5.7 三角函数的应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§5.7 三角函数的应用 目录 题型1：三角函数在物理学中的应用 2 题型2：三角函数在生活中的应用 7 题型3：几何中的三角函数模型 15 1. 函数中的几个量的物理意义 (1) 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中. (2) 参数的物理意义： 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; 称为相位;时的相位称为初相. 2. 三角函数模型的简单应用 (1) 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.在现实生活中也有大量运动变化现象，如大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等,仅在一定范围内（此时应注意自变量的取值范围）呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述. (2) 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 题型1：三角函数在物理学中的应用 方法提炼 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【例1.1.】 交流电的电压（单位：V）随时间（单位：s）变化的关系式是． (1)求开始时（）的电压； (2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔. 【答案】(1) (2)最大值为，时间为． (3)； 【难度】0.87 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数在物理学中的应用 【分析】（1）求时的函数值即可； （2）解方程即可. （3）根据周期公式计算求解. 【详解】（1）当时，（伏）， 即开始时的电压为伏； （2）电压的最大值为伏， 令，得， 故当秒时第一次获得这个最大值. （3）因为，所以电压值重复出现一次的时间间隔为； 【例1.2.】 如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【难度】0.7 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可； （2）利用三角函数的周期性计算即可； （3）根据三角函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． 【例1.3.】 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数在物理学中的应用 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 【例1.4.】 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【分析】应用周期代入点计算求解解析式判断A，应用余弦函数值域计算求解参数判断B，C，D. 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 题型2：三角函数在生活中的应用 方法提炼 解三角函数应用问题的基本步骤 【例2.1.】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【详解】月时气温最高为℃， 此时，则， 月时气温最低为℃， 此时，则， 联立方程：， 两式相加得，， 代入得， 所以函数为：. 将代入得到 解得 所以月份的平均气温为℃，对应选项为B. 【例2.2.】 （多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【答案】ACD 【难度】0.62 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D． 【详解】因为水位最高点和最低点的时间间隔为， 则，即， 且，可得，故A正确； 又因为中午点的水深为， 则，化简得，解得， 所以最高水位为函数最大值，故B错误； 因为当水深超过时限制船只出入， 令，可得， 则，，解得， 在范围内，有效区间为和， 共8小时，在上午8点之后开始首次限制，故C正确、D正确. 【例2.3.】 21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得，再利用二倍角公式及二次函数性质计算即可. 【详解】设，. 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即. 所以 . 当时，， 所以当时，取最大值；当时，取最小值. 所以，即的值域为. 所以的最大值为. 【例2.4.】 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.62 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、由余弦（型）函数的周期性求值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）由题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出函数的解析式； （2）由余弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，结合可得答案； （3）求出函数的最小正周期，结合周期性可求得所求代数式的值. 【详解】（1）由题意得，解得，故． （2）由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，，得，， 又，所以的单调递增区间为，． （3）由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 【例2.5.】 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 【答案】(1)，，，； (2)； (3) 【难度】0.67 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据三角函数的最值求解，结合最高点与最低点的时间间隔求周期，进而求，代入最高点坐标求. （2）将代入函数解析式计算得的高度. （3）建立不等式求解的范围，计算一个周期内符合条件的时长. 【详解】（1）∵ 高度最大值为，最小值为， ∴ ，解得，. ∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期， ∴ ，即，∴ . ∴ . 将，代入得，即， ∴ .∵ ，∴ . （2）由（1）知， 入口处对应，∴ . 即入口处离地面高度为. （3）令，即，化简得. 函数周期，取一个周期，则. 由，得，即， 解得. ∴ 时长为. 【例2.6.】 下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：（时间精确到0.1小时） 日期 日期位置序号 白昼时间/时 1月1日 1 5.6 2月28日 59 10.2 3月21日 80 12.4 4月27日 117 16.4 5月6日 126 17.3 6月21日 172 19.4 8月13日 225 16.4 9月20日 263 12.4 10月25日 298 8.5 12月21日 355 5.4 (1)以日期在365天中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（如图）    (2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号之间的函数关系； （注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算） (3)用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)121天 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、三角函数在生活中的应用、绘制散点图 【分析】（1）根据题设表格数据，在坐标系中描点，即得散点图； （2）由（1）所得散点图易知近似函数关系为（，，），结合给定数据求参数，即可得解析式； （3）由（2）所得解析式，解正弦不等式求解集，即可得结果. 【详解】（1）散点图如下图所示．    （2）由（1）知：白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为（，，）． 由题意知：函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即，． 由得：．由得：． 又，则． 当时，，又，则． ∴． （3）由得：， ∴，即， 又，，故，． ∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时． 题型3：几何中的三角函数模型 【例3.1.】 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 【例3.2.】 如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【难度】0.6 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 【例3.3.】 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】几何中的三角函数模型、辅助角公式 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.7 三角函数的应用 目录 题型1：三角函数在物理学中的应用 2 题型2：三角函数在生活中的应用 4 题型3：几何中的三角函数模型 7 1. 函数中的几个量的物理意义 (1) 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中. (2) 参数的物理意义： 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; 称为相位;时的相位称为初相. 2. 三角函数模型的简单应用 (1) 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.在现实生活中也有大量运动变化现象，如大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等,仅在一定范围内（此时应注意自变量的取值范围）呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述. (2) 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 题型1：三角函数在物理学中的应用 方法提炼 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【例1.1.】 交流电的电压（单位：V）随时间（单位：s）变化的关系式是． (1)求开始时（）的电压； (2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔. 【例1.2.】 如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【例1.3.】 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【例1.4.】 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 题型2：三角函数在生活中的应用 方法提炼 解三角函数应用问题的基本步骤 【例2.1.】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 【例2.2.】 （多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【例2.3.】 21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【例2.4.】 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【例2.5.】 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 【例2.6.】 下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：（时间精确到0.1小时） 日期 日期位置序号 白昼时间/时 1月1日 1 5.6 2月28日 59 10.2 3月21日 80 12.4 4月27日 117 16.4 5月6日 126 17.3 6月21日 172 19.4 8月13日 225 16.4 9月20日 263 12.4 10月25日 298 8.5 12月21日 355 5.4 (1)以日期在365天中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（如图）    (2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号之间的函数关系； （注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算） (3)用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时． 题型3：几何中的三角函数模型 【例3.1.】 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 【例3.2.】 如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【例3.3.】 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $