期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册专项训练 期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 函数不等式恒成立问题解题技巧 （1）“恒成立”要求在给定区间上对每一个 都成立，核心转化为函数最值问题。 （2）转化关系： 恒成立 ； 恒成立 ，含等号时最值关系也相应带等号。 （3）首选分离参数法：把参数单独放一侧，求另一侧函数的最值；不便分离时直接对含参函数分类讨论。 （4）两函数比较 ，构造 ，转化为 。 （5）用导数求最值时先确认定义域，闭区间比较极值与端点，开区间注意端点取不到。 （6）临界参数值必须回代检验，确认等号取到时不等式仍成立。 例1．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 例2．（26-27高一上·天津红桥·阶段检测）已知函数． (1)求的值域； (2)解不等式：； (3)若直线与的图象无交点，求实数a的取值范围． 例3．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数a的值； (2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在区间上的最大值为，求的值. 变式1．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 变式2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数． (1)时，求的值域； (2)解不等式； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 函数不等式能成立（有解）问题解题技巧 （1）“有解”只要求区间内至少存在一个 使不等式成立，转化方向与恒成立相反。 （2）转化关系： 有解 ； 有解 。 （3）同样可用分离参数法，但要核对最值取到时，区间内确实存在对应的 。 （4）开区间上最值取不到时，临界情形要单独判断，防止把参数范围扩大。 （5）“无解（恒不成立）”是有解的反面：如 无解 ，可借助对立关系处理。 （6）两类问题对照记忆：恒成立看最不利的最值，有解看最有利的最值，方向不混淆即可。 例1．（26-27高一上·山东德州·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若，，使得，求实数的取值范围． 例2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 例3．（26-27高一上·云南昆明·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式1．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 变式2．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数满足方程，且， (1)求. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 变式3．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册专项训练 期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 函数不等式恒成立问题解题技巧 （1）“恒成立”要求在给定区间上对每一个 都成立，核心转化为函数最值问题。 （2）转化关系： 恒成立 ； 恒成立 ，含等号时最值关系也相应带等号。 （3）首选分离参数法：把参数单独放一侧，求另一侧函数的最值；不便分离时直接对含参函数分类讨论。 （4）两函数比较 ，构造 ，转化为 。 （5）用导数求最值时先确认定义域，闭区间比较极值与端点，开区间注意端点取不到。 （6）临界参数值必须回代检验，确认等号取到时不等式仍成立。 例1．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数零点的定义直接计算； （2）讨论二次函数的对称轴可得最值； （3）由不等式恒成立可转换为，设，则，即可转换为，即，结合对勾函数单调性可得最值解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）当时，，令， 即，解得， 即当时，函数的零点为； （2）由已知， 当，即时，； 当，即时，函数在上单调递增，则此时； 当，即时，函数在上单调递减，则此时； 综上所述； （3）当时，， 则若对，都有恒成立， 即， 即， 设，， 则， 即， 又当，时，由对勾函数性质可知，， 即， 即， 所以. 例2．（26-27高一上·天津红桥·阶段检测）已知函数． (1)求的值域； (2)解不等式：； (3)若直线与的图象无交点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，. 综上，的值域为. （2）由详解（1）可知，时，恒等于，小于0，不符合题意； 时，恒等于4，大于0，符合题意； 当时，， 要求，解得. 综上，的解集为. （3） 如图，的图象的顶端为，底端为，且是连续不间断的， 所以直线与的图象无交点，即， 故或，即a的取值范围为． 例3．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数a的值； (2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在区间上的最大值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知函数的图象关于坐标原点对称，列出方程求解即可. （2）由题设可知，再对的取值进行分类讨论求解. （3）令，依题意得在区间上最大值为，对的取值进行分类求解. 【详解】（1）已知函数的图象关于坐标原点对称，则， 即，整理得，所以. （2）若对任意的，都存在，使得成立， 则， 因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，， 当时，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得； 综上所述，的取值范围为. （3）因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 令，则， 所以令， 依题意得在区间上最大值为，又， 当时，在上单调递增，在上单调递减， ； 当时，在上单调递增，所以，舍去； 当时，在上单调递减，所以，舍去. 综上所述，的取值为. 变式1．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减．证明如下： 由（1）知函数，设 ， 则， ， ， 因为，所以，， 即，， 所以，即，故在上单调递减． (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解. （2）利用函数的单调性定义进行判断. （3）先根据奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数单调性得到关于的不等式，最后根据的取值范围求解的取值范围. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，即 ， 此时，满足． （2）略 （3）因为为奇函数，所以， 由（2）可知，在上单调递减，且， ，所以对恒成立， 即对恒成立，令，， 由对勾函数性质可得：在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得最小值，，， 又因为，所以，则， 即的取值范围为． 变式2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上是单调递增函数，证明如下： 令，得，解得， 任取，且，则， 由题意知，当时，，所以， 则， 因为，所以， 即，所以， 故在上是单调递增函数. (3) 【分析】（1）将代入已知关系式求函数值即可； （2）由已知得，任取，且，则，根据条件及单调性的定义证明即可； （3）问题化为 对恒成立，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】（1）因为对任意，都有，且， 令，得； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 当时，的最大值为， 因为，恒成立， 所以只需 对恒成立， 即，亦即对恒成立， 构造关于的一次函数，， 要使恒成立，只需满足区间两端点的值均大于等于0， 即，即，得或， 所以，实数的取值范围是. 变式3．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数． (1)时，求的值域； (2)解不等式； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数变形为，结合不等式的性质求出的值域. （2）解分式不等式. （3）将不等式变形为，构造函数， 分类讨论的单调性，结合题意求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题知，由，， ，，的值域为. （2）由，，，， ，不等式的解为. （3）由，，由，，， ，令， 由对恒成立，对， ， 当时，，满足题意. 当时，，函数在上单调递减， ，，， 当时，，函数在上单调递增， ，，， 综上所述，实数的取值范围为. 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 函数不等式能成立（有解）问题解题技巧 （1）“有解”只要求区间内至少存在一个 使不等式成立，转化方向与恒成立相反。 （2）转化关系： 有解 ； 有解 。 （3）同样可用分离参数法，但要核对最值取到时，区间内确实存在对应的 。 （4）开区间上最值取不到时，临界情形要单独判断，防止把参数范围扩大。 （5）“无解（恒不成立）”是有解的反面：如 无解 ，可借助对立关系处理。 （6）两类问题对照记忆：恒成立看最不利的最值，有解看最有利的最值，方向不混淆即可。 例1．（26-27高一上·山东德州·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以，函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数定义域对称求得的值，并检验得解； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）根据题意问题转化为，求出最值得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，，故满足题意. （2）略 （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，所以，解得， 又，所以； ②当时，即时，， 解得，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 例2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 当时，解集为． 【分析】（1）利用换元法求出的解析式； （2）分离参数，得，根据不等式在上有解，利用基本不等式求出最小值得解； （3）对分情况讨论，再解一元二次不等式可得答案. 【详解】（1）令，则．因此，故． （2）不等式等价于．因，，可化为． 题设“有解”表示至少有一个满足，故只需不小于右式在该区间的最小值． 由，等号在处成立，得最小值为0． 所以．检验时取等号成立，故参数范围为． （3）要求解． 当时，不等式为，解集为． 当时，二次项系数为负，两根为，不大于零的部分在两根外侧，解集为． 当时，，开口向上，解集为． 当时，不等式为，解集为． 当时，，开口向上，解集为． 例3．（26-27高一上·云南昆明·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据幂函数系数为 1 的定义求解m的取值，再结合函数的单调性验证取舍，最终得到函数解析式； （2）先判断的奇偶性与正半轴单调性，利用偶函数性质将函数不等式转化为自变量绝对值的大小关系，平方后解二次不等式得到解集； （3）将 “任意，都存在” 的双量词问题转化为最值关系，利用关于的一次函数单调性求出右侧表达式的最大值，解二次不等式得到的取值范围. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得或， 当时，，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意， 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以． （2）由知，定义域为，为偶函数且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． （3）由（1）知， 因为对，都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为． 变式1．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式解集得到二次函数零点，利用韦达定理解出参数，再求解新的一元二次不等式即可； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，的解集为， 则，所以． 不等式即， 因式分解得，解得或， 所以不等式解集为． （2）由的解集为，则，得， 故. 令，， 且， 要使对于任意，总存在，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即； ②当，即时， 只需，即，不符合条件； ③当，即时，只需，即，不符合条件； 综上所述，实数的取值范围为． 变式2．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数满足方程，且， (1)求. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)（）. (2). (3). 【分析】（1）结合题意建立方程组求解函数解析式即可. （2）利用分离参数法得到，进而求解参数范围即可. （3）结合题意得到，进而利用基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得， 解得，故（）. （2）对任意，恒成立，即， 解得，令，由，得， 令，由二次函数性质得在区间上单调递减， 得到，要使对任意恒成立， 只需，所以的取值范围为. （3）易知在上单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立， 易知函数在区间上单调递增，且，可得最大值2， 由基本不等式得函数， 当且仅当时取等号，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 变式3．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)[3，4）. (3). 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将不等式化简并因式分解，根据两根的大小关系分类讨论，结合解集中恰有3个整数列不等式求解； （3）将不等式在给定区间上有解转化为二次函数在区间上的最小值小于等于0，按对称轴与区间的位置关系分类讨论求最小值. 【详解】（1）因为的解集为或， 所以和是方程的两个根. 由韦达定理得，解得. （2）由，得. 因式分解得. ①当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ②当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ③当，即时，不等式无解，不合题意. 综上，实数的取值范围为. （3）由，得. 由题意，该不等式在上有解， 即在上的最小值. 图象的对称轴为. ①当，即时，在上单调递增， ，解得； ②当，即时，， 化简得，解得或. 与取交集，得； ③当，即时，在上单调递减， ，解得. 综上，实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $