精品解析：山东青岛大学附属中学2026-2027学年九年级上学期期中阶段性检测数学试题

2026—2027学年度第一学期期中阶段性检测 九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】先排除矩形与菱形共有的性质，再对比二者的特有性质判断． 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形， ∴二者对角都相等，对角线都互相平分，A、B不符合题意． ∵矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直且不相等， ∴对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，C符合题意，D不符合题意． 2. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较与10的大小，找到值跨越10的相邻区间即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个解的范围是． 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：经过长方体上底面的一条对角线沿垂直于下底面的方向将它切开，得到完全相同的两部分，每一部分都叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：“堑堵”的主视图为： 4. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴=2， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 5. 如图，菱形的对角线与相交于点O，M为的中点，连接．若，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可得，求出，，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积是． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A. 减少米 B. 增加米 C. 减少米 D. 增加米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则， ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故选：A． 【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 8. 青岛近海开展浮游藻类监测，某海域发现1处藻类聚集点，经过两轮扩散后共有81处聚集点（假设每一处聚集点每轮扩散出新聚集点的数量相同）．设每轮扩散中平均一处聚集点扩散了x处新聚集点，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】第二轮扩散的基数为第一轮结束后的总聚集点数量，据此列方程． 【详解】解：∵初始有1处聚集点，每轮平均1处扩散处新聚集点， ∴第一轮扩散后总数量为， ∴第二轮新增处， ∵两处后共有81处聚集点， ∴可列方程为． 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（　　） A. ∠OAD＝∠OBC B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可证明△OAD∽△OBC，△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可判断结论即可． 【详解】∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5， ∴， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴△OAD∽△OBC， ∴∠OAD＝∠OBC，， 同理可得△AOB∽△DOC， ，， 故B，C，D选项不正确， 故选：A． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10. 阅读材料：宽与长的比是(约为)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，下面，我们用宽的矩形纸片折叠黄金矩形． 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中出现的黄金矩形的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】折叠的实质是轴对称，折痕两侧的图形能完全重合；先由第一步折出的正方形与第二步的对折确定内侧矩形两邻边的长，用勾股定理求出它的对角线，即得折叠后的长；再把图④中由各条折痕分出的矩形逐个与黄金矩形的定义比较，数出个数． 【详解】解：∵第一步折出的正方形的边长等于宽， ∴． ∵第二步把这个正方形折成两个相等的矩形，是的中点， ∴． 在中，． ∵把折到处， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形，． ∵在矩形中，， ∴， ∴矩形是黄金矩形． ∵， ∴在矩形中，， ∴矩形也是黄金矩形． ∵正方形、矩形、矩形的宽与长的比分别为、、， ∴这三个都不是黄金矩形． ∴图④中出现的黄金矩形有个． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据比例的性质即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 12. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 【答案】k≥﹣1且k≠0 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根， ∴ 解得k≥﹣1且k≠0． 故答案为：k≥﹣1且k≠0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 13. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意可列方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得有幅海报，每幅海报面积均为，则海报的面积为，而根据平移的思想可得，幅海报拼成一个长为，宽为的长方形，据此即可建立方程． 【详解】解：若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意可列方程为． 14. 若一个等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的一元二次方程的两根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分长度为4的边为等腰三角形的腰、底边两种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系求解，再根据三角形三边关系检验能否构成三角形，舍去不成立的情况． 【详解】解：设方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 分两种情况讨论： 1. 当长度为4的边是等腰三角形的腰时 ∵ 等腰三角形两腰相等， ∴ 方程的一个根为4，即， ∴ ， 此时三角形的三边长为4,4,12， ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系， ∴ 该情况舍去； 2. 当长度为4的边是等腰三角形的底边时， ∵ 等腰三角形两腰相等，即方程的两个根相等， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 此时三角形的三边长为4,8,8， ∵ ，满足三角形三边关系， 将代入原方程，得， 即， 解得， 综上所述，的值为． 15. 如图，四边形为矩形，且，，点E为上一点且，连接、，使，点F为线段上一点，若，则点F到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质，结合证明，得出，设，则，则，求出x的值,然后过点作于点，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则， 即， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴． 16. “藻井”（如图1）是中国古代建筑中室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．如图2，，，，分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，得到四边形，，，，分别经过点，，，，且分别平行于，，，．给出下列结论：①是线段的中点；②E，F是线段的三等分点；③八边形是正八边形；④的面积是的2倍．所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】连接交于O，连接，设，可证明经过点，在正方形中，，，，则，再求出，，由旋转的性质可得，则三点共线，证明是等腰直角三角形，进而可证明是等腰直角三角形，根据，可得，是线段的中点，则，据此可判断①②；可证明，据此可判断③；证明，可得，据此可判断④． 【详解】解：如图所示，连接交于O，连接，设， ∵四边形是正方形，分别是四边形的四条边的中点， ∴经过点，， 在正方形中，，，，则， ∵为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∵是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，是线段的中点，故①正确； ∴， ∴， ∴E，F不是线段的三等分点，故②错误； 同理可得， ∴， 同理可得，， ∴， 而， 同理可得八边形的每一个内角均为， ∴是正八边形，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有①③． 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 已知：如图，点是内部一点．求作：矩形，使得点在边上，点，在边上． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且点在边上，点，在边上， 则矩形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了过一点作已知直线的垂线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定，矩形的判定等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 18. 解方程 （1）； （2）（配方法）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】 （1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 20. 已知：如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点O，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴ ， 在和中， ， （）； （2）平行四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ， ， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质证明，，再由证明即可； （2）先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再证明对角线相等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 今年是长征胜利90周年．为传承长征精神，某校数学研究性学习小组来到长征主题纪念园，开展测量纪念丰碑高度的实践活动．纪念丰碑由碑身和基座两部分组成，经测量，纪念丰碑基座高度为，如图，即，由于碑顶A和碑底中心B均无法直接到达，小组设计了如下测量方案：太阳光下，碑身的顶端A的影子落在点E处；同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处．站在点H处的观测者，眼睛在G位置，看到标杆顶端D、碑顶A恰好在同一条直线上，碑身底部点C在观测者的水平视线上．已知、、在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）该时刻下，纪念丰碑碑高与其影长的比值是____； （2）求纪念丰碑的高． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，由平行线的性质可得，证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （2）设与交于点，由题意可得四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质可得，，求出，设，则，，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设与交于点， 由题意可得，，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， 设，则，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 22. 面对日益严峻的气候变化形势，发展新能源汽车、推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国持续加大对新能源汽车产业的扶持力度，新能源汽车市场需求稳步增长．青岛某汽车店购进一批新能源汽车进行销售，已知每辆汽车的进价为6万元．试销统计发现：当售价定为7.5万元时，每月可售出150辆；售价每降低0.1万元，月销量就增加15辆．为进一步扩大销量，该店计划降价促销．若要保持每月销售利润不变，该款汽车的售价应定为每辆多少万元？ 【答案】该款汽车的售价应定为每辆7万元 【解析】 【分析】根据该店销售该款汽车平均每月的销售利润=每辆的销售利润×每月的销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设售价降低了x个0.1万元， 由题意得， 解得，， 因计划降价促销、扩大销量，不符合题意，舍去， （万元） 答：该款汽车的售价应定为每辆7万元． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“______倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与x轴交于点A，直线l过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和（），且点在的内部（不包含边界），则的取值范围是_________． 【答案】（1）四 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，结合“n倍根方程”的定义分析即可得出结果； （2）先求出方程的解为，，再分两种情况，分别结合“n倍根方程”的定义计算即可得出结果； （3）先求出，直线的解析式为，由题意可得，从而可得，即点在直线上，求出直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，画出函数图象，结合函数图象分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴是“四倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， ∴，， ∵关于x的方程是“三倍根方程”， ∴当时，， 当，即时，， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵一个五倍根方程的两个根为和（）， ∴， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得， ∴直线与直线的交点为， 联立， 解得， ∴直线与直线的交点为， 画出函数图象如图所示： ∵点在的内部（不包含边界）， ∴由图象可得． 24. 已知：如图，将和按图1摆放，点A与点F重合，点C与点E重合，，，点O为的中点．如图2，从图1位置出发，沿方向向右运动，速度为；同时，点P从B出发沿方向向O运动，速度为．过点P作，分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当F在的中垂线上时，求t的值； （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的四分之三？ （4）连接，，在运动过程中，是否存在最小值，若存在，请直接写出t的值__________；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）过点M作交于点G，过点D作交于点H，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，由题意可得，则，证明四边形是矩形，得出，由题意可得，再由计算即可得出结果； （3）先求出，再结合四边形的面积等于面积的四分之三计算即可得出结果； （4）作点关于的对称点，连接交于，由轴对称的性质可得，，从而得出，故当点、、在一条直线上时，的值最小，证明，求出，，再证明，利用等面积法得出，由相似三角形的性质求出，从而可得，过点作交于，则，由相似三角形的性质可得，证明，得出，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵点在的中垂线上， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过点M作交于点G，过点D作交于点H， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵点P从B出发沿方向向O运动，速度为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿方向向右运动，速度为， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 当时， 解得（舍去），， ∴； ∴在运动过程中，存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的四分之三； 【小问4详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接交于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当点、、在一条直线上时，的值最小， ∵点O为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中阶段性检测 九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：经过长方体上底面的一条对角线沿垂直于下底面的方向将它切开，得到完全相同的两部分，每一部分都叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 5. 如图，菱形的对角线与相交于点O，M为的中点，连接．若，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A. 减少米 B. 增加米 C. 减少米 D. 增加米 8. 青岛近海开展浮游藻类监测，某海域发现1处藻类聚集点，经过两轮扩散后共有81处聚集点（假设每一处聚集点每轮扩散出新聚集点的数量相同）．设每轮扩散中平均一处聚集点扩散了x处新聚集点，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（　　） A. ∠OAD＝∠OBC B. ＝ C. ＝ D. ＝ 10. 阅读材料：宽与长的比是(约为)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，下面，我们用宽的矩形纸片折叠黄金矩形． 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中出现的黄金矩形的个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________________． 12. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 13. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意可列方程为____________________． 14. 若一个等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的一元二次方程的两根，则__________． 15. 如图，四边形为矩形，且，，点E为上一点且，连接、，使，点F为线段上一点，若，则点F到的距离为__________． 16. “藻井”（如图1）是中国古代建筑中室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．如图2，，，，分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，得到四边形，，，，分别经过点，，，，且分别平行于，，，．给出下列结论：①是线段的中点；②E，F是线段的三等分点；③八边形是正八边形；④的面积是的2倍．所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 已知：如图，点是内部一点．求作：矩形，使得点在边上，点，在边上． 18. 解方程 （1）； （2）（配方法）； （3）． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 20. 已知：如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点O，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 今年是长征胜利90周年．为传承长征精神，某校数学研究性学习小组来到长征主题纪念园，开展测量纪念丰碑高度的实践活动．纪念丰碑由碑身和基座两部分组成，经测量，纪念丰碑基座高度为，如图，即，由于碑顶A和碑底中心B均无法直接到达，小组设计了如下测量方案：太阳光下，碑身的顶端A的影子落在点E处；同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处．站在点H处的观测者，眼睛在G位置，看到标杆顶端D、碑顶A恰好在同一条直线上，碑身底部点C在观测者的水平视线上．已知、、在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）该时刻下，纪念丰碑碑高与其影长的比值是____； （2）求纪念丰碑的高． 22. 面对日益严峻的气候变化形势，发展新能源汽车、推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国持续加大对新能源汽车产业的扶持力度，新能源汽车市场需求稳步增长．青岛某汽车店购进一批新能源汽车进行销售，已知每辆汽车的进价为6万元．试销统计发现：当售价定为7.5万元时，每月可售出150辆；售价每降低0.1万元，月销量就增加15辆．为进一步扩大销量，该店计划降价促销．若要保持每月销售利润不变，该款汽车的售价应定为每辆多少万元？ 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“______倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与x轴交于点A，直线l过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和（），且点在的内部（不包含边界），则的取值范围是_________． 24. 已知：如图，将和按图1摆放，点A与点F重合，点C与点E重合，，，点O为的中点．如图2，从图1位置出发，沿方向向右运动，速度为；同时，点P从B出发沿方向向O运动，速度为．过点P作，分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当F在的中垂线上时，求t的值； （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的四分之三？ （4）连接，，在运动过程中，是否存在最小值，若存在，请直接写出t的值__________；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $