精品解析：山东青岛市市北区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分； 第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正五边形 3. 如图，要使是矩形，需要增加的条件是（ ） A. 与互相平分 B. C. D. 4. 根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的正确答案是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 已知，则代数式的值为_________． 10. 某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 11. 如图，四边形是菱形，，对角线为，，于点，的长为________． 12. 如图，的面积是，矩形的边平行于，且边被矩形三等分，则图中被矩形截得阴影部分的面积为________． 13. 如图，正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知点、都是线段的黄金分割点，已知，则的长为________． 14. 如图，在中，是的中点，，为边上的点，且，与、分别交于，点，则等于________． 15. 正八边形，是正方形的内嵌正八边形，点、、、在正方形的边上，已知，，那么正八边形的对角线________，正八边形的面积是________． 三、作图题：（本题满分4分） 16. 请利用尺规作图：在四边形内部找到一点，要求：到点、的距离相等，并且到点的距离最短． 四、解答题（本题满分71分，共有8道小题） 17. 解方程： （1）； （2）． （3）； 18. 在矩形中，、分别为、上两点，且，交点为，，，，求线段的长． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根，求的值和另一个根的值． 20. 老师的问题： 如图，已知中，是上的中线，求作平行四边形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，； 则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请根据小丽的作法，证明四边形是平行四边形； （2）小丽继续思考： ①当满足_______________时，平行四边形是矩形； ②当满足________________时，平行四边形是菱形； 请从①，②中选择其一，先添加条件，再证明． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 阅读材料 对于一元二次方程，若它的两个实数根为、，则一定有． 将等式右边展开得：，对比等式左右两边多项式对应项的系数，可得一元二次方程根与系数的关系：，． 类比上面的方法，我们研究一元三次方程： 设一元三次方程的三个实数根为，，，则一定有． （1）【类比探究】仿照一元二次方程的推导思路，将展开，对比等式左右两边多项式对应项的系数，推导出一元三次方程根与系数的三个关系式． （2）【结论应用】已知方程的一个根是1，设另外两个根为、，请根据【类比探究】得到的结论，求出和的值． 22. 问题探究： （1）如图1，已知等腰直角，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，则__________，的度数为_________； 对比辨析： （2）如图2，已知，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，求的度数； 变式拓展： （3）如图3，已知，，．为上一点，连接，过作，且，得到，连接，，请写出与的数量关系，并说明理由． 23. 项目式学习 文创展销区的扩建与经营 信息一 为迎接文旅热潮，青岛某景点处一矩形文创展销区进行扩建改造．原有矩形展销区面积为120平方米，将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，改造后形成一个正方形展销区． 信息二 改造前游客平均排队等候参观体验时间为25分钟，展销区优化动线、增加引导员，两个星期后平均等候时间缩短至16分钟． 信息三 展销售卖青岛特色贝壳文创，定价8元/件时，平均每天可卖出60件；售价每降低0.5元，平均每天可多卖出10件． （1）扩建后正方形展销区的边长是米，则可以列方程_____________； （2）求平均每星期等候时间降低的百分率是多少？ （3）如果摊主希望每天文创销售额达到600元，并且从让利游客的角度出发，售价应定为多少元/件？ 24. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为5单位，同时点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为单位，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）线段的长为_____； （2）为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分； 第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：移项得，是一元二次方程． B选项：含两个未知数，不是一元二次方程． C选项：分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程． D选项：未说明，当时不是一元二次方程． 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 3. 如图，要使是矩形，需要增加的条件是（ ） A. 与互相平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定即可知道答案． 【详解】解：A、与互相平分是的性质，不能额外证明是矩形，错误； B、是邻边相等，邻边相等的是菱形，错误； C、是对角线相等，对角线相等的是矩形，正确； D、是对角线互相垂直，对角线互相垂直的是菱形，错误． 4. 根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到的值分别小于和大于的相邻，即可确定方程解的范围 【详解】解：， ∵当时，， 当时，， ∴方程的一个解的取值范围是 5. 如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设对角线交点为，连接，利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，结合面积法建立等式，即可求出的值． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，  ． 6. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的正确答案是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 整理得， 因式分解得， 解得． 7. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和三角形中位线定理求出的长，则可求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点，，， ∴，点为的中点， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 又∵点为的中点， ∴． 8. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明，得到，根据折叠的性质可求得，，进而即可解答． 【详解】解：∵将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式拆分为含的形式，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， 原式． 10. 某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若有个班，每个班都要和除自己之外的个班各赛1场，统计总场次为， ∴根据题意可列出的方程为（或）． 11. 如图，四边形是菱形，，对角线为，，于点，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出另一条对角线的长，再根据菱形面积的两种计算方法（对角线积的一半和底乘高）建立等式求解． 【详解】 解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，的面积是，矩形的边平行于，且边被矩形三等分，则图中被矩形截得阴影部分的面积为________． 【答案】 18 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形的边平行于， ∴， ∴， ∴， ∵边被矩形三等分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中被矩形截得阴影部分的面积为. 13. 如图，正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知点、都是线段的黄金分割点，已知，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵点、都是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，是的中点，，为边上的点，且，与、分别交于，点，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，利用全等三角形性质得，， 再利用相似三角形性质分别求出、占的比例，最后计算比值． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， 设，则，，  是的中点， ，  在和中，   ， ， ，，  ，  ∵，  ，   ， ， ， ，  ， ，  ， ， ． 15. 正八边形，是正方形的内嵌正八边形，点、、、在正方形的边上，已知，，那么正八边形的对角线________，正八边形的面积是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正八边形的中心对称性，其几何中心与正方形中心重合；先由与正方形边长求出中心到顶点的距离，再用正八边形面积公式求解． 【详解】解：设正方形的中心为(如图)，则正八边形的中心也是(正八边形与正方形同中心，且四条边各恰有一个顶点)． 、是正八边形上相对的两个顶点，连结经过中心且为的中点，故(记)． 设为的中点，则且． 由，得． 在中， ． 所以． 连结中心与正八边形的八个顶点，正八边形被分成个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角(在处)为，两腰长都等于． 过作，垂足为(如图)，则是这八个等腰三角形公共的高，为边的中点． 过点作于点， ∴ ∴每个这样的等腰三角形面积． 代入得． 正八边形面积． 代入，得． 综上，正八边形的对角线，面积为． 三、作图题：（本题满分4分） 16. 请利用尺规作图：在四边形内部找到一点，要求：到点、的距离相等，并且到点的距离最短． 【答案】 【解析】 【分析】点到点、的距离相等，则点M在的垂直平分线上，点M到点的距离最短，则与线段的垂直平分线垂直，据此作图即可． 【详解】略 四、解答题（本题满分71分，共有8道小题） 17. 解方程： （1）； （2）． （3）； 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 在矩形中，、分别为、上两点，且，交点为，，，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根，求的值和另一个根的值． 【答案】（1） （2），另一个根 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，求解m的取值范围； （2）将已知根代入方程求得m的可能值，结合（1）的范围确定m的值，再求方程的另一根． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：将代入原方程，得， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， 将代入原方程，得， 解得，， ∴另一个根为． 20. 老师的问题： 如图，已知中，是上的中线，求作平行四边形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，； 则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请根据小丽的作法，证明四边形是平行四边形； （2）小丽继续思考： ①当满足_______________时，平行四边形是矩形； ②当满足________________时，平行四边形是菱形； 请从①，②中选择其一，先添加条件，再证明． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明：如图， ∵是上的中线， ∴是的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①当满足时，平行四边形是矩形； 证明：∵，是上的中线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，平行四边形是菱形； 证明：∵，是上的中线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由题意可得是的中点，证明是的中位线，，从而可得，，进而得出，最后由平行四边形的判定定理即可得证； （2）①由等腰三角形的性质可得，即，再结合矩形的判定定理即可得证；②由直角三角形的性质可得，再结合菱形的判定定理即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 阅读材料 对于一元二次方程，若它的两个实数根为、，则一定有． 将等式右边展开得：，对比等式左右两边多项式对应项的系数，可得一元二次方程根与系数的关系：，． 类比上面的方法，我们研究一元三次方程： 设一元三次方程的三个实数根为，，，则一定有． （1）【类比探究】仿照一元二次方程的推导思路，将展开，对比等式左右两边多项式对应项的系数，推导出一元三次方程根与系数的三个关系式． （2）【结论应用】已知方程的一个根是1，设另外两个根为、，请根据【类比探究】得到的结论，求出和的值． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）展开三次因式，与原多项式对比对应项系数，推导根与系数的关系； （2）利用（1）的结论，结合已知根列方程组求解、． 【小问1详解】 解： ∵， 对比等式两边对应项系数，得三个关系式： ， ， ； 【小问2详解】 解：∵方程的三个根为、、，且，，，， ∴根据（1）的结论得： ， ， 整理得，， ，, 整理得：， 解得：，， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ，． 22. 问题探究： （1）如图1，已知等腰直角，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，则__________，的度数为_________； 对比辨析： （2）如图2，已知，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，求的度数； 变式拓展： （3）如图3，已知，，．为上一点，连接，过作，且，得到，连接，，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再证明得出，，即可得解； （2）证明，得出，再结合，计算即可得出结果； （3）证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵等腰直角，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略． 23. 项目式学习 文创展销区的扩建与经营 信息一 为迎接文旅热潮，青岛某景点处一矩形文创展销区进行扩建改造．原有矩形展销区面积为120平方米，将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，改造后形成一个正方形展销区． 信息二 改造前游客平均排队等候参观体验时间为25分钟，展销区优化动线、增加引导员，两个星期后平均等候时间缩短至16分钟． 信息三 展销售卖青岛特色贝壳文创，定价8元/件时，平均每天可卖出60件；售价每降低0.5元，平均每天可多卖出10件． （1）扩建后正方形展销区的边长是米，则可以列方程_____________； （2）求平均每星期等候时间降低的百分率是多少？ （3）如果摊主希望每天文创销售额达到600元，并且从让利游客的角度出发，售价应定为多少元/件？ 【答案】（1） （2） （3）售价应定为5元/件 【解析】 【分析】（1）根据题意得到矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出方程即可； （2）设平均每星期等候时间降低的百分率是，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设售价应定为元，根据销售额等于定价乘以销量，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解：设平均每星期等候时间降低的百分率是， 由题意，得，解得或（舍去）； 答：平均每星期等候时间降低的百分率是； 【小问3详解】 解：设售价应定为元/件，由题意，得， 解得或； ∵让利游客， ∴； 答：售价应定为5元/件. 24. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为5单位，同时点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为单位，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）线段的长为_____； （2）为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，点在的垂直平分线上 （3） （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由题意可得，，，作于点，作于点，由（1）可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得，证明，得出，代入计算即可得出结果； （3）由题意可得，，，作于点，作于点，由（1）可得，，证明，求出，由勾股定理可得，求出，，再由计算即可得出结果； （4）由题意可得，，，，作于点，作于点，由（1）可得，，证明，求出，由勾股定理可得，求出，，由勾股定理可得，作于点，则四边形为矩形，从而可得，，，由勾股定理可得，再分三种情况，结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∴， 如图，作于点，作于点， 由（1）可得，， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理可得， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴当时，点在的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ∴， 如图，作于点，作于点， 由（1）可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 综上所述，； 【小问4详解】 解：由题意可得，， ∴，， 如图，作于点，作于点， 由（1）可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则 ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、为顶点的三角形是直角三角形， ∴当时，， ∴， 解得（不符合题意，舍去），； 当时，， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），； 由题意可得，不可能为直角； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $