期中复习：解一元二次方程、一元二次方程错解问题、一元二次方程新定义问题 专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年北师大版九年级数学上册专项训练 期中复习：解一元二次方程、一元二次方程错解问题、一元二次方程新定义问题专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程错解问题 一元二次方程新定义问题 考点一 解一元二次方程 解一元二次方程解题技巧 （1）根据方程特点选方法：缺一次项用直接开平方法，易分解用因式分解法，一般情况用公式法。 （2）公式法先化一般式，计算 ，确认 后再代入求根公式。 （3）因式分解法必须先把方程右边化为 0，再分解求根。 （4）配方法先把二次项系数化为 1，再在两边加上一次项系数一半的平方。 （5）解出后把根代入原方程检验，确保正确。 例1．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）解下列一元二次方程： (1) (2) 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）按照要求的方法解方程． (1)（公式法）； (2)．（因式分解法） 例3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 变式1．（26-27九年级上·天津西青·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 变式2．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 变式3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 考点二 一元二次方程错解问题 一元二次方程错解问题解题技巧 （1）先化一般式，确认 、、 及其符号， 为负时最容易代错。 （2）不能随意约去含未知数的因式，否则会丢失对应的根。 （3）求根前先判断 的正负， 时方程无实数根。 （4）对照各方法的标准步骤排查错因，必要时重新完整求解。 （5）用代入法检验每个根，确认是否满足原方程。 例1．（26-27八年级上·上海松江·阶段检测）对于解方程，小因的做法如下： 解：等式的右边提取因数2化简，得，步骤① 两边同时除以，得，步骤② 去括号，得，步骤③ 移项、合并同类项，得，步骤④ 系数化为1，得．步骤⑤ (1)已知小因的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ．（填序号） (2)错误原因是： ；请给出正确的解答过程． 例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 (1)小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． (2)请用配方法解一元二次方程：． 例3．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 ∴， 琪琪同学 ∵，， ∴ ∴原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 变式1．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，…第一步 方程两边同时除以，得，……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 ①以上解方程的过程，从第________步开始出错，错误的原因是__________________________． ②直接写出正确的解． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程的解答过程：用配方法解． 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为，…第一步 配方，得，…第二步 即，…第三步 直接开平方，得，…第四步 所以，，…第五步 (1)嘉琪同学的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程．（解题方法不限） 变式3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 考点三 一元二次方程新定义问题 一元二次方程新定义问题解题技巧 （1）先读懂新符号的运算规则，把含新定义的式子转化为常规方程。 （2）注意定义中各数的位置和附加条件，顺序不能随意调换。 （3）转化为常规一元二次方程后，按判别式和相应解法处理。 （4）含括号时由内向外逐层转化，避免一步混算。 （5）求出的根要结合新定义的条件检验，舍去不合规则的解。 例1．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． (1)根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． (2)若关于x的一元二次方程的两实数根相等． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． (1)判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（     ） ②与；（     ） ③与；（     ） (2)若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； (3)若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 变式1．（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 变式2．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版九年级数学上册专项训练 期中复习：解一元二次方程、一元二次方程错解问题、一元二次方程新定义问题专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程错解问题 一元二次方程新定义问题 考点一 解一元二次方程 解一元二次方程解题技巧 （1）根据方程特点选方法：缺一次项用直接开平方法，易分解用因式分解法，一般情况用公式法。 （2）公式法先化一般式，计算 ，确认 后再代入求根公式。 （3）因式分解法必须先把方程右边化为 0，再分解求根。 （4）配方法先把二次项系数化为 1，再在两边加上一次项系数一半的平方。 （5）解出后把根代入原方程检验，确保正确。 例1．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项，得， 左右两边同除以5，得， 开平方，得， 解得，； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）按照要求的方法解方程． (1)（公式法）； (2)．（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先确定一元二次方程中，，的值，计算判别式，再代入求根公式求解． （2）先把变形为，提取公因式，将方程因式分解，再转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ，，， ∴， ∴， ，； （2）解：， ，即 ，． 例3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵， ， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， 或， 解得，； （4）解：∵， ， 或， 解得，． 变式1．（26-27九年级上·天津西青·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先提公因式，再解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 整理，得， 提公因式，得， ∴或， ∴，； （2）解： 因式分解，得， ∴或， ∴，． 变式2．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）移项后通过直接开平方求解方程． （2）移项提取公因式后因式分解求解，注意不可直接约去含未知数的公因式避免丢根． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边开平方，得， 即，． （2）解：， 移项，得， 提取公因式，得， 令每个因式的值为0，得或， 解得，． 变式3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 考点二 一元二次方程错解问题 一元二次方程错解问题解题技巧 （1）先化一般式，确认 、、 及其符号， 为负时最容易代错。 （2）不能随意约去含未知数的因式，否则会丢失对应的根。 （3）求根前先判断 的正负， 时方程无实数根。 （4）对照各方法的标准步骤排查错因，必要时重新完整求解。 （5）用代入法检验每个根，确认是否满足原方程。 例1．（26-27八年级上·上海松江·阶段检测）对于解方程，小因的做法如下： 解：等式的右边提取因数2化简，得，步骤① 两边同时除以，得，步骤② 去括号，得，步骤③ 移项、合并同类项，得，步骤④ 系数化为1，得．步骤⑤ (1)已知小因的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ．（填序号） (2)错误原因是： ；请给出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)错误原因：方程两边同时除以可能为0的整式，导致漏解． 正确解答过程：， 等式的右边提取因数2化简，得， 移项，得， 提取公因式，得， ∴或， 解得，． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 (1)小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． (2)请用配方法解一元二次方程：． 【答案】(1)四 (2)， 【分析】（1）观察小明的解方程步骤，根据平方根的性质判断出错的步骤． （2）按照配方法解一元二次方程的步骤，先化二次项系数为1，再移项、配方，最后开平方求解方程． 【详解】（1）解：， ， 从第四步开始出现错误． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，． 例3．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 ∴， 琪琪同学 ∵，， ∴ ∴原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误，错误 (2)， 【分析】（1）整理后利用十字相乘法解一元二次方程，再对两位同学的解法进行判断，即可解题； （2）将看作一个整体，整理利用十字相乘法求解，即可解题． 【详解】（1）解： 则或 ∴，； 嘉嘉同学的解法错误，琪琪同学的解法错误． （2）解： 则或 ∴，． 变式1．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，…第一步 方程两边同时除以，得，……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 ①以上解方程的过程，从第________步开始出错，错误的原因是__________________________． ②直接写出正确的解． 【答案】(1) (2)①二；方程两边同时除以，未考虑可能为0； ② 【分析】（1）利用配方法解该方程即可； （2）①题目中解方程的过程中，两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），因此解题出错；②将原方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得，即， ∴， ∴； （2）解：①从第二步开始出错‌，错误原因是方程两边同时除以时，未考虑可能为0（0不能作除数），导致丢根，需要满足． ②， ， ， ， ∴或， 即． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程的解答过程：用配方法解． 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为，…第一步 配方，得，…第二步 即，…第三步 直接开平方，得，…第四步 所以，，…第五步 (1)嘉琪同学的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程．（解题方法不限） 【答案】(1)二 (2) 解：原方程可化为， 配方，得， 即 直接开平方，得， 解得：， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据配方法的步骤，第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可作答； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由解答过程可知，嘉琪同学的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）略 变式3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 【答案】(1)错误；错误 (2) 解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：或． 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据题意可知小华没有考虑的情况，即错误，小芳在提公因式时没有变号，即错误； （2）根据解一元二次方程知识可知，利用提公因式解方程即可． 【详解】（1）解：∵小华没有考虑的情况， ∴小华计算错误， ∵小芳在提公因式时没有变号，应为， ∴小芳的解法错误， 故答案为：错误；错误； （2）略 考点三 一元二次方程新定义问题 一元二次方程新定义问题解题技巧 （1）先读懂新符号的运算规则，把含新定义的式子转化为常规方程。 （2）注意定义中各数的位置和附加条件，顺序不能随意调换。 （3）转化为常规一元二次方程后，按判别式和相应解法处理。 （4）含括号时由内向外逐层转化，避免一步混算。 （5）求出的根要结合新定义的条件检验，舍去不合规则的解。 例1．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． (1)根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． (2)若关于x的一元二次方程的两实数根相等． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3) 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）先求出“沉潜方程”为，根据沉潜方程”有两个不相等实数根，，得到，解得且，由于，得到，那么，再由一元二次方程根与系数的关系建立不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，互为“沉潜方程”的两个一元二次方程满足相同，相反，相同， 故①③符合题意； （2）解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 时，，不符合题意，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． ∴； （3）解：将方程整理得，， ∴“沉潜方程”为 ∵沉潜方程”有两个不相等实数根，， ∴ 解得且 ∵ ∴ ∴ ∴ 对于方程可得， ∴ 整理得，， ∴ ∴ 解得 ∴ 而且 ∴m的取值范围是． 例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1)①0；②5或 (2)或 (3)4 【分析】（1）①当时，方程为，再根据“全整根方程”的“关爱码”的定义求解即可；②根据“全整根方程”的“关爱码”的定义以及该全整根方程的“关爱码”为列关于m的方程求解即可； （2）先根据“全整根方程”的定义可得是完全平方数，再结合确定m的值，再根据“关爱码”的定义求解即可； （3）先分别求出两个方程的“关爱码”，再根据“关爱码”相等得到，然后代入所求代数式化简即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，则该全整根方程的“关爱码”为； ②关于x的一元二次方程的“关爱码”为， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”， ∴根的判别式是完全平方数， ∵， ∴当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 综上，该方程的“关爱码”为或． （3）解：关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 所以，整理得， ． 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． (1)判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（     ） ②与；（     ） ③与；（     ） (2)若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； (3)若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②， (3) 【分析】（1）紧扣新定义，对比两个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，满足，，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，即可判定． （2）①一元二次方程有两个相等实数根，首先保证二次项系数不为0，再利用根的判别式列方程求解参数．②先根据定义写出方程，分别求出的根与的根，代入代数式计算的值． （3）先把原方程整理成标准形式，写出它的一次和零方程；设公共实数根，两方程相减求出公共根，代回原方程求出，检验是否满足题意“有且只有一个公共实数根”． 【详解】（1）①，对应；，对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． ②，对应；它的一次和零方程应该是，即，而常数项改变，不符合定义，打×． ③，对应；对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． （2）①是一元二次方程， ，即． 方程有两个相等实数根，． 解得（舍去），． ． ②当，， 对照定义，， 则一次和零方程． 解方程：，，得． 解方程：，，得． ． （3）先整理原方程： 它的一次和零方程：． 设公共实数根为，代入两个方程： 两式相减，得． 情况1：，即，此时两个方程完全相同，公共实数根不唯一，不符合“有且只有一个公共实数根”，舍去． 情况2：，得． 把代入原方程：，解得． 检验：当时，原方程为，根为； 一次和零方程为，根为． 两个方程仅有公共根，满足题目条件． ． 变式1．（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)证明：， ∴， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 该方程的衍生点M的坐标为； (3)， 【分析】（1）先利用因式分解法得出一元二次方程的根，然后根据题中新定义即可得出结果； （2）利用一元二次方程根的判别式即可证明；再由求根公式得出方程的解即可确定衍生点M的坐标； （3）将一次函数变形得出直线过定点，确定的两个实数根为，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∵ ∴， ∴根据题意得该方程的衍生点M的坐标为； （2）证明见答案； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （3）解：∵， 当时，， ∴直线过定点， ∵的衍生点G始终在直线上， ∴的衍生点G为， ∴的两个实数根为， ∴，， ∴，． 变式2．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【答案】(1)该一元二次方程是“黄金方程”，理由如下： ∵方程中，，，， ∴，满足“黄金方程”的定义． (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义即可判断； （2）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据是此方程的一个根得出，然后求解即可； （3）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据m是此方程的一个根得出，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∵是此方程的一个根， ∴， 即，解得：， ∴此方程是． （3）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴，即， ∵m是此方程的一个根， ∴，即， ∴，解得：或． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1) ① (2) 的值为或 (3) ，， 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 2 学科网（北京）股份有限公司 $