精品解析：山东省青岛第三十九中学（中国海洋大学附属中学）2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题A 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ②含有x、y两个未知数，故本选项错误； ③分母中含有未知数，故本选项错误； ④符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立的是B． 故答案为：B． 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 4. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 小霞 小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质，牢固掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定是解题关键． 利用菱形、矩形、正方形的性质与判定逐项分析即可． 【详解】A、四边相等的四边形是菱形，选项正确，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； C、正方形的对角线相等，选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查列一元二次方程解决实际问题（双循环赛制），理解双循环赛制下比赛场次的计算公式是解题的关键． 设应邀请个球队参加比赛，根据赛制为双循环形式且计划安排30场比赛，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在双循环赛制下，如果有个球队，每两队之间进行两场比赛， 每个球队都要和其他  个球队比赛两场，主客场各一次， 故总的比赛场次是  场 根据计划安排30场比赛，可得方程， 故选：D． 9. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：高相等的两个三角形的面积之比等于底之比，根据题意得，，与是同高，底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：B 10. 如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可证，于是，；由已知条件可得，根据三线合一，得，于是，，得证四边形是菱形．故④正确；求证，于是，．故①正确．求证，可得．故③正确；连接，中，，所以．故②错误； 【详解】解：矩形中，, ∵, ∴. ∴. ∴. ∵,， ∴. ∴． ∴． ∴ ∴． 四边形中，，， ∴四边形是菱形．故④正确； ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，. ∴ ∴ ∴，．故①正确． 在与中， ，， ∴． ∴． ∴．故③正确； 如图，连接，中， ∴． ∴．故②错误；     故选：C 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质；熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上中线为， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 13. 若是关于x一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：m=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查已知一元二次方程的解求参数，准确运算是解题的关键． 14. 如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得：或（不合题意舍去）． 故答案为：9 ． 15. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________m．（，结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【详解】解：∵舞台的黄金分割点处，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点且∠ECF＝45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G，现有以下结论，①AB＝，②当点E与点B重合时，MH＝，③AF+BE＝EF，④MG•MH＝，其中正确结论为___． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断； ③如图2所示，根据SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断； ④易证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到 ，依此即可作出判断 【详解】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB= ，故①正确； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC= AC=MH，故②正确； ③如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴ ， ∴AE•BF=AC•BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， ∴MG∥BC，MH=CG，MH∥AC， ∴ ， 即 ， ∴MG= AE；MH=BF， ∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=， 故④正确． 故答案为①②④． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度． 三、解答题（共72分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段和，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】 四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线的作法，作角等于已知角，作矩形，掌握基本尺规作图的作法及矩形的判定定理是解题的关键．任意作射线，再作，然后作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点，连接，，，，则四边形即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 任意作射线，再作； 作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点； 连接，，，，则四边形即为所求． ，， 四边形是矩形，且两对角线的夹角为，满足所求作的． 18. 解下列方程组 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 【小问2详解】 解： ， 或， 解得： 【小问3详解】 解： ∴ ， 或， 解得： 19. 吕剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映山东地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次吕剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． （1）用列表法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； （2）求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 【答案】（1） 用表格把所有等可能结果表示如下： 甲/乙 生 旦 净 生 （生，生） （生，旦） （生，净） 旦 （旦，生） （旦，旦） （旦，净） 净 （净，生） （净，旦） （净，净） ∴甲、乙两名同学选择的角色共有9种等可能的情况：（生，生）、（生，旦）、（生，净）、（旦，生）、（旦，旦）、（旦，净）、（净，生）、（净，旦）、（净，净）． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或树状图法是关键． （1）用列表法把所有等可能结果表示出来即可； （2）根据（1）中的结果，用概率公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵甲、乙两名同学选择的角色相同的结果共有三种：（生，生）、（旦，旦）、（净，净）， ∴甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 答：甲、乙两名同学选择的角色相同的概率是． 20. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． （1）若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； （2）如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为，根据长方形面积公式即可得出结论； （2）根据剩余空地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 21. 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识； （1）根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理结合平角的定义可得，进而证得结论； （2）设，则，根据相似三角形的性质构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理可得：， 解得或（不合题意，舍去） ∴． 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． （2）解：当四边形是菱形时，四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等； （2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形． 【详解】略 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA． 23. 红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． （1）若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； （2）这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 【答案】（1）， （2）存放40天后出售 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，较难的是题（2），正确建立方程是解题关键． （1）根据“这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元”可得出销售单价，再根据 “平均每天有3千克的苹果损坏不能出售”可得销售量； 设这批苹果存放了天后出售，根据“利润=销售量销售单价成本单价收购总量冷库存放的费用”建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元， 天后这批苹果的销售单价为元， 平均每天有3千克的苹果损坏不能出售， 天后这批苹果的销售量为千克， 故答案为：，； 【小问2详解】 设这批苹果存放了天后出售，则， 由题意得：， 解得（不符题意，舍去）， 答：这批苹果存放了40天后出售． 24. 【探索发现】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于M，则成立吗?小丽是这样证明的． 证明：过点A作于点E，于点F，，， ∵， ∴ ∴， ∴ 【类比应用】 （2）如图2，对于四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于M，则的结论是否成立?请写出证明过程． 【拓展延伸】 （3）在图（3）的情形下，，则_________ （4）在图（4）的情形下，，则_________ 【答案】 （2）成立，理由如下： 如图，过点A作于点E，过点C作于点F，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）借助辅助线，用线段表示出三角形面积，面积比等于对应线段的比值，再通过相似进行转换即可； （2）过点A作于点E，过点C作于点F，参照（1）得到结果； （3）如图，过点A作于点M，过点C作于点N，得到，根据相似三角形的性质，从而得到的值，利用三角形面积公式求解即可； （4）如图，过点A作于点M，过点C作于点N，得到，根据相似三角形的性质，从而得到的值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）探索发现已证明； （2）略 （3）如图，过点A作于点M，过点C作于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． （4）如图，过点A作于点M，过点C作于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质；合理作辅助线、构建相似三角形，利用相似的性质求出边的比值是解题的关键． 25. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）与之间的函数关系式为； （4）以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题A 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 4. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 8. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为_____． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 13. 若是关于x一元二次方程的一个根，则_________． 14. 如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 15. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为________m．（，结果精确到） 16. 如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点且∠ECF＝45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G，现有以下结论，①AB＝，②当点E与点B重合时，MH＝，③AF+BE＝EF，④MG•MH＝，其中正确结论为___． 三、解答题（共72分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段和，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 18. 解下列方程组 （1）； （2）； （3）． 19. 吕剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映山东地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次吕剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． （1）用列表法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； （2）求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 20. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． （1）若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； （2）如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 21. 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，且，求的长． 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 23. 红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． （1）若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； （2）这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 24. 【探索发现】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于M，则成立吗?小丽是这样证明的． 证明：过点A作于点E，于点F，，， ∵， ∴ ∴， ∴ 【类比应用】 （2）如图2，对于四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于M，则的结论是否成立?请写出证明过程． 【拓展延伸】 （3）在图（3）的情形下，，则_________ （4）在图（4）的情形下，，则_________ 25. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $