第二章 一元二次方程 基础练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册
26初三上 第二单元 一元二次方程基础练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【知识梳理】
（一）一元二次方程的概念与一般形式
（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。
（2）判断三看：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为 2；判断前应先把方程化成一般形式。
（3）一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）：ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
（二）根的定义与代入求值
（1）若 x=x₀ 是 ax²+bx+c=0 的根，则 ax₀²+bx₀+c=0。
（2）求含 a、b、c 的式子的值时，先把 ax₀²+bx₀ 整体换成 -c，再代值计算。
（三）四种基本解法
（1）直接开方法：形如 x²=n、(ax+b)²=n（n≥0）或 (ax+b)²=(cx+d)²（ac≠0）的方程，可直接开平方求解。
（2）配方法：①二次项系数化为 1；②两边同时加上一次项系数一半的平方；③移项；④整理成 (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²；⑤用直接开方法求解。
（3）公式法：先确定 a、b、c，再算 Δ=b²-4ac 并与 0 比较，最后代入 x=(-b±√Δ)/2a；Δ=0 时 x₁=x₂=-b/2a。
（4）因式分解法：移项使右边为 0，左边分解成两个一次因式的积，再令每个因式为 0（a·b=0，则 a=0 或 b=0）；常用方法有提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘。
（四）根的判别式
Δ=b²-4ac：Δ>0 有两个不相等的实数根；Δ=0 有两个相等的实数根；Δ<0 无实数根。
（五）根与系数的关系
（1）当 Δ=b²-4ac≥0 时，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
（2）使用前提是 a≠0 且方程有实根，否则不能直接使用。
（六）增长、传播与比赛模型
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（1）病毒传播：第一轮传播后的数量=传播前的数量×(1+传播速度)，第二轮传播后=传播前的数量×(1+传播速度)²。
（2）平均增长率：a(1+x)ⁿ=b，a 为初始量，b 为末量，n 为期数；下降时取 1-x。
（3）单循环比赛：x(x-1)/2=15 型，x 为参赛队（人）数。
（七）面积与画框问题
（1）已知边长关系：先确定变化后的边长，再利用面积公式列式。
（2）已知围栏材料总长：先确定所围图形的边长，再利用面积公式列式。
（3）已知路径（过道、边框）：先把路径移走，确定剩下图形的边长，再列式；最后按边长为正、符合实际意义取舍。
（八）营销利润问题
（1）利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，利润=进价×利润率。
（2）总利润=单件商品利润×销售数量，也等于销售额-总成本-各种费用。
（3）降价后的销售量=原销量+多卖的数量：若每降价 a 元多卖 b，则每降 1 元多卖 b/a，降 x 元多卖 (b/a)x；涨价则用原销量减。
（4）两个根都符合题意时，按“销量尽可能大”“让利最多”取舍；求最大利润把式子配方成顶点式。
（知识梳理据思学佳《逻辑思维·卓越》C9 暑假版第一至四讲整理）
考点一 一元二次方程的概念与一般形式
1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）关于x的一元二次方程
的二次项、一次项、常数项分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）关于
的一元二次方程
，该方程的常数项是（ ）
A．2 B．－3 C．1 D．－1
3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．
B． 
C．
D．
考点二 根的定义与代入求值
4．（26-27九年级上·广东深圳·期中）若
是关于的一元二次方程
的一个实数根，则
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的值是_________．
5．（26-27九年级上·广东深圳·期中）若是方程
的一个根，则
的值为__________．
6．（26-27九年级上·广东深圳·期中）已知
是一元二次方程
的一个实数根，则
的值为___________．
考点三 四种基本解法
7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）用配方法解一元二次方程
时，原方程应变形为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程
(1)
（用因式分解法）； (2)
（用适当的方法）．
9．（26-27九年级上·广东深圳·期中）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（26-27九年级上·广东深圳·期中）解方程：
(1)
(2)
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