精品解析：广西南宁市西乡塘区安吉中学重点班2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试题

2024年秋季学期安吉中学期中学业质量调研 九年级数学学科试卷（A） （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 满分120分） 出题人：周小龄 审题人：陆佩玲、梁常新 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负数的实际意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为； 故选C． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 3. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题的关键． 5. 如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，即可得到． 【详解】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，熟知平行线的性质定理，根据题意得到是解题关键． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 8. 已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（ ）． A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解：，相似比为， 的周长的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，以及三角函数的余弦求值，取格点，连接，得到，利用勾股定理求出，再根据余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：取格点，连接， 由图知，，，， ， ， 故选：A． 10. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 计算：2sin60°=______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解：2sin60°=2×． 14. 已知与关于原点对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于原点对称， ∴， 故答案为：． 15. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，于，若的半径为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，结合垂径定理得到，利用勾股定理得到，即可求出． 【详解】解：于， ，， 的半径为，， ， ， ； 故答案为：． 17. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 18. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点， ∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据含乘方的有理数混合运算顺序和运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点A移动到点，请画出； （2）作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标； （3）与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）如图，△为所作； （2） △为所作： ，，； （3）与成中心对称，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据中心对称的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，，， 根据与的顶点坐标的特点可得，，，交于点， ∵点和点关于点，点和点关于点，点和点关于点， ∴与成中心对称，对称中心的坐标为． 22. 某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小刚选择线路A的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【小问1详解】 解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小刚选择线路A的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：依题意，列表可得 小刚\小红 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种， 小刚和小红选择同一线路的概率为． 23. 为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例．现在测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米含药量，请根据题中所提供信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式 ， 药物燃烧后， y关于x的函数关系式 ； （2）研究表明，每立方米的含药量不超过时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回教室？ 【答案】（1）；，；（2）． 【解析】 【分析】（1）本题考查反比例函数的应用，以及正比例函数的应用，由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为，然后由在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为，然后由在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式． （2）本题考查反比例函数的应用，把代入反比例函数解析式，求出相应的x，即可解题． 【详解】（1）解：药物燃烧时y与时间x成正比例， 设， 在上，， ， ； 药物燃烧完毕后，y与x成反比例， 设， 在上， ， ； 故答案为：，． （2）把代入，得， 学生至少经过30分钟才可以进课室． 24. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．） （1）求点距水平面的高度； （2）求广告牌的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据坡度结合正切得到，再结合直角三角形性质即可求出； （2）延长交的延长线于点，利用解直角三角形得到，结合平行线性质，等腰三角形性质求出，，再结合解直角三角形求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 解：山坡的坡度， ， ， 米， 米； 【小问2详解】 解：延长交的延长线于点， 由题知，，米． 米， 处测得广告牌顶部的仰角为， 由平行线性质可知， ， ， ， 米， 山坡的坡度， 米， 米， 米， 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握解直角三角形的方法． 25. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 26. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）求线段的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期安吉中学期中学业质量调研 九年级数学学科试卷（A） （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 满分120分） 出题人：周小龄 审题人：陆佩玲、梁常新 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（ ）． A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 计算：2sin60°=______． 14. 已知与关于原点对称，则的值是________． 15. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 16. 如图，于，若的半径为，，则________． 17. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 18. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点A移动到点，请画出； （2）作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标； （3）与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 22. 某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小刚选择线路A的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率． 23. 为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例．现在测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米含药量，请根据题中所提供信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式 ， 药物燃烧后， y关于x的函数关系式 ； （2）研究表明，每立方米的含药量不超过时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回教室？ 24. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．） （1）求点距水平面的高度； （2）求广告牌的高度．（结果保留根号） 25. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 26. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）求线段的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $