精品解析：湖南省张家界市桑植县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期九年级期中教学质量检测数学试卷 本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A. y＝﹣3x+6 B. y=x2 C. y＝ D. y＝ 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 10. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的根为__________ 12. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 13. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 14. 如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____． 15. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 16. 若点在反比例函数图象上，则的大小关系是_____．（用符号表示） 17. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 18. 如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为_______． 三、解答题（本大题共8小题，第19小题10分、第20、21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题8分，第25小题10分，第26小题12分，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，点在上，点在上，且．求的长． 21. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 22. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 23. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元/件时，每月可售出360件．为了让利于消费者，商店决定降价销售．已知模型单价每降低1元，平均每月可多售出6件．若要使该商店销售这种模型每月能获利6144元，则每件模型应降价多少元？ 24. 如图，是的中位线，延长至使，连接．求证：． 25. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积： （3）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级期中教学质量检测数学试卷 本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； C、不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D、不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； 故选B． 2. 下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A. y＝﹣3x+6 B. y=x2 C. y＝ D. y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义判断即可得到正确答案． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、y=x2，不符合题意； C、中，未知数的次数是次，不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的定义，牢记定义内容是解题关键． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行计算，即可得出结论． 【详解】解：若，则， A．由，可得，故本选项符合题意； B．由，可得，故本选项不合题意； C．由，可得，故本选项不合题意； D．由，可得，故本选项不合题意； 故选：A． 4. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论． 【详解】解：∵x2+8x+17=0， ∴Δ=82-4×1×17=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系是解答此题的关键． 5. 已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数和反比例函数图象所在的象限即可． 【详解】解：如图所示，一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第二、四象限， 综上所述，符合条件的图象是C选项， 故选：C． 6. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可. 【详解】解： ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积. 8. 如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 9. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 10. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵ ∴ 由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为， 由图象可以看出当或时，函数在上方，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键．因为比例尺图上距离：实际距离，根据题意列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：因为比例尺图上距离：实际距离， 设两地实际距离为厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米）， 故答案为：0.5． 13. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：P是的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，掌握黄金分割中相关线段的比例关系是解题的关键． 14. 如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵图象位于第二象限内， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 15. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 16. 若点在反比例函数图象上，则的大小关系是_____．（用符号表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点． 根据反比例函数解析式，分别求出的值，再比较大小． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ，，． ， ，且， ． 故答案为：． 17. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 18. 如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，，即可得出，，，，进而可得，分别求出和的值即可得答案． 【详解】解：设前个直角三角形的面积分别为、、、、， ∵点、、、、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、、n， ∴，，， ，，， ， ，，， ∴当时，， 当时，， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，第19小题10分、第20、21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题8分，第25小题10分，第26小题12分，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接用十字相乘法解方程即可； （2）先移项，再用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ．（方法不限） 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ．（方法不限） 20. 如图，在中，点在上，点在上，且．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 设， ， ， 解得， 的长为． 21. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】（1）与之间的函数表达式为 （2）该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 22. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在这个函数的图象上，理由如下： ∵， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在这个反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 23. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元/件时，每月可售出360件．为了让利于消费者，商店决定降价销售．已知模型单价每降低1元，平均每月可多售出6件．若要使该商店销售这种模型每月能获利6144元，则每件模型应降价多少元？ 【答案】4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件模型降价x元，可表示出单件利润和销售量，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解即可. 【详解】解：设每件模型降价x元，根据题意，得 ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价4元． 24. 如图，是的中位线，延长至使，连接．求证：． 【答案】 证明：为的中位线， ，， 在与中，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．先根据三角形的中位线性质得到，，易证，再根据，证明，即可证明结论． 【详解】略 25. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】（1）①④ （2） 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． （3） 证明：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式， （1）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【小问1详解】 方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积： （3）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先求出的长，再利用即可得出结论； （3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，， 解得，， 将代入，得，即； 【小问2详解】 解：，当时，， 即， ， ， ； 【小问3详解】 解：直线向下平移个单位得新直线， 与联立得， 消得，化简得， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或， ， （舍去）， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $