第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 反比例函数单元强化卷，适用于单元复习，全面覆盖定义、图像性质、解析式确定等核心知识，融入“瞎转圈”现象、容器密度等真实情境，通过函数与几何综合题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义、图像分布、增减性|基础概念辨析，如第5题结合图像性质考参数范围| |填空题|6/18|解析式求法、交点坐标、增减性比较|如第14题结合三角形面积考一次函数解析式，体现几何直观| |解答题|8/72|实际应用（第18题“瞎转圈”现象）、函数与几何综合（第23题矩形与平行四边形）|注重模型意识，如第17题用密度与体积关系建立反比例函数模型；强调推理能力，如第24题探究面积存在性问题|

第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A． B． C．0 D．1 3．已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（ ） 3 6 A． B．4 C． D．9 4．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 7．如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．若反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为____________________． 12．若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 13．已知点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）． 14．如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为___________． 15．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为_______． 16．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 18．（8分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 20．（8分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 23．（10分）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A 10．C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12．减小 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 18．(1) (2)半径为米 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 19．(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 20．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 21．(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 22．(1)3 (2) 【分析】此题考查了平移的性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握平移的性质和反比例函数的性质是关键． （1）求出和，根据平行四边形的性质即可得到的长； （2）求出点的坐标为．代入求出，即可得到直线的解析式． 【详解】（1）解：由平移可得轴， ∴ 四边形为平行四边形． ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， 解得， ∴， 由平移可知，点的纵坐标为， ∵，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点 C 的横坐标为，即点． ∴； （2）∵四边形的面积是8，点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 由平移可得点C的纵坐标为2， ∴点的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴直线的解析式为． 23．(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 24．(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，求反比例函数解析式等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如（且k为常数）的式子，也可写成的形式；据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：，，均是一次函数，是反比例函数， 故选：B． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知，解出m的值即为本题答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 3．已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（ ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数值，求反比例函数解析式，解题关键是求得函数的解析式． 先根据，，求得反比例函数解析式，再求出时函数值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 4．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 5．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 6．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、当时，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数（为常数，）中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．设点的坐标为，因为点在反比例函数上，所以，由图可知，阴影部分矩形的面积为，又因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，则，所以反比例函数的解析式为． 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 8．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，先求出的坐标，进而求出点坐标，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴， 当时，， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴的面积； 故选C． 9．若反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像性质，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，得，再整理得出，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 10．若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为____________________． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知，函数图像经过点， ∴，得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 12．若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 13．已知点，都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握当 时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而减小这一性质． 判断点在同一象限（第一象限）；明确反比例函数的性质：第一象限内y随x增大而减小；比较横坐标，结合性质即可解题． 【详解】解：已知反比例函数，根据反比例函数的性质：当时，函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小． 点和的横坐标分别为2和3，均为正数，因此两点都在第一象限． 因为，且在第一象限内y随x的增大而减小，所以． 故答案为：． 14．如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数其系数的几何意义，求一次函数解析式，根据，以及反比例函数图象所在象限推出的值，即可解题． 【详解】解： 的面积为3， ，即， 双曲线在第一象限， ， 则一次函数的解析式为， 故答案为：． 15．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象关于原点对称的性质是解题的关键． 因为正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形，所以它们的交点、关于原点对称，根据关于原点中心对称的点的坐标特点“纵坐标，横坐标都互为相反数”，即可求得点坐标． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形， 它们的交点、关于原点对称， ， ∴B点的坐标为， 故答案为：． 16．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数，掌握相关知识是解决问题的关键．因为点坐标为，点为中点，根据矩形的性质，可得点坐标，则反比例函数解析式可求，进而求出点坐标，由勾股定理可求的长度． 【详解】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点， ，点的纵坐标是4， 将点坐标代入，得， 反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 18．（8分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 20．（8分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查了平移的性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握平移的性质和反比例函数的性质是关键． （1）求出和，根据平行四边形的性质即可得到的长； （2）求出点的坐标为．代入求出，即可得到直线的解析式． 【详解】（1）解：由平移可得轴， ∴ 四边形为平行四边形． ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， 解得， ∴， 由平移可知，点的纵坐标为， ∵，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点 C 的横坐标为，即点． ∴； （2）∵四边形的面积是8，点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 由平移可得点C的纵坐标为2， ∴点的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴直线的解析式为． 23．（10分）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 24．（10分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，求反比例函数解析式等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $