专题03 反比例函数（期中复习讲义）（知识梳理 + 典例精讲 + 分层训练）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册《反比例函数》期中考点复习讲义 (教师版·含完整解析) 一、本章方法总结 项目 要点 核心思想 数形结合：图像与代数互相印证 解题优先级 先看k符号判断图像所在象限：k的几何意义优先用面积转化 参数必查 反比例函数y=长条件k≠0，x≠0 重要推论 过双曲线上任一点向坐标轴作垂线，矩形面积k,直角三角形面积k 综合流程 联立方程组求交点：比较函数值看图像上下位置 高频丢分点 增减性必须强调”在每一个象限内”；面积忘记加绝对值；实际问题自变量x> 0:跨象限比较函数值乱用增减性 二、知识点梳理 1.反比例函数的定义 一般形式：y=长(k为常数，k≠0) 常见变形：y=k;y=kx1。条件：k≠0，自变量x≠0，函数值y≠0。 2.图像与性质（双曲线） k>O:图像在第一、三象限：在每一个象限内，y随x的增大而减小： k<O:图像在第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大。 A注意：不能直接说k>0时y随x增大而减小”，必须加上在每一个象限内”。 3.k的几何意义 若点P(x,y)是双曲线y=上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线： 围成矩形的面积：S矩形=k: 围成直角三角形的面积：S△=k。 4.待定系数法求解析式 只需知道双曲线上一个点的坐标，代入y=上求出k即可。 5.反比例函数与一次函数综合 联立 ,，得到一元二次方程，解出交点坐标；比较两个函数值的大小，看图像谁在 y=ax+b 上方。 6.实际应用 现实问题中自变量一般取正数，图像只取双曲线在第一象限的那一支。 三、考点精讲 考点1：反比例函数的概念与含参数判定★ 【例题】(2025一2026学年·某重点中学期中改编)下列函数中，属于反比例函数的是() A.y=3x B.y=-2 2 C.y= -1 D.y=2x-1+1 【答案】B 【分析】反比例函数的标准形式是y=上k≠0)，分母只能是单独的x,分子为常数，不能有 额外常数项。 【详解】A是正比例函数；B中k=-2≠0，符合反比例函数定义；C的分母是x-1,不是 x,不是反比例函数：D整理为y=+1,多了常数项，不是反比例函数。故选B。 【变式】 (2025一2026学年·期中改编)若函数y=(m-3)xm-10是反比例函数，则m= 【答案】-3 【分析】反比例函数中x的次数等于-1，且系数不为0。 【详解】由 m2-10.1,得m2=9,m=±3：又m≠3，故m=3。 m-3≠0 考点2：反比例函数的图像与性质（象限、增减性)★★ 【例题】(2025-2026学年山西期中改编)已知反比例函数y=的图像位于第二、四象 限。 (1)求m的取值范围： (2)若点A(-2,y1)、B(-1,y2)在该函数图像上，比较y1与y2的大小。 【答案】(1)m<2;(2)y1<y2。 【分析】图像在第二、四象限说明k<O;A、B同在第二象限，可在同一象限内利用增减性 比较大小。 【详解】 (1)图像在第二、四象限，故m-2<0,解得m<2。 (2)k=m-2<0,在第二象限内y随x的增大而增大：因为-2<-1，且两点同在第二象 限，所以y1<y2 考点3：k的几何意义（由面积求k)★★ 【例题】(2025一2026学年·北京海淀期中改编)点P是反比例函数y=上图像上一点，过P 作PM1x轴于M,PN1y轴于N,矩形PMON的面积为6，且图像经过第二象限，求k的 值。 【答案】k=-6。 【分析】矩形面积k=6:图像经过第二象限，说明k<0。 【详解】矩形PMON的面积S=k=6,故k=±6；双曲线经过第二象限，k<0,所以k= -6。 【变式】若双曲线上一点向x轴作垂线，形成的直角三角形面积为4，双曲线在第一、三象 限，则k= 【答案】8。 【分析】S=k=4,故k=8:第一、三象限说明k>0。 【详解】k=4,得k=8;又k>0,故k=8。 考点4：待定系数法求反比例函数解析式★★ 【例题】(2024一2025学年·广东龙岗期中改编)已知反比例函数图像经过点A(-3,4)。 (I)求该反比例函数的解析式： (2)判断点B(2,-6)是否在该双曲线上。 【答案】(1)y=- (2)点B在该双曲线上。 【分析】把已知点代入求k;判断点是否在图像上，看横、纵坐标之积是否等于k。 【详解】 (1) 把A(-3,4)代入y=堂得4=与解得k=-12,所以解析式为y=-号 (2)点B(2,-6)的横、纵坐标之积为2×(-6)=-12=k,故点B在该双曲线上。 考点5：反比例函数与一次函数简单综合★★★ 【例题】(2024一2025学年·重庆期中改编)已知反比例函数y=。与一次函数y=x+1交于 A、B两点。 (1)求A、B两点的坐标： (2)直接写出当>x+1时，x的取值范围。 【答案】(1)A(2,3),B(-3,-2):(2)x<-3或0<x<2。 【分析】联立方程组求交点：看图像，双曲线在直线上方对应的x范围，注意x≠O。 6 【详解】(1)联立 得=x+1,整理为x2+x-6=0,即(K+3)(x-2)=0,解 y=x+1 得X1=2,X3=-3。 当x=2时y=3:当x=-3时y=-2。故交点为A(2,3)、B(-3,-2)。 (2)观察图像，双曲线在直线上方时，x<-3或0<x<2。 考点6：反比例函数的实际应用★★★ 【例题】(2025一2026学年·呼和浩特期中改编)某工厂要加工一批零件，零件总数量固定为 240个，设每天加工x个，需要y天完成。 (1)写出y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围： (2)若要求8天之内完成任务，则每天至少加工多少个零件？ 【答案】(1Dy=要G>0:(2)每天至少加工30个零件. 【分析】总工作量=每天工作量×天数；实际问题中x>0。 【详解】 (1D由y=240,得y=9x≥0). (2)要求y≤8，即0≤8：因为x>0,两边同乘x得240≤8x,解得x≥30。 答：每天至少加工30个零件。 四、分层作业 A层（基础巩固★，难度系数0.850.95，全员必做） A1.下列函数：①y=②y=草®y=是④y=+2。其中属于反比例函数的是 【答案】①③。 【分析】对照反比例函数的定义逐个判断。 【详解】①符合：②是正比例函数：③y=三，符合：④多了常数项2，不是反比例函数。 A2.反比例函数y=三的图像位于第 象限：在每一个象限内，y随x的增大而 【答案】二、四；增大。 【分析】k=-5<O,图像在第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 【详解】k=-5<0,图像位于第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大。 A3.点M(4,一2)在反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 【答案】y=一 【分析】代入点的坐标求k。 【详解】k=y=4×(-2)-8,故解析式为y=- A4.过双曲线上一点A作x轴的垂线，垂足为B,△AOB的面积为3，双曲线在第一、三象 限，则k= 【答案】6。 【分析】S=k=3,且k>0。 【详解】k=3,得k=6;双曲线在第一、三象限，k>0,故k=6。 B层（能力提升★★，难度系数0.6一0.75，中等及以上选做） B5.已知反比例函数y=专点(-1，y)、(2,y)在图像上，且y1>y,试判断k的符号. 【答案】k<0。 【分析】两点横坐标一负一正，不在同一象限，不能直接用增减性：x=一1对应第二象限， x=2对应第四象限。 【详解】x=-1<0,x=2>0,两点不在同一象限。y1>y2说明第二象限点的函数值为正 第四象限点的函数值为负，故k<0。 B6.已知反比例函数y=四，当x1<0<x2时，对应的函数值y1<y2,求m的取值范围。 【答案】m>0。 【分析】x<0时y1<0:x>0时y2>0,说明图像在第一、三象限。 【详解】x1<0时y1<0;X2>0时y2>0,双曲线在第一、三象限，故m>0。 B7.（2025一2026学年·内蒙古地区期中改编)某蓄水池容积为120m3,排水速度为 v(m3h),排空时间为t(h)。 (1)写出v与t的函数关系式： (2)若要5小时之内排空，排水速度至少为多大？ 【答案】 (1Dv=12(>0): (2)至少24m3h。 t 【分析】容积速度x时间：实际问题中自变量大于0。 【详解】(1)由t=120,得v=129t>0)。 (2)要求t≤5，即0≤5，解得v≥24。 答：排水速度至少为24mh。 C层（拓展培优★★★，难度系数0.30.5，学有余力） C8.一次函数y=x+2与反比例函数y=k≠0)交于A(1,m)。 (1)求m、k的值： (2)求两个函数图像的另一个交点坐标。 【答案】(1)m=3,k=3;(2)B(-3,-1)。 【分析】点A在直线上，先求m,再代入双曲线求k:联立方程组求第二个交点。 【详解】 (1)A(1,m)在y=x+2上，m=1+2=3,故A(1,3):代入y=三得k=1×3=3。 =X+2 (2)联立 ，得x+2=是 整理为x2+2x-3=0,即(x+3)(x-1)=0, 解得x1=1,x2=-3。 当x=-3时y=-1,故另一交点为B(-3,-1)。 C9.已知点A是双曲线y=三在第一象限上一点，过A作ABIx轴于B,AC1y轴于C。 (1)求矩形ABOC的面积； (2)若点A坐标为(a,b),点A沿双曲线运动时，矩形面积是否发生变化？说明理由。 【答案】(1)8：(2)面积不变，恒等于8。 【分析】利用k的几何意义：矩形面积等于k。 【详解】 (1)k=8,矩形面积S=k=8。 (2)点A(a,b)在双曲线上，故ab=k=8;矩形面积S=ab=8,无论A在第一象限内怎样 移动，矩形面积恒为8，不发生变化。 五、易错点汇总 易错点 正确做法 典型例子 描述增减性丢掉在每一个象 k>0时，在每个象限内y随 直接写y=y随x增大而 限内” x增大而减小；不能直接说整 减小”是错误的 个定义域内减小 k的几何意义忘记加绝对值 矩形面积k,三角形面积 面积为6，直接写k=6,忽 k,再结合象限判断k的正 略经过第二象限应取k=-6 负 易错点 正确做法 典型例子 跨象限两点比较函数值乱用 横坐标正负不同、不在同一 y=4上的点(-2，y1)、 增减性 象限时，不能用增减性，应 (2,y),不能直接用增减性比 代入计算或看图 较 综合求不等式范围漏掉x≠0双曲线在x=0处断开，解集 >x+1易错写成 必须排除x=0 -3<x<2,漏掉x≠0 实际应用题忽略自变量x>0工程、排水类问题中x代表 解不等式时不等号方向出错 数量或速度，只能取正数 人教版九年级上册《反比例函数》期中考点复习讲义 （教师版·含完整解析） 一、本章方法总结 项 目 要 点 核心思想 数形结合：图像与代数互相印证 解题优先级 先看 符号判断图像所在象限； 的几何意义优先用面积转化 参数必查 反比例函数 ，条件 ， 重要推论 过双曲线上任一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，直角三角形面积 综合流程 联立方程组求交点；比较函数值看图像上下位置 高频丢分点 增减性必须强调”在每一个象限内”；面积忘记加绝对值；实际问题自变量 ；跨象限比较函数值乱用增减性 二、知识点梳理 1. 反比例函数的定义 一般形式： 常见变形：；。条件：，自变量 ，函数值 。 2. 图像与性质（双曲线） ：图像在第一、三象限；在每一个象限内， 随 的增大而减小； ：图像在第二、四象限；在每一个象限内， 随 的增大而增大。 ⚠️ 注意：不能直接说” 时 随 增大而减小”，必须加上”在每一个象限内”。 3. 的几何意义 若点 是双曲线 上任意一点，过 分别作 轴、 轴的垂线： 围成矩形的面积：； 围成直角三角形的面积：。 4. 待定系数法求解析式 只需知道双曲线上一个点的坐标，代入 求出 即可。 5. 反比例函数与一次函数综合 联立 ，得到一元二次方程，解出交点坐标；比较两个函数值的大小，看图像谁在上方。 6. 实际应用 现实问题中自变量一般取正数，图像只取双曲线在第一象限的那一支。 三、考点精讲 考点1：反比例函数的概念与含参数判定 ★ 【例题】（2025—2026学年·某重点中学期中改编）下列函数中，属于反比例函数的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】反比例函数的标准形式是 ，分母只能是单独的 ，分子为常数，不能有额外常数项。 【详解】A 是正比例函数；B 中 ，符合反比例函数定义；C 的分母是 ，不是 ，不是反比例函数；D 整理为 ，多了常数项，不是反比例函数。故选 B。 【变式】（2025—2026学年·期中改编）若函数 是反比例函数，则 ______。 【答案】 【分析】反比例函数中 的次数等于 ，且系数不为0。 【详解】由 ，得 ，；又 ，故 。 考点2：反比例函数的图像与性质（象限、增减性） ★★ 【例题】（2025—2026学年·山西期中改编）已知反比例函数 的图像位于第二、四象限。 （1）求 的取值范围； （2）若点 、 在该函数图像上，比较 与 的大小。 【答案】（1）；（2）。 【分析】图像在第二、四象限说明 ；、 同在第二象限，可在同一象限内利用增减性比较大小。 【详解】 （1）图像在第二、四象限，故 ，解得 。 （2），在第二象限内 随 的增大而增大；因为 ，且两点同在第二象限，所以 。 考点3： 的几何意义（由面积求 ） ★★ 【例题】（2025—2026学年·北京海淀期中改编）点 是反比例函数 图像上一点，过 作 轴于 ， 轴于 ，矩形 的面积为6，且图像经过第二象限，求 的值。 【答案】。 【分析】矩形面积 ；图像经过第二象限，说明 。 【详解】矩形 的面积 ，故 ；双曲线经过第二象限，，所以 。 【变式】若双曲线上一点向 轴作垂线，形成的直角三角形面积为4，双曲线在第一、三象限，则 ______。 【答案】。 【分析】，故 ；第一、三象限说明 。 【详解】，得 ；又 ，故 。 考点4：待定系数法求反比例函数解析式 ★★ 【例题】（2024—2025学年·广东龙岗期中改编）已知反比例函数图像经过点 。 （1）求该反比例函数的解析式； （2）判断点 是否在该双曲线上。 【答案】（1）；（2）点 在该双曲线上。 【分析】把已知点代入求 ；判断点是否在图像上，看横、纵坐标之积是否等于 。 【详解】 （1）把 代入 ，得 ，解得 ，所以解析式为 。 （2）点 的横、纵坐标之积为 ，故点 在该双曲线上。 考点5：反比例函数与一次函数简单综合 ★★★ 【例题】（2024—2025学年·重庆期中改编）已知反比例函数 与一次函数 交于 、 两点。 （1）求 、 两点的坐标； （2）直接写出当 时， 的取值范围。 【答案】（1），；（2） 或 。 【分析】联立方程组求交点；看图像，双曲线在直线上方对应的 范围，注意 。 【详解】（1）联立 ，得 ，整理为 ，即 ，解得 ，。 当 时 ；当 时 。故交点为 、。 （2）观察图像，双曲线在直线上方时， 或 。 考点6：反比例函数的实际应用 ★★★ 【例题】（2025—2026学年·呼和浩特期中改编）某工厂要加工一批零件，零件总数量固定为240个，设每天加工 个，需要 天完成。 （1）写出 关于 的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若要求8天之内完成任务，则每天至少加工多少个零件？ 【答案】（1）；（2）每天至少加工30个零件。 【分析】总工作量=每天工作量×天数；实际问题中 。 【详解】 （1）由 ，得 。 （2）要求 ，即 ；因为 ，两边同乘 得 ，解得 。 答：每天至少加工30个零件。 四、分层作业 A层（基础巩固★，难度系数0.85—0.95，全员必做） A1．下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中属于反比例函数的是 ________。 【答案】①③。 【分析】对照反比例函数的定义逐个判断。 【详解】①符合；②是正比例函数；③ ，符合；④多了常数项2，不是反比例函数。 A2．反比例函数 的图像位于第 ________ 象限；在每一个象限内， 随 的增大而 ________。 【答案】二、四；增大。 【分析】，图像在第二、四象限，在每个象限内 随 增大而增大。 【详解】，图像位于第二、四象限；在每一个象限内， 随 的增大而增大。 A3．点 在反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 ________。 【答案】。 【分析】代入点的坐标求 。 【详解】，故解析式为 。 A4．过双曲线上一点 作 轴的垂线，垂足为 ， 的面积为3，双曲线在第一、三象限，则 ______。 【答案】。 【分析】，且 。 【详解】，得 ；双曲线在第一、三象限，，故 。 B层（能力提升★★，难度系数0.6—0.75，中等及以上选做） B5．已知反比例函数 ，点 、 在图像上，且 ，试判断 的符号。 【答案】。 【分析】两点横坐标一负一正，不在同一象限，不能直接用增减性； 对应第二象限， 对应第四象限。 【详解】，，两点不在同一象限。 说明第二象限点的函数值为正、第四象限点的函数值为负，故 。 B6．已知反比例函数 ，当 时，对应的函数值 ，求 的取值范围。 【答案】。 【分析】 时 ； 时 ，说明图像在第一、三象限。 【详解】 时 ； 时 ，双曲线在第一、三象限，故 。 B7．（2025—2026学年·内蒙古地区期中改编）某蓄水池容积为 ，排水速度为 ，排空时间为 。 （1）写出 与 的函数关系式； （2）若要5小时之内排空，排水速度至少为多大？ 【答案】 （1）；（2）至少 。 【分析】容积=速度×时间；实际问题中自变量大于0。 【详解】（1）由 ，得 。 （2）要求 ，即 ，解得 。 答：排水速度至少为 。 C层（拓展培优★★★，难度系数0.3—0.5，学有余力） C8．一次函数 与反比例函数 交于 。 （1）求 、 的值； （2）求两个函数图像的另一个交点坐标。 【答案】（1），；（2）。 【分析】点 在直线上，先求 ，再代入双曲线求 ；联立方程组求第二个交点。 【详解】 （1） 在 上，，故 ；代入 ，得 。 （2）联立 ，得 ， 整理为 ，即 ， 解得 ，。 当 时 ，故另一交点为 。 C9．已知点 是双曲线 在第一象限上一点，过 作 轴于 ， 轴于 。 （1）求矩形 的面积； （2）若点 坐标为 ，点 沿双曲线运动时，矩形面积是否发生变化？说明理由。 【答案】（1）8；（2）面积不变，恒等于8。 【分析】利用 的几何意义：矩形面积等于 。 【详解】 （1），矩形面积 。 （2）点 在双曲线上，故 ；矩形面积 ，无论 在第一象限内怎样移动，矩形面积恒为8，不发生变化。 五、易错点汇总 易错点 正确做法 典型例子 描述增减性丢掉”在每一个象限内” 时，在每个象限内 随 增大而减小；不能直接说整个定义域内减小 直接写”， 随 增大而减小”是错误的 的几何意义忘记加绝对值 矩形面积 ，三角形面积 ，再结合象限判断 的正负 面积为6，直接写 ，忽略经过第二象限应取 跨象限两点比较函数值乱用增减性 横坐标正负不同、不在同一象限时，不能用增减性，应代入计算或看图 上的点 、，不能直接用增减性比较 综合求不等式范围漏掉 双曲线在 处断开，解集必须排除 易错写成 ，漏掉 实际应用题忽略自变量 工程、排水类问题中 代表数量或速度，只能取正数 解不等式时不等号方向出错 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册《反比例函数》期中考点复习讲义 （学生版） 一、本章方法总结 项 目 要 点 核心思想 数形结合：图像与代数互相印证 解题优先级 先看 符号判断图像所在象限； 的几何意义优先用面积转化 参数必查 反比例函数 ，条件 ， 重要推论 过双曲线上任一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，直角三角形面积 综合流程 联立方程组求交点；比较函数值看图像上下位置 高频丢分点 增减性必须强调”在每一个象限内”；面积忘记加绝对值；实际问题自变量 ；跨象限比较函数值乱用增减性 二、知识点梳理 1. 反比例函数的定义 一般形式： 常见变形：；。条件：，自变量 ，函数值 。 2. 图像与性质（双曲线） ：图像在第一、三象限；在每一个象限内， 随 的增大而减小； ：图像在第二、四象限；在每一个象限内， 随 的增大而增大。 ⚠️ 注意：不能直接说” 时 随 增大而减小”，必须加上”在每一个象限内”。 3. 的几何意义 若点 是双曲线 上任意一点，过 分别作 轴、 轴的垂线： 围成矩形的面积：； 围成直角三角形的面积：。 4. 待定系数法求解析式 只需知道双曲线上一个点的坐标，代入 求出 即可。 5. 反比例函数与一次函数综合 联立 ，得到一元二次方程，解出交点坐标；比较两个函数值的大小，看图像谁在上方。 6. 实际应用 现实问题中自变量一般取正数，图像只取双曲线在第一象限的那一支。 三、考点精讲 考点1：反比例函数的概念与含参数判定 ★ 【例题】（2025—2026学年·某重点中学期中改编）下列函数中，属于反比例函数的是（　） A. B. C. D. 【变式】（2025—2026学年·期中改编）若函数 是反比例函数，则 ______。 考点2：反比例函数的图像与性质（象限、增减性） ★★ 【例题】（2025—2026学年·山西期中改编）已知反比例函数 的图像位于第二、四象限。 （1）求 的取值范围； （2）若点 、 在该函数图像上，比较 与 的大小。 考点3： 的几何意义（由面积求 ） ★★ 【例题】（2025—2026学年·北京海淀期中改编）点 是反比例函数 图像上一点，过 作 轴于 ， 轴于 ，矩形 的面积为6，且图像经过第二象限，求 的值。 【变式】若双曲线上一点向 轴作垂线，形成的直角三角形面积为4，双曲线在第一、三象限，则 ______。 考点4：待定系数法求反比例函数解析式 ★★ 【例题】（2024—2025学年·广东龙岗期中改编）已知反比例函数图像经过点 。 （1）求该反比例函数的解析式； （2）判断点 是否在该双曲线上。 考点5：反比例函数与一次函数简单综合 ★★★ 【例题】（2024—2025学年·重庆期中改编）已知反比例函数 与一次函数 交于 、 两点。 （1）求 、 两点的坐标； （2）直接写出当 时， 的取值范围。 考点6：反比例函数的实际应用 ★★★ 【例题】（2025—2026学年·呼和浩特期中改编）某工厂要加工一批零件，零件总数量固定为240个，设每天加工 个，需要 天完成。 （1）写出 关于 的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若要求8天之内完成任务，则每天至少加工多少个零件？ 四、分层作业 A层（基础巩固★，难度系数0.85—0.95，全员必做） A1．下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中属于反比例函数的是 ________。 A2．反比例函数 的图像位于第 ________ 象限；在每一个象限内， 随 的增大而 ________。 A3．点 在反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 ________。 A4．过双曲线上一点 作 轴的垂线，垂足为 ， 的面积为3，双曲线在第一、三象限，则 ______。 B层（能力提升★★，难度系数0.6—0.75，中等及以上选做） B5．已知反比例函数 ，点 、 在图像上，且 ，试判断 的符号。 B6．已知反比例函数 ，当 时，对应的函数值 ，求 的取值范围。 B7．（2025—2026学年·内蒙古地区期中改编）某蓄水池容积为 ，排水速度为 ，排空时间为 。 （1）写出 与 的函数关系式； （2）若要5小时之内排空，排水速度至少为多大？ C层（拓展培优★★★，难度系数0.3—0.5，学有余力） C8．一次函数 与反比例函数 交于 。 （1）求 、 的值； （2）求两个函数图像的另一个交点坐标。 C9．已知点 是双曲线 在第一象限上一点，过 作 轴于 ， 轴于 。 （1）求矩形 的面积； （2）若点 坐标为 ，点 沿双曲线运动时，矩形面积是否发生变化？说明理由。 五、易错点汇总 易错点 正确做法 典型例子 描述增减性丢掉”在每一个象限内” 时，在每个象限内 随 增大而减小；不能直接说整个定义域内减小 直接写”， 随 增大而减小”是错误的 的几何意义忘记加绝对值 矩形面积 ，三角形面积 ，再结合象限判断 的正负 面积为6，直接写 ，忽略经过第二象限应取 跨象限两点比较函数值乱用增减性 横坐标正负不同、不在同一象限时，不能用增减性，应代入计算或看图 上的点 、，不能直接用增减性比较 综合求不等式范围漏掉 双曲线在 处断开，解集必须排除 易错写成 ，漏掉 实际应用题忽略自变量 工程、排水类问题中 代表数量或速度，只能取正数 解不等式时不等号方向出错 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九年级上册《反比例函数》期中考点复习讲义 (学生版) 一、本章方法总结 项目 要点 核心思想 数形结合：图像与代数互相印证 解题优先级 先看k符号判断图像所在象限：k的几何意义优先用面积转化 参数必查 反比例函数y=长条件k≠0，x≠0 重要推论 过双曲线上任一点向坐标轴作垂线，矩形面积个，直角三角形面积号kⅡ 综合流程 联立方程组求交点：比较函数值看图像上下位置 高频丢分点 增减性必须强调”在每一个象限内”：面积忘记加绝对值；实际问题自变量x> 0:跨象限比较函数值乱用增减性 二、知识点梳理 1.反比例函数的定义 一般形式：y= ,（k为常数，k≠0) 常见变形：xy=k;y=kx1。条件：k≠0，自变量x≠0，函数值y≠0。 2.图像与性质（双曲线） k>O:图像在第一、三象限：在每一个象限内，y随x的增大而减小： k<O:图像在第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大。 △注意：不能直接说k>0时y随x增大而减小”，必须加上”在每一个象限内”。 3.k的几何意义 若点P(x,y)是双曲线y=上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线： 围成矩形的面积：S矩形=： 围成直角三角形的面积：S△=k。 4.待定系数法求解析式 只需知道双曲线上一个点的坐标，代入y=k求出k即可。 5.反比例函数与一次函数综合 联立 1 ，得到一元二次方程，解出交点坐标；比较两个函数值的大小，看图像谁在 =ax+b 上方。 6.实际应用 现实问题中自变量一般取正数，图像只取双曲线在第一象限的那一支。 三、考点精讲 考点1：反比例函数的概念与含参数判定★ 【例题】(2025一2026学年·某重点中学期中改编)下列函数中，属于反比例函数的是() A.y-3x B.y=2 C.y=3 x- D.y=2x-1+1 【变式】(2025一2026学年期中改编)若函数y=(m-3)xm-10是反比例函数，则m= 考点2：反比例函数的图像与性质（象限、增减性）★★ 【例题】(2025一2026学年·山西期中改编)已知反比例函数y=m-2的图像位于第二、四象 限。 (1)求m的取值范围： (2)若点A(-2,y1)、B(-1,y2)在该函数图像上，比较y1与y2的大小。 考点3：k的几何意义（由面积求k)★★ 【例题】(2025一2026学年北京海淀期中改编)点P是反比例函数y=图像上一点，过P 作PM1x轴于M,PN1y轴于N,矩形PMON的面积为6，且图像经过第二象限，求k的 值。 【变式】若双曲线上一点向x轴作垂线，形成的直角三角形面积为4，双曲线在第一、三象 限，则k=一。 考点4：待定系数法求反比例函数解析式★★ 【例题】(2024一2025学年·广东龙岗期中改编)已知反比例函数图像经过点A(-3,4): (1)求该反比例函数的解析式： (2)判断点B(2,-6)是否在该双曲线上。 考点5：反比例函数与一次函数简单综合★★★ 【例题】(2024一2025学年·重庆期中改编)已知反比例函数y=与一次函数y=x+1交于 A、B两点。 (1)求A、B两点的坐标： (2)直接写出当>x+1时，x的取值范围。 考点6：反比例函数的实际应用★★★ 【例题】(2025一2026学年·呼和浩特期中改编)某工厂要加工一批零件，零件总数量固定为 240个，设每天加工x个，需要y天完成。 (1)写出y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)若要求8天之内完成任务，则每天至少加工多少个零件？ 四、分层作业 A层（基础巩固★，难度系数0.85一0.95，全员必做） A1.下列函数：①y=÷②y=③y=安：④y=+2。其中属于反比例函数的是 A2.反比例函数y=三的图像位于第 象限；在每一个象限内，y随x的增大而 A3.点M(4,一2)在反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 A4.过双曲线上一点A作x轴的垂线，垂足为B,△AOB的面积为3，双曲线在第一、三象 限，则k= B层（能力提升★★，难度系数0.60.75，中等及以上选做） B5.已知反比例函数y=华点(-1，y)、(2,y)在图像上，且y1>y,试判断k的符号。 B6.已知反比例函数y=兴，当x<0<时，对应的函数值y1<y2,求m的取值范围。 B7.(2025一2026学年·内蒙古地区期中改编)某蓄水池容积为120m3,排水速度为 v(n3h),排空时间为th)。 (1)写出v与t的函数关系式： (2)若要5小时之内排空，排水速度至少为多大？ C层（拓展培优★★★，难度系数0.3一0.5，学有余力） C8.一次函数y=x+2与反比例函数y=k(k≠0)交于A(1,m)。 (1)求m、k的值： (2)求两个函数图像的另一个交点坐标。 C9.己知点A是双曲线y=8在第一象限上一点，过A作AB1x轴于B,AC1y轴于C。 (1)求矩形ABOC的面积： (2)若点A坐标为（α，b),点A沿双曲线运动时，矩形面积是否发生变化？说明理由。 五、易错点汇总 易错点 正确做法 典型例子 描述增减性丢掉在每一个象k>0时，在每个象限内y随 直接写y=子y随x增大而 限内 x增大而减小；不能直接说整 减小”是错误的 个定义域内减小 k的几何意义忘记加绝对值 矩形面积，三角形面积 面积为6，直接写k=6,忽 k,再结合象限判断k的正 略经过第二象限应取k=-6 负 跨象限两点比较函数值乱用 横坐标正负不同、不在同一 y=÷上的点(-2，y)、 增减性 象限时，不能用增减性，应 (2,y2),不能直接用增减性比 代入计算或看图 较 综合求不等式范围漏掉x≠0双曲线在x=0处断开，解集 >x+1易错写成 必须排除x=0 -3<x<2,漏掉x≠0 实际应用题忽略自变量x>0工程、排水类问题中x代表 解不等式时不等号方向出错 数量或速度，只能取正数