专题训练 反比例函数专题期中复习讲义 （知识清单 12知识点&20考点&24题）2026-2027学年人教版数学九年级上册

九 年 级 上 · 期 中 突 破 反 比 例 函 数 定义 · 图象 · 的几何意义 · 一次函数 · 实际应用 01 学习目标 1．能判断一个函数是不是反比例函数，会把 、、 三种形式互化。 2．会用待定系数法求解析式，包括“ 与 成反比例”这类复合说法。 3．能由 的符号判断图象所在象限，反过来由象限定 的范围。 4．会在同一支上比较函数值大小，跨支时知道要先分象限。 5．熟记 的几何意义：矩形取 ，三角形取 ，并能由此反求 。 6．会求双曲线与一次函数的交点，用图象法写出 的解集。 7．能用反比例函数解决工程、行程、物理三类实际问题，并写出取值范围。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 · 三种形式的互化与定义辨析 · 待定系数法求解析式 · 象限、增减性、对称性 · 的几何意义（矩形与三角形） · 与一次函数结合的交点、不等式与面积 · “每一支”上才成立的增减性，跨支比较 · 复合反比例： 与 成反比例 · 的几何意义里符号与绝对值的处理 · 图象法解不等式时 处要断开 · 几何综合里的设点法与消参 易错清单 · 考前必看 · 忘记 ，把 也当成反比例函数。 · 指数型 只算指数，漏掉系数不为 。 · 比较大小跨支直接用增减性，结论正好相反。 · 误把矩形面积记成 、三角形记成 。 · 不等式解集写成 ，把中间那段也算进去。 · 实际问题忘写 和单位。 03 目录 板块 内容 一 学习目标 · 重点难点 · 易错清单 二 目录 · 知识结构图 三 知识清单 01–12（定义、求式、图象、对称、增减、 的几何意义、交点、不等式、面积、建模、设点） 四 考点清单（20 个考点 · 考频分级） 五 题型全解（六组 · 题型 1–20） 六 解答题专项（G 组 · 第 21–24 题） 七 方法对照总表 · 最后三句话 04 知识结构图 ① 定义与求式 、，一点定 反比例 函　数 六 个 板 块 ④ 的几何意义 矩形 ，三角形 ② 图象与象限 一三， 二四 ⑤ 与一次函数 交点、不等式、面积割补 ③ 对称与增减 原点对称，每一支内单调 ⑥ 面积、建模与设点 总量一定，设点后消去 看图口诀　先看 的符号定象限，再看点落在哪一支；要算面积就找 和 ，要写范围就回图象看上下方。双曲线碰上直线，先算交点，再切三角形，最后才写不等式。 05 知识清单 01–04 01　定义与三种形式 模型特征 题干出现“ 与 成反比例”“ 等于定值”，或者给一个含参指数的函数让你判断，都从这里入手。 核心结论 形如 （，，）的函数叫反比例函数。三种等价写法：、、。判断只看两条——一个非零常数，除以自变量本身。 易错提醒 、 都不是反比例函数； 时函数值恒为 ，也不叫反比例函数。 02　求解析式 模型特征 给图象上一个点、给一组 、 的对应值、说“图象经过某点”，都属于这一类。 核心结论 设 ，代入点 ，得 ，一个点就能定 。遇到“ 与 成反比例”，设 ，不能设成 。 易错提醒 代入时横纵坐标别颠倒；求出 后顺手写清 的取值范围。 03　图象与象限 图 1　 时图象在一、三象限， 时在二、四象限，两支都不过原点 模型特征 问图象位于第几象限、经过哪几个象限，或由象限反求 的范围。 核心结论 ：第一、三象限，每一支上 随 增大而减小；：第二、四象限，每一支上 随 增大而增大。 易错提醒 分子写成 时，先由 得 ，别直接写 。 04　对称性 模型特征 给一个点，问另一个点是否也在图象上；题干出现“关于原点对称”“关于直线 对称”。 核心结论 点 在图象上，则 、、 都在图象上。双曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是 与 。 易错提醒 “关于原点对称”对应 ，“关于 对称”对应 ，两个别混。 06 知识清单 05–08 05　增减性：只在同一支上成立 模型特征 比较几个点函数值的大小，或判断“ 随 增大而……”这个说法对不对。 核心结论 时，在每一支上 随 增大而减小； 时，在每一支上 随 增大而增大。跨两支比较，先分象限，再看是否落在同一支。 易错提醒 “每一支”三个字不能省。三点横坐标有正有负时，直接代值算 最稳，不会出错。 06　k 的几何意义：矩形与三角形 图 2　矩形 的面积是 ， 的面积是 模型特征 题目给出垂线、矩形、三角形，问面积；或者反过来给面积求 。 核心结论 过 作两轴垂线，围成的矩形面积 ；其中一半（）面积 。面积永远为正， 的正负由象限单独判断。 易错提醒 把矩形写成 、三角形写成 ，是这一章最常见的失分点。 07　同底等高与跨支面积 图 3　直线 过原点，、 分居两支， 是 在 轴上的垂足，此时 模型特征 出现“面积相等”“面积之比”，先用同底等高把面积换成坐标，再列方程。 核心结论 过双曲线上一点 向两坐标轴作垂线，与原点围成的三角形面积为 ，同底等高的三角形面积相等，可据此把面积换成坐标。过原点的直线与双曲线交于 、 两点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，则 。 易错提醒 求高看的是到坐标轴的距离，不是两点间的斜线长度。 08　与一次函数的交点 图 4　双曲线位于直线上方的两段，就是 的解集 模型特征 双曲线与直线求交点、求解析式、求围成的面积、比较大小。 核心结论 联立 与 消 ，得 ，交点的横坐标是它的根。只有正比例函数即 时，两个交点才关于原点对称。 易错提醒 “只有一个公共点”有两种情形：相切（），或直线水平（一次项系数为 ），别只答一个。 07 知识清单 09–12 09　图象法解不等式 模型特征 写出 或 的解集。 核心结论 先求交点横坐标，再看图象上下方。答案一定是两段， 是断点，不能并成一段。 易错提醒 写成 是把中间那段算进去了，正确写法是 或 。 10　面积的割补算法 图 5　 用直线与 轴的交点切成两块，各自算高再相加 模型特征 直线与双曲线围成的三角形、四边形面积。 核心结论 取直线与坐标轴的交点作分割点，；也可以用一个公共底乘两个高的和。四边形面积优先用“矩形减两个三角形”。 易错提醒 分割点选错，高就算成了斜边，数值会明显偏大。 11　实际建模 模型特征 工程、行程、压强、电学、杠杆，题面给“总量一定”。 核心结论 总量一定时 为定值：，，，，。写完解析式立刻写取值范围，通常 。 易错提醒 “不超过”“至少”决定不等号方向，最后要检验结果是否符合实际。 12　设点法与二级结论 模型特征 几何综合题里，双曲线上有动点，要求线段长、面积或最值。 核心结论 设 ，用 表示线段和面积，再消去 。横线段取 ，竖线段取 。 易错提醒 设点后忘了写 与 的范围，会多出不合题意的解。 二级结论 ① 矩形 ；② 三角形 ；③ 过原点直线交两支于 、，过 作垂线，。 ④ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。 08 考点清单 序 考点 考频 常见设问 对应题号 1 定义辨析 ★★★ 判断是否反比例函数 1 2 求 与解析式 ★★★★ 给一点求 、求表达式 2、8 3 复合反比例 ★★ 与 成反比例 4 4 象限与 的符号 ★★★ 由象限定 的范围 5 5 增减与比较大小 ★★★★ 三个点比 值 6 6 对称点 ★★★ 关于原点、 对称 7 7 矩形面积型 ★★★★ 给矩形面积求 10 8 三角形面积型 ★★★★ 给三角形面积求 9 9 同底等高转化 ★★★ 面积相等、面积之比 11、12 10 交点与解析式 ★★★★ 双曲线与直线交点 16、21 11 图象法解不等式 ★★★★ 与 的大小 13、14 12 两交点与面积 ★★★★ 求 面积 16、21、23 13 只有一个公共点 ★★ 相切或水平线 15 14 工程问题 ★★★ 总量一定，求工期 17 15 物理情境 ★★ 电流与电阻、压强 18 16 取值范围 ★★★ 至少、不超过 17、18 17 矩形中的双曲线 ★★★ 中点、交点坐标 19、22 18 正方形中的双曲线 ★★★ 边长与 20 19 设点法求几何量 ★★ 用坐标表示面积 24 20 综合与规律 ★★ 面积定值、规律探究 24 09 A 组　定义与解析式 题型 1　定义辨析 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型 2　求 与解析式 2．若反比例函数 的图象经过点 ，则 ＝＿＿＿＿。 题型 3　含参指数型 3．若 是反比例函数，则 ＝＿＿＿＿。 题型 4　复合反比例 4．已知 与 成反比例，且 时 ，则 ＝＿＿＿＿。 10 B 组　图象与性质 题型 5　象限与 的符号 5．若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是＿＿＿＿。 题型 6　增减与比较大小 6．点 、、 都在反比例函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型 7　对称点 7．若点 在反比例函数 的图象上，则下列各点一定也在图象上的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型 8　求函数值 8．反比例函数 的图象经过点 ，则当 时 ＝＿＿＿＿； 当 时 ＝＿＿＿＿。 11 C 组　 的几何意义 题型 9　三角形面积求 9．点 在第一象限，且在反比例函数 的图象上， 轴于 ，。 则 ＝＿＿＿＿。 题型 10　矩形与三角形面积 10．过双曲线 上一点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、，则矩形 的面积为＿＿＿＿， 的面积为＿＿＿＿。 题型 11　同底等高 11．如图，点 、 都在反比例函数 （）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，且 。若 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 图 6　第 11 题 题型 12　过原点的弦与面积 12．如图，直线 过原点，与反比例函数 （）的图象交于 、 两点， 轴于点 。若 ，则 ＝＿＿＿＿。 图 7　第 12 题 12 D 组　一次函数与不等式 题型 13　图象法解不等式 13．一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，则不等式 的解集是＿＿＿＿。 题型 14　含参不等式 14．直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，则不等式 的解集是＿＿＿＿。 题型 15　只有一个公共点 15．若直线 与反比例函数 的图象只有一个公共点，则 ＝＿＿＿＿。 题型 16　交点与面积 16．直线 与 的图象交于点 ，与 轴交于点 。 则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 13 E 组　实际应用 题型 17　工程问题 17．某工程队修一条长 m 的公路，每天修 m，需 天完成。若要在 天内完工，则每天至少修＿＿＿＿m。 题型 18　物理情境 18．某蓄电池的电压为定值 V，电流 （A）与电阻 （Ω）满足 。当电阻由 Ω 变为 Ω 时，电流变为原来的＿＿＿＿。 14 F 组　几何综合 题型 19　矩形中的双曲线 19．如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，、，反比例函数 （）的图象经过 的中点 ，交 于点 ，则 ＝＿＿＿＿，点 的坐标为＿＿＿＿。 图 8　第 19 题 题型 20　正方形中的双曲线 20．如图，正方形 边长为 ， 为原点， 在 轴正半轴上，（）的图象经过 的中点 ，交 于点 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 图 9　第 20 题 15 G 组　解答题专项 题型 21　一次函数与反比例函数综合 21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线与 轴交于点 。 （1）求 、 的值； （2）求点 的坐标及 的面积； （3）直接写出不等式 的解集。 图 10　第 21 题 题型 22　矩形中的面积分割 22．如图，矩形 中，、，反比例函数 （）的图象经过 的中点 ，交 于点 。 （1）求 的值和点 的坐标； （2）求四边形 的面积。 图 11　第 22 题 题型 23　面积定参数 23．如图，直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线与 轴交于点 。 （1）求 、 两点的坐标及 的面积； （2）若把反比例函数换成 ，且 的面积为 ，求 的值。 图 12　第 23 题 题型 24　动点面积是否变化 24．如图，、 在 的图象上，直线 交 轴于点 。 （1）求 的值； （2）求 的面积； （3）点 是图象上位于 、 之间的一动点，过 作 轴于点 ，问 的面积是否随 的位置变化？说明理由。 图 13　第 24 题 16 方法对照总表 题型 识别关键词 一句话做法 1 定义辨析 给一个函数问“是不是” 化简成 ，查 2 求解析式 给一个点或一组对应值 设 ，代点得 3 含参指数 的指数含参数 指数 且系数 ，两个条件都要 4 复合反比例 与 成反比例 设 ，别套 5 象限判断 图象在第几象限 一三， 二四 6 比较大小 三个点比 值 先分象限，同支用增减，或直接代值 7 对称点 关于原点、 对称 或 8 求另一值 给点求 再求 或 先定 ，再代 或 9 三角形面积 给 求 ，符号看象限 10 矩形面积 给矩形面积求 11 同底等高 面积相等、面积比 换成坐标，比底或比高 12 过原点的弦 直线过原点、交两支 13 交点求式 直线与双曲线交于两点 联立，代入一点求参数 14 不等式 大于或小于直线 两段， 断开 15 一个公共点 只有一个交点 或直线水平 16 交点与面积 求 取轴交点切两块，高相加 17 工程 总量一定，求天数 ， 18 物理 电流、压强、杠杆 先写公式，再代值 19 矩形综合 矩形边上有交点 设点或求中点坐标 20 正方形综合 正方形边上有交点 用边长表示坐标，代入 最后三句话 ① 先定 ，再谈图形。解析式是一切结论的起点。 ② 面积只认 与 ，符号由象限决定。 ③ 双曲线遇直线，先求交点，再切三角形，最后才写范围。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年 级 上 · 期 中 突 破 反 比 例 函 数 定义 · 图象 · 的几何意义 · 一次函数 · 实际应用 01 学习目标 1．能判断一个函数是不是反比例函数，会把 、、 三种形式互化。 2．会用待定系数法求解析式，包括“ 与 成反比例”这类复合说法。 3．能由 的符号判断图象所在象限，反过来由象限定 的范围。 4．会在同一支上比较函数值大小，跨支时知道要先分象限。 5．熟记 的几何意义：矩形取 ，三角形取 ，并能由此反求 。 6．会求双曲线与一次函数的交点，用图象法写出 的解集。 7．能用反比例函数解决工程、行程、物理三类实际问题，并写出取值范围。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 · 三种形式的互化与定义辨析 · 待定系数法求解析式 · 象限、增减性、对称性 · 的几何意义（矩形与三角形） · 与一次函数结合的交点、不等式与面积 · “每一支”上才成立的增减性，跨支比较 · 复合反比例： 与 成反比例 · 的几何意义里符号与绝对值的处理 · 图象法解不等式时 处要断开 · 几何综合里的设点法与消参 易错清单 · 考前必看 · 忘记 ，把 也当成反比例函数。 · 指数型 只算指数，漏掉系数不为 。 · 比较大小跨支直接用增减性，结论正好相反。 · 误把矩形面积记成 、三角形记成 。 · 不等式解集写成 ，把中间那段也算进去。 · 实际问题忘写 和单位。 03 目录 板块 内容 一 学习目标 · 重点难点 · 易错清单 二 目录 · 知识结构图 三 知识清单 01–12（定义、求式、图象、对称、增减、 的几何意义、交点、不等式、面积、建模、设点） 四 考点清单（20 个考点 · 考频分级） 五 题型全解（六组 · 题型 1–20） 六 解答题专项（G 组 · 第 21–24 题） 七 方法对照总表 · 最后三句话 04 知识结构图 ① 定义与求式 、，一点定 反比例 函　数 六 个 板 块 ④ 的几何意义 矩形 ，三角形 ② 图象与象限 一三， 二四 ⑤ 与一次函数 交点、不等式、面积割补 ③ 对称与增减 原点对称，每一支内单调 ⑥ 面积、建模与设点 总量一定，设点后消去 看图口诀　先看 的符号定象限，再看点落在哪一支；要算面积就找 和 ，要写范围就回图象看上下方。双曲线碰上直线，先算交点，再切三角形，最后才写不等式。 05 知识清单 01–04 01　定义与三种形式 模型特征 题干出现“ 与 成反比例”“ 等于定值”，或者给一个含参指数的函数让你判断，都从这里入手。 核心结论 形如 （，，）的函数叫反比例函数。三种等价写法：、、。判断只看两条——一个非零常数，除以自变量本身。 易错提醒 、 都不是反比例函数； 时函数值恒为 ，也不叫反比例函数。 02　求解析式 模型特征 给图象上一个点、给一组 、 的对应值、说“图象经过某点”，都属于这一类。 核心结论 设 ，代入点 ，得 ，一个点就能定 。遇到“ 与 成反比例”，设 ，不能设成 。 易错提醒 代入时横纵坐标别颠倒；求出 后顺手写清 的取值范围。 03　图象与象限 图 1　 时图象在一、三象限， 时在二、四象限，两支都不过原点 模型特征 问图象位于第几象限、经过哪几个象限，或由象限反求 的范围。 核心结论 ：第一、三象限，每一支上 随 增大而减小；：第二、四象限，每一支上 随 增大而增大。 易错提醒 分子写成 时，先由 得 ，别直接写 。 04　对称性 模型特征 给一个点，问另一个点是否也在图象上；题干出现“关于原点对称”“关于直线 对称”。 核心结论 点 在图象上，则 、、 都在图象上。双曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是 与 。 易错提醒 “关于原点对称”对应 ，“关于 对称”对应 ，两个别混。 06 知识清单 05–08 05　增减性：只在同一支上成立 模型特征 比较几个点函数值的大小，或判断“ 随 增大而……”这个说法对不对。 核心结论 时，在每一支上 随 增大而减小； 时，在每一支上 随 增大而增大。跨两支比较，先分象限，再看是否落在同一支。 易错提醒 “每一支”三个字不能省。三点横坐标有正有负时，直接代值算 最稳，不会出错。 06　k 的几何意义：矩形与三角形 图 2　矩形 的面积是 ， 的面积是 模型特征 题目给出垂线、矩形、三角形，问面积；或者反过来给面积求 。 核心结论 过 作两轴垂线，围成的矩形面积 ；其中一半（）面积 。面积永远为正， 的正负由象限单独判断。 易错提醒 把矩形写成 、三角形写成 ，是这一章最常见的失分点。 07　同底等高与跨支面积 图 3　直线 过原点，、 分居两支， 是 在 轴上的垂足，此时 模型特征 出现“面积相等”“面积之比”，先用同底等高把面积换成坐标，再列方程。 核心结论 过双曲线上一点 向两坐标轴作垂线，与原点围成的三角形面积为 ，同底等高的三角形面积相等，可据此把面积换成坐标。过原点的直线与双曲线交于 、 两点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，则 。 易错提醒 求高看的是到坐标轴的距离，不是两点间的斜线长度。 08　与一次函数的交点 图 4　双曲线位于直线上方的两段，就是 的解集 模型特征 双曲线与直线求交点、求解析式、求围成的面积、比较大小。 核心结论 联立 与 消 ，得 ，交点的横坐标是它的根。只有正比例函数即 时，两个交点才关于原点对称。 易错提醒 “只有一个公共点”有两种情形：相切（），或直线水平（一次项系数为 ），别只答一个。 07 知识清单 09–12 09　图象法解不等式 模型特征 写出 或 的解集。 核心结论 先求交点横坐标，再看图象上下方。答案一定是两段， 是断点，不能并成一段。 易错提醒 写成 是把中间那段算进去了，正确写法是 或 。 10　面积的割补算法 图 5　 用直线与 轴的交点切成两块，各自算高再相加 模型特征 直线与双曲线围成的三角形、四边形面积。 核心结论 取直线与坐标轴的交点作分割点，；也可以用一个公共底乘两个高的和。四边形面积优先用“矩形减两个三角形”。 易错提醒 分割点选错，高就算成了斜边，数值会明显偏大。 11　实际建模 模型特征 工程、行程、压强、电学、杠杆，题面给“总量一定”。 核心结论 总量一定时 为定值：，，，，。写完解析式立刻写取值范围，通常 。 易错提醒 “不超过”“至少”决定不等号方向，最后要检验结果是否符合实际。 12　设点法与二级结论 模型特征 几何综合题里，双曲线上有动点，要求线段长、面积或最值。 核心结论 设 ，用 表示线段和面积，再消去 。横线段取 ，竖线段取 。 易错提醒 设点后忘了写 与 的范围，会多出不合题意的解。 二级结论 ① 矩形 ；② 三角形 ；③ 过原点直线交两支于 、，过 作垂线，。 ④ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。 08 考点清单 序 考点 考频 常见设问 对应题号 1 定义辨析 ★★★ 判断是否反比例函数 1 2 求 与解析式 ★★★★ 给一点求 、求表达式 2、8 3 复合反比例 ★★ 与 成反比例 4 4 象限与 的符号 ★★★ 由象限定 的范围 5 5 增减与比较大小 ★★★★ 三个点比 值 6 6 对称点 ★★★ 关于原点、 对称 7 7 矩形面积型 ★★★★ 给矩形面积求 10 8 三角形面积型 ★★★★ 给三角形面积求 9 9 同底等高转化 ★★★ 面积相等、面积之比 11、12 10 交点与解析式 ★★★★ 双曲线与直线交点 16、21 11 图象法解不等式 ★★★★ 与 的大小 13、14 12 两交点与面积 ★★★★ 求 面积 16、21、23 13 只有一个公共点 ★★ 相切或水平线 15 14 工程问题 ★★★ 总量一定，求工期 17 15 物理情境 ★★ 电流与电阻、压强 18 16 取值范围 ★★★ 至少、不超过 17、18 17 矩形中的双曲线 ★★★ 中点、交点坐标 19、22 18 正方形中的双曲线 ★★★ 边长与 20 19 设点法求几何量 ★★ 用坐标表示面积 24 20 综合与规律 ★★ 面积定值、规律探究 24 09 A 组　定义与解析式 题型 1　定义辨析 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案　B。反比例函数必须能化成 （），只有 符合。 题型 2　求 与解析式 2．若反比例函数 的图象经过点 ，则 ＝＿＿＿＿。 答案　。 题型 3　含参指数型 3．若 是反比例函数，则 ＝＿＿＿＿。 答案　指数为 ，得 ，；又系数 ，故 。 题型 4　复合反比例 4．已知 与 成反比例，且 时 ，则 ＝＿＿＿＿。 答案　设 ，代入 得 ，故 。 10 B 组　图象与性质 题型 5　象限与 的符号 5．若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是＿＿＿＿。 答案　，即 。 题型 6　增减与比较大小 6．点 、、 都在反比例函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案　代值得 ，，，故 ，选 B。 题型 7　对称点 7．若点 在反比例函数 的图象上，则下列各点一定也在图象上的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案　C。关于原点对称的点 仍在图象上。 题型 8　求函数值 8．反比例函数 的图象经过点 ，则当 时 ＝＿＿＿＿； 当 时 ＝＿＿＿＿。 答案　； 时 ， 时 。 11 C 组　 的几何意义 题型 9　三角形面积求 9．点 在第一象限，且在反比例函数 的图象上， 轴于 ，。 则 ＝＿＿＿＿。 答案　，得 ； 在第一象限，，故 。 题型 10　矩形与三角形面积 10．过双曲线 上一点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、，则矩形 的面积为＿＿＿＿， 的面积为＿＿＿＿。 答案　矩形面积 ； 面积为 。 题型 11　同底等高 11．如图，点 、 都在反比例函数 （）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，且 。若 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 图 6　第 11 题 答案　，、 在第一象限，故 ，； 也在图象上， 的面积同样是 。 题型 12　过原点的弦与面积 12．如图，直线 过原点，与反比例函数 （）的图象交于 、 两点， 轴于点 。若 ，则 ＝＿＿＿＿。 图 7　第 12 题 答案　设 ，则 ，，点 到 的距离为 ，故 。 12 D 组　一次函数与不等式 题型 13　图象法解不等式 13．一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，则不等式 的解集是＿＿＿＿。 答案　 或 。看图象，双曲线在直线上方的部分对应这两段， 处要断开。 题型 14　含参不等式 14．直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，则不等式 的解集是＿＿＿＿。 答案　 或 。两交点横坐标为 和 ， 时两者异号，不满足。 题型 15　只有一个公共点 15．若直线 与反比例函数 的图象只有一个公共点，则 ＝＿＿＿＿。 答案　消 得 。相切时 ，；直线水平时 ，也只有一个交点。故 或 。 题型 16　交点与面积 16．直线 与 的图象交于点 ，与 轴交于点 。 则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 答案　；令 得 ，。 13 E 组　实际应用 题型 17　工程问题 17．某工程队修一条长 m 的公路，每天修 m，需 天完成。若要在 天内完工，则每天至少修＿＿＿＿m。 答案　（）；由 得 ，每天至少修 m。 题型 18　物理情境 18．某蓄电池的电压为定值 V，电流 （A）与电阻 （Ω）满足 。当电阻由 Ω 变为 Ω 时，电流变为原来的＿＿＿＿。 答案　 时 A， 时 A，电流变为原来的 。 14 F 组　几何综合 题型 19　矩形中的双曲线 19．如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，、，反比例函数 （）的图象经过 的中点 ，交 于点 ，则 ＝＿＿＿＿，点 的坐标为＿＿＿＿。 图 8　第 19 题 答案　，；令 得 ，故 。 题型 20　正方形中的双曲线 20．如图，正方形 边长为 ， 为原点， 在 轴正半轴上，（）的图象经过 的中点 ，交 于点 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 图 9　第 20 题 答案　，；令 得 ，。 15 G 组　解答题专项 题型 21　一次函数与反比例函数综合 21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线与 轴交于点 。 （1）求 、 的值； （2）求点 的坐标及 的面积； （3）直接写出不等式 的解集。 图 10　第 21 题 答案　（1） 在双曲线上，；代入直线得 。 （2）由 得 ， 或 ，故 。，。 （3） 或 。 题型 22　矩形中的面积分割 22．如图，矩形 中，、，反比例函数 （）的图象经过 的中点 ，交 于点 。 （1）求 的值和点 的坐标； （2）求四边形 的面积。 图 11　第 22 题 答案　（1），；令 得 ，。 （2），，，故 。 题型 23　面积定参数 23．如图，直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线与 轴交于点 。 （1）求 、 两点的坐标及 的面积； （2）若把反比例函数换成 ，且 的面积为 ，求 的值。 图 12　第 23 题 答案　（1）由 得 ，、；，。 （2）设两交点横坐标为 、，则 ，。又 ，得 。 题型 24　动点面积是否变化 24．如图，、 在 的图象上，直线 交 轴于点 。 （1）求 的值； （2）求 的面积； （3）点 是图象上位于 、 之间的一动点，过 作 轴于点 ，问 的面积是否随 的位置变化？说明理由。 图 13　第 24 题 答案　（1）。 （2）直线 为 ，，。 （3）不变。，只与 有关，与 的位置无关。 16 方法对照总表 题型 识别关键词 一句话做法 1 定义辨析 给一个函数问“是不是” 化简成 ，查 2 求解析式 给一个点或一组对应值 设 ，代点得 3 含参指数 的指数含参数 指数 且系数 ，两个条件都要 4 复合反比例 与 成反比例 设 ，别套 5 象限判断 图象在第几象限 一三， 二四 6 比较大小 三个点比 值 先分象限，同支用增减，或直接代值 7 对称点 关于原点、 对称 或 8 求另一值 给点求 再求 或 先定 ，再代 或 9 三角形面积 给 求 ，符号看象限 10 矩形面积 给矩形面积求 11 同底等高 面积相等、面积比 换成坐标，比底或比高 12 过原点的弦 直线过原点、交两支 13 交点求式 直线与双曲线交于两点 联立，代入一点求参数 14 不等式 大于或小于直线 两段， 断开 15 一个公共点 只有一个交点 或直线水平 16 交点与面积 求 取轴交点切两块，高相加 17 工程 总量一定，求天数 ， 18 物理 电流、压强、杠杆 先写公式，再代值 19 矩形综合 矩形边上有交点 设点或求中点坐标 20 正方形综合 正方形边上有交点 用边长表示坐标，代入 最后三句话 ① 先定 ，再谈图形。解析式是一切结论的起点。 ② 面积只认 与 ，符号由象限决定。 ③ 双曲线遇直线，先求交点，再切三角形，最后才写范围。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $