最低点， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 20. 平陆运河是广西内河水运重大工程．如图，航道施工段旁有一块平整空地，项目部计划采购总长的彩钢围挡，依托运河堤岸搭建矩形材料堆放场、运河堤岸足够长，直接作为矩形的边，无需搭设围挡．为方便工程车辆与工人进出，在边处预留宽的进出口，进出口位置不设置围挡． （1）设矩形的边，请用含的代数式表示边的长； （2）若要求材料堆放场矩形的总面积为，求该矩形材料堆放场的长与宽； （3）当边为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）该矩形材料堆放场的长为，宽为或长为，宽为 （3）米时，矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设矩形的面积为，表示出与的解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，， 当时，，， 当时，，， 该矩形材料堆放场的长为，宽为或长为，宽为； 【小问3详解】 解：设矩形的面积为， 由题意可得，， ， 当时，最大，最大值为， 米时，矩形的面积最大，最大面积是． 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，过点，的直线为． （1）求边的长； （2）求关于的函数解析式； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，矩形绕原点顺时针旋转得到矩形，根据旋转性质：，坐标为，点在直线上，代入得到方程，即可得的长； （2）结合（1）中的值及解析式求出点的坐标即可求出反比例函数； （3）结合图像即可求不等式范围． 【小问1详解】 解：设，四边形是矩形，则，． 矩形绕原点顺时针旋转得到矩形， ，即． 在直线上， 把代入：，解得， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得：， 在直线上，将代入 ， 解得， ， 在反比例函数上， ， ． 【小问3详解】 解：联立，其中一个交点为， 直线与轴交点：令，解得， ， 的含义：直线在轴上方、且在双曲线下方， 结合图像得：． 22. 综合与探究 【初步感知】如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，线段分别与线段，交于点，线段与交于点． （1）【猜想证明】猜想：线段与的数量关系为________，与的数量关系为________，并求证：； （2）【拓展探究】在旋转过程中，完成下面探究： ①如图2，当时，求证：四边形是菱形； ②如图3，已知，，是边上的中点，在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为点，连接，，求线段的最大值． 【答案】（1）；； 证明：∵，是的中线， ∴，，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）①证明：是的中线， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形． ② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出；结合图形得到，运用即可求证； （2）①根据旋转得到，由平行线的判定得到，可证四边形是菱形，由此即可求解； ②是中点，在中，，；旋转后，轨迹是以为圆心、为半径的圆，最大值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②为中点， ． ， ． 点绕旋转，， 最大值为． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，投石车是我国古代一种远程攻击武器，石块在空中的运动路线可看作开口向下的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，某投石车从距离地面高米的点处向前发射石块（看作一个点），在原点正前方有一堵防御墙，该墙的竖直截面为矩形，城墙上点处有一面帅旗，城墙厚为米，高为米，投石车与防御墙左端的水平距离为米，以在点正下方的点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系． （1）模型应用：第一次投石时，当石块与点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米． ①该抛物线的顶点坐标为_________， ②试判断此次投石车投出的石头能否击中帅旗，并通过计算说明理由； （2）模型迁移：如图3，第二次投石时，通过调整投石角度保持石块从点向前发射，抛物线的形状与第一次相同，此时顶点横坐标为，最大飞行高度随顶点的位置而变化，若石块能越过防御墙（即此飞行过程石块飞行高度始终大于米），且落地时与原点的水平距离不超过米，求的取值范围． 【答案】（1）①；②此次投石车投出的石头不能击中帅旗，理由如下： 由题意可得， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 投石车与防御墙左端的水平距离为米， 当时，， 城墙的高为米，且， 此次投石车投出的石头不能击中帅旗； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意即可求解；②由题意可得， 设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求出该抛物线的解析式为，求出时对应的值，再与比较，即可判断； （2）根据题意可设第二次投石时的抛物线解析式为，将代入可得，则，根据题意得当和时，，以及落地时与原点的水平距离不超过米，列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：①当石块与点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米， 抛物线的顶点坐标为； ②略 【小问2详解】 由题意知，抛物线的形状与第一次相同，则， 设第二次投石时的抛物线解析式为， 将代入得， ， ， 若石块能越过防御墙（即此飞行过程石块飞行高度始终大于米）， 则当和时，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 令，则， 解得（负值已舍去）， 落地时与原点的水平距离不超过米， ， 解得， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中质量检测九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x．则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，，，则的度数为（ ）． A. 24° B. 25° C. 26° D. 28° 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A(3，0)，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且点B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例函数的图象于点E，则点E的纵坐标是(　　) A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴，的面积为5，则k的值为_______． 16. 如图，四边形是正方形，E为边上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，已知点，，． （1）画出与关于x轴对称的图形； （2）将绕着点A逆时针旋转得到的，画出． 19. 实验小组进行过山车轨道建模实验，轨道上一点距离参考基准面的竖直高度(米)与水平位置(米)满足二次函数关系传感器记录下部分水平位置与对应高度的数据如下：这条轨道轮廓对应的抛物线最低点就是二次函数的顶点． … … … … （1）该抛物线对称轴是直线________，________； （2）根据上表数据，在给定的平面直角坐标系中描点，连线画出这个二次函数的图象； （3）参考二次函数图象性质的表述，请你根据函数图象写出一条性质． 20. 平陆运河是广西内河水运重大工程．如图，航道施工段旁有一块平整空地，项目部计划采购总长的彩钢围挡，依托运河堤岸搭建矩形材料堆放场、运河堤岸足够长，直接作为矩形的边，无需搭设围挡．为方便工程车辆与工人进出，在边处预留宽的进出口，进出口位置不设置围挡． （1）设矩形的边，请用含的代数式表示边的长； （2）若要求材料堆放场矩形的总面积为，求该矩形材料堆放场的长与宽； （3）当边为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，过点，的直线为． （1）求边的长； （2）求关于的函数解析式； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22. 综合与探究 【初步感知】如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，线段分别与线段，交于点，线段与交于点． （1）【猜想证明】猜想：线段与的数量关系为________，与的数量关系为________，并求证：； （2）【拓展探究】在旋转过程中，完成下面探究： ①如图2，当时，求证：四边形是菱形； ②如图3，已知，，是边上的中点，在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为点，连接，，求线段的最大值． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，投石车是我国古代一种远程攻击武器，石块在空中的运动路线可看作开口向下的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，某投石车从距离地面高米的点处向前发射石块（看作一个点），在原点正前方有一堵防御墙，该墙的竖直截面为矩形，城墙上点处有一面帅旗，城墙厚为米，高为米，投石车与防御墙左端的水平距离为米，以在点正下方的点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系． （1）模型应用：第一次投石时，当石块与点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米． ①该抛物线的顶点坐标为_________， ②试判断此次投石车投出的石头能否击中帅旗，并通过计算说明理由； （2）模型迁移：如图3，第二次投石时，通过调整投石角度保持石块从点向前发射，抛物线的形状与第一次相同，此时顶点横坐标为，最大飞行高度随顶点的位置而变化，若石块能越过防御墙（即此飞行过程石块飞行高度始终大于米），且落地时与原点的水平距离不超过米，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $