精品解析：黑龙江哈尔滨市爱建学校2026-2027学年九年级上学期期中调研测试数学试卷

爱建学校2026-2027上学期数学学科期中调研测试题 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的绝对值的概念，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据3.25亿用科学记数法表示为． 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 5. 方程的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故选：B 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称轴公式求抛物线对称轴即可． 【详解】解：由题意，抛物线对称轴为直线． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（ ） A. 51 B. 64 C. 66 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为，  第个图案正方形个数为， 当时，． 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线．过点作于点，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干的作图步骤，可知是的角平分线，则，根据，得出，则，即可得．证出是等腰直角三角形，再结合，即可求解． 【详解】解：根据题干的作图步骤，可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又与是对顶角， 故， 在中，， ∴． 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 10. 如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，则四边形是矩形，推出，则．①当时，点在上，此时，利用三角函数求出，，，得出是关于的二次函数；②当时，点在上，此时，四边形是矩形，则，，得出是关于的一次函数． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ①当时，点在上，此时， ，， ， ； ②当时，点在上，此时， ， ， 四边形是矩形， ，。 ， 当时，函数图象是开口向下的抛物线，当时，函数图象是直线． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由函数可得自变量的取值范围是， ∴， 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 13. 不等式组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 14. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得，， ∴将其代入得：． 15. 一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的弧长为_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式． 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的圆心角，半径， 则弧长， 故答案为：． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流为时，电阻为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设该反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴. 17. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，点为半径上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先理解题意，再连接，根据圆周角定理得，，故，然后运用圆内接四边形，对角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 则， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 18. 是直角三角形，，，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为点是直角顶点和点是直角顶点两类讨论，使用三角函数求出的长即可． 【详解】解：①当点是直角顶点时，如图， 在中，； ②当点是直角顶点时，如图， 在中，； 综上所述，的长为或． 19. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，可以先写出平移后的函数解析式，然后求出新函数图象与x轴的交点，从而可以计算出所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是求出新函数图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：二次函数的图象向上平移4个单位长度后的函数解析式为， 将代入， ∴ 解得，， 所得新函数的图象与x轴的交点坐标为，， ， 所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2026， 故答案为： 20. 如图，平行四边形，，，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点作交于点于点．①四边形是矩形；②连接，；③；④点，分别是，上的动点，则的最小值是．以上正确的结论序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据矩形判定定理判断①；利用三角形中位线定理计算线段长度判断②；通过面积法作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求出正切值验证③；利用轴对称转化线段，结合垂线段最短、三角形面积公式求出最小值判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故①正确； 点O为中点，， 如图，连接， 点E为中点，，， 是中位线，， ， ， ，，故②错误； 如图，过点作于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，故③正确； 如图，作点D关于的对称点，则， ， 点，分别是，上的动点， ， 当、、在同一直线上且时，取最小值， 此时， ， ，故④正确． 三、解答题（共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长是个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点都在格点上，点是的中点，仅用无刻度直尺按要求完成画图． （1）在方格纸中找到格点，画出以为底的等腰，使的面积是； （2）在上找到一点，连接，使，并直接写出线段的长（保留作图痕迹，体现作图过程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于等腰以为底，故，由于点是的中点，所以点在的垂直平分线上，结合格点，过点作的垂直平分线，由于面积为，使得且点在格点上即可，最后连接，构成等腰； （2）由于要求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在格点上找到点，连接交于点，则点即为所求，在直角中利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：为等腰三角形且为底， ． 的面积为， ． ， ． 如图所示，在格点上取点使得，再连接即可． 图略 【小问2详解】 解：要使，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，需为直角三角形，在格点上取一点，连接交于点，则点即为所求，证明如下： 由图可知，和均为边长为的直角三角形， ， ， ，， ， ， ，即． 的面积为，， 以为底，的高， ， ． 23. 爱建学校为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在此次抽查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全抽取的学生成绩条形统计图；并直接写出条形统计图中学生竞赛成绩得分的中位数为___________分； （3）已知爱建学校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计爱建学校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）100名 （2）补全抽取的学生成绩条形统计图，如图所示： 8； （3）600名 【解析】 【分析】（1）根据“部分数量除以其所占百分比等于总量”，即可解答； （2）根据“总量乘以该部分所占百分比等于该部分数量”，即可得出竞赛成绩为8分的人数，据此作图即可；根据中位数定义进行求解即可； （3）利用样本所占百分比估计总体的数量，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，此次抽查的学生总数为：（名）； 【小问2详解】 由题意得，竞赛成绩为8分的人数为： （人）， 补全抽取的学生成绩条形统计图略； 将学生竞赛成绩得分从小到大进行排序，排在第50和51的都是8分，因此学生竞赛成绩得分的中位数为：（分）； 【小问3详解】 解：由题意得，（名）． 答：估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有600名． 24. 定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”． 如图1，四边形中，若，，则四边形叫作“求同存异四边形”． （1）如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； （2）如图3，四边形是求同存异四边形，，在不添加辅助线和点的情况下，请直接写出所有和度数相等的角． 【答案】（1）证明：∵垂直平分， ∴，，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“求同存异四边形”． （2）、、 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，结合“求同存异四边形”的定义，即可得证； （2）先证明A、B、C、D四点共圆，再根据圆周角定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是求同存异四边形， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即和度数相等的角有、、． 25. 当今时代，科技发展日新月异，智能扫地机器人受到越来越多消费者的青睐，市场需求不断增长．某公司旗下智能扫地机器人配件销售部门，负责销售A，B两种型号的配件．有关信息如下表： 型号 进价（单位：元／件） 售价（单位：元／件） A型配件 35 B型配件 9 已知购进40件A型配件和100件B型配件花费1600元：购进30件A型配件和30件B型配件花费930元． （1）求、的值； （2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件（两种配件都要购买），且B型配件进货件数不低于A型配件件数（单位：件）的2倍．设该部门销售这300件配件获得的总利润为元，求的最大值． 【答案】（1） （2）1600 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）已知A型配件为件，则B型配件为件，根据B型配件进货件数不低于A型配件件数的2倍列不等式求出x的范围，再列出y关于x的函数关系式，进而利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：已知A型配件为件，则B型配件为件， 根据题意得， 解得：， 则 ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，且． 26. 如图1，已知是圆O的两条弦，于点，． （1）连接求证：； （2）如图2，连接并延长，交于点，点为上一点，连接，在上方有一点，，且，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当点G落在线段上时，过点O做，交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：延长交圆O于点P，连接， ∵是圆O直径， ∴，即； ∵， ∴， ∴； ∵同弧对应的圆周角相等， ∴， ∴，即； （2）证明：连接，过点G作交于点R， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ∵，， ∴ ∵， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交圆O于点P，连接，根据圆周角定理得出，即；利用角的代换得出；确定，即可证明； （2）连接，过点G作交于点R，根据等腰三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，结合全等三角形的判定和性质得出，，，，再由各角之间的关系得出，即可证明； （3）过点G作交的延长线于点R，连接，过点O作于点K，作于点P，根据题意得出，根据圆周角定理得出，结合全等三角形的判定和性质得出，，设，得出，确定，利用各角之间的关系得出，确定，再由勾股定理得出，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点G作交的延长线于点R，连接，过点O作于点K，作于点P， 由（2）得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设， ∴， ∴， ∵ ， ， ， ， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 27. 已知抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，，． （1）求的值； （2）如图2，点是第一象限内抛物线上的一点，点的横坐标为，连接，，交轴于点，连接，的面积为，求与的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，点为线段上一动点，连接，交于点，连接，并延长，交轴于点，过点作于点，交轴于点，交的延长线于点，，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出点坐标，从而求得，根据，，求得点，点的坐标，再选一点代入抛物线解析式，即可求出的值； （2）设点坐标为，求出直线的解析式，从而求得点的坐标，以为底，为高表示出的面积； （3）先令，解得对应的值，从而求得点的坐标，再分别求出的解析式，通过证明，得到，结合，得到，证得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，然后过点作轴交于点，通过证明，得到点的坐标，求得直线的解析式，利用的面积建立等量关系，解得，从而求出点的坐标，进而求出直线的解析式，最后分别联立直线和直线求出点坐标，进而求得直线的解析式，联立直线和直线求出点坐标，即可利用两点间距离公式求出． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， 令，可得， ，． ， ， 点在轴负半轴， ． 又， ，， 点在轴正半轴， ． 将点代入抛物线解析式得，， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为． 设点的横坐标为，代入抛物线得其纵坐标为， 即． 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 直线的解析式为． 令，得点的纵坐标为， ，． ． 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 代入抛物线解析式得，． 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得． 直线的解析式为． 令，得， ， 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得． 直线的解析式为． 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得． 直线的解析式为． ，，，， ． ， 又， ． ，， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ，即． 是等腰直角三角形． ， ， ． 过点作轴交于点， 则在和中， ， ， ，， ． 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为． 当时，， ． ，，， ， ， 解得． 设， 则， 解得． ． 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为． 联立直线和直线，得， ， 解得， ． 由，，设直线的解析式为， 代入得，， 解得． 直线的解析式为． 联立直线和直线，得 ， 解得． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 爱建学校2026-2027上学期数学学科期中调研测试题 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ）． A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（ ） A. 51 B. 64 C. 66 D. 81 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线．过点作于点，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 把多项式分解因式的结果是_______． 13. 不等式组的解集为___________． 14. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 15. 一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的弧长为_______（结果保留）． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流为时，电阻为__________． 17. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，点为半径上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为______． 18. 是直角三角形，，，则的长为____________． 19. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 20. 如图，平行四边形，，，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点作交于点于点．①四边形是矩形；②连接，；③；④点，分别是，上的动点，则的最小值是．以上正确的结论序号是___________． 三、解答题（共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长是个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点都在格点上，点是的中点，仅用无刻度直尺按要求完成画图． （1）在方格纸中找到格点，画出以为底的等腰，使的面积是； （2）在上找到一点，连接，使，并直接写出线段的长（保留作图痕迹，体现作图过程）． 23. 爱建学校为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在此次抽查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全抽取的学生成绩条形统计图；并直接写出条形统计图中学生竞赛成绩得分的中位数为___________分； （3）已知爱建学校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计爱建学校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 24. 定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”． 如图1，四边形中，若，，则四边形叫作“求同存异四边形”． （1）如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； （2）如图3，四边形是求同存异四边形，，在不添加辅助线和点的情况下，请直接写出所有和度数相等的角． 25. 当今时代，科技发展日新月异，智能扫地机器人受到越来越多消费者的青睐，市场需求不断增长．某公司旗下智能扫地机器人配件销售部门，负责销售A，B两种型号的配件．有关信息如下表： 型号 进价（单位：元／件） 售价（单位：元／件） A型配件 35 B型配件 9 已知购进40件A型配件和100件B型配件花费1600元：购进30件A型配件和30件B型配件花费930元． （1）求、的值； （2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件（两种配件都要购买），且B型配件进货件数不低于A型配件件数（单位：件）的2倍．设该部门销售这300件配件获得的总利润为元，求的最大值． 26. 如图1，已知是圆O的两条弦，于点，． （1）连接求证：； （2）如图2，连接并延长，交于点，点为上一点，连接，在上方有一点，，且，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当点G落在线段上时，过点O做，交于点，交于点，若，，求的长． 27. 已知抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，，． （1）求的值； （2）如图2，点是第一象限内抛物线上的一点，点的横坐标为，连接，，交轴于点，连接，的面积为，求与的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，点为线段上一动点，连接，交于点，连接，并延长，交轴于点，过点作于点，交轴于点，交的延长线于点，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $