精品解析：黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

哈尔滨市工业大学附属中学2026-2027学年上学期 八年级期中考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的高的线段是（    ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，，，,则的度数是（ ）. A. 117° B. 120° C. 132° D. 107° 7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（    ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个条件，不能确定是直角三角形的条件是（ ） A. 的三个内角的度数之比是 B. 在中， C. 的三个外角的度数之比是 D. 在中， 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为______． 12. 若、是正整数，且，，则________． 13. 已知等腰三角形的一边长为，一边长为，则它的周长为____________________． 14. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 15. 在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝_____． 16. 如图，在中，，，延长至D，使，延长至E，使，连接，，则的度数为________． 17. 如图，，，直线经过点C，过点A作于点B，过点E作于点D，若，，则的长为_________． 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 19. 如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为_________． 20. 如图，在中，，是角平分线，是中线，是高线，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写正确的序号即可）． 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． （1）将向上平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （2）画出与关于y轴对称的（其中点，分别是点B，C的对应点）； （3）在x轴上找一点D，连接、，使得，则点D的坐标为_______． 23. 若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： （1）若，求x的值； （2）若，求x的值． 24. 如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形． 25. 已知：在中，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． （1）如图1，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； （2）如图2，连接，若，求的度数． 26. 如图，在四边形中，，，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，作于点E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，，当时，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴上，点A的坐标为，点B在y轴上，点B的坐标为，连接，且． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点C、点D在第一象限，点D在点C的右侧，，连接、、，且，，求点D的纵坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，当的面积为1时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市工业大学附属中学2026-2027学年上学期 八年级期中考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则验证等式是否成立． 【详解】解：对A，，错误； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，错误． 3. 如图，是的高的线段是（    ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高”，根据三角形的高的画法即可得，正确认识三角形的高是解题的关键． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高， 故选：C． 4. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出，结合三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， 是的外角， ， ， ． 6. 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，，，,则的度数是（ ）. A. 117° B. 120° C. 132° D. 107° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得∠BDC=97∘，再证明∠EFC=∠BFD.再根据外角和定理，即可计算出∠BFC的度数. 【详解】在△ACD中,∵∠A=62°,∠ACD=35° ∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°； 在△BDF中,∵∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°,∠ABE=20°， ∴∠BFD=180°−97°−20°=63°， ∴∠EFC=∠BFD=63°(对顶角相等). =180°-63°=117° 故选A 【点睛】本题考查外角和定理,熟练掌握性质定理是解题关键. 7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作一个角等于已知角的方法得到，利用””可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出． 【详解】解：由作图可得，，， ∴， ∴． 综上所述，全等的依据为””． 8. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折叠后对应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得、，将的周长转化为，代入边长计算． 【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ∵，，， ∴，， （）， 的周长（）， 故选：B． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将拆分为，逆用积的乘方运算性质简化计算． 【详解】解： ． 10. 下列四个条件，不能确定是直角三角形的条件是（ ） A. 的三个内角的度数之比是 B. 在中， C. 的三个外角的度数之比是 D. 在中， 【答案】A 【解析】 【分析】验证各选项条件下是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A、三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不是直角三角形，符合题意； B、设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，不符合题意； C、三角形外角和为，最小外角为，对应内角为，可确定是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，可确定是直角三角形，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标的相反数为， 因此对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若、是正整数，且，，则________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的计算方法进行作答. 【详解】 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的计算方法，熟练掌握同底数幂的乘法的计算方法是本题解题关键. 13. 已知等腰三角形的一边长为，一边长为，则它的周长为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形两边长为和，需分两种情况讨论： ①当腰长为，底边长为时， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 这种情况不成立，舍去． ②当腰长为，底边长为时， ，满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， 周长为． 综上，该等腰三角形的周长为． 14. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 15. 在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABE＝_____． 【答案】1cm2 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵D是BC的中点，S△ABC＝4cm2 ∴S△ABD＝S△ABC＝×4＝2cm2 ∵E是AD的中点， ∴S△ABE＝S△ABD＝×2＝1cm2 故答案为：1cm2． 【点睛】本题考查了三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，从而完成求解． 16. 如图，在中，，，延长至D，使，延长至E，使，连接，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求出和的度数，最后根据角的和差关系求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 17. 如图，，，直线经过点C，过点A作于点B，过点E作于点D，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的余角相等证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后通过线段和差计算的长． 【详解】解：∵，， ， ， ，且点在同一直线上， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，外角性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， ， 则顶角为， 此时的底角为； 如图，当顶角为锐角时， ， 则顶角为， 此时的底角为； 综上所述，底角的度数为或， 故答案为：或， 19. 如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 20. 如图，在中，，是角平分线，是中线，是高线，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写正确的序号即可）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据同角的余角相等及角平分线定义判断①；根据三角形内角和定理及对顶角相等证明判断②；根据直角三角形斜边大于直角边判断③；利用三角形面积公式及中线定义推导判断④． 【详解】解：， ， ， 是角平分线， ， ， 故①正确； ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故②正确； 在中，， 与不全等， 故③错误； 如图，过点作于， 平分， ， ， ， 是中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次运用幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式法则化简计算； （2）依次运用同底数幂乘法、幂的乘方法则化简，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． （1）将向上平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （2）画出与关于y轴对称的（其中点，分别是点B，C的对应点）； （3）在x轴上找一点D，连接、，使得，则点D的坐标为_______． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： （3）如图，点D即为所求： 【解析】 【分析】（1）先利用点平移的坐标变化规律找到点，，，然后依次连接即可； （2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征找到点，，然后依次连接即可； （3）把平移使B点与A点重合，则C点的对应点为D点，根据平移的性质可证明，然后由图写出D点坐标． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：图略， 把平移使B点与A点重合，则C点的对应点为D点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 由图可知，点D的坐标为． 23. 若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： （1）若，求x的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将化为，再化为，然后根据同底数幂的乘法得到，即可求解； （2）将化为，再化为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 24. 如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形． 【答案】 （1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，如下图： ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴DF=EF， ∵BD=CE， ∴BD+DF=EF+CE 即：BF=CF， 又∵AF⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC 【解析】 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据等腰三角形的三线合一，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，从而可证得AB=AC． （2）根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠BAC=108°， ∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°． 同理∠ADE=∠AED=72°， ∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°， ∴∠B=∠BAD=36°， ∴△ABD是等腰三角形； 同理∠EAC=∠C=36°， ∴△AEC是等腰三角形； ∵∠BAD=36°，∠DAE=36°， ∴∠BAE=∠BEA=72°， ∴△ABE是等腰三角形； 同理∠CAD=∠CDA=72°， ∴△ADC是等腰三角形． 综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质．能够掌握辅助线的作法，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 25. 已知：在中，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． （1）如图1，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； （2）如图2，连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵平分，点在上， ∴点到与所在直线的距离相等． ∵、、三点共线， ∴点到与所在直线的距离相等． ∵平分，点在上， ∴点到与所在直线的距离相等． ∵、、三点共线， ∴点到与所在直线的距离相等． ∴点到、、所在直线的距离相等． （2）． 【解析】 【分析】（1）两次使用角平分线的性质，把点到三边所在直线的距离都与到的距离联系起来； （2）在中把、用的两个内角表示，由求出，再由角平分线的判定得到平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵由（1）知点到、所在直线的距离相等，且点在的内部， ∴平分． ∴． 26. 如图，在四边形中，，，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，作于点E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，，当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，作于E，延长线于F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：如图，作于E，延长线于F， 由（1）得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）5 【解析】 【分析】（1）作于E，延长线于F，构造，可求解； （2）作于E，延长线于F，由（1）得，则，，证明，根据全等三角形的性质及角的和差即可求解； （3）在上取一点，使，连接交于，设，，则，，，，先证明，得到，，再根据和得到，，，最后证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使，连接交于， 设，，则，， ∵， ∴，， 由（1）得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在（2）的条件下，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴上，点A的坐标为，点B在y轴上，点B的坐标为，连接，且． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点C、点D在第一象限，点D在点C的右侧，，连接、、，且，，求点D的纵坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，当的面积为1时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，得到点A和点B的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）过点D作交于点E，通过倒角可证得是等腰三角形，由等腰三角形的中线定理即可得出结果； （3）过点C作轴交点M，作轴交点K，过点D作轴交点H，作轴交点N，过点K作交点R，连接，设与的交点为T，先证明，设，证得是等腰直角三角形，通过割补法并利用三角形面积公式求得m的值，再设，利用三角形面积公式列方程即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， ∴，， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点D作交于点E， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D的纵坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点C作轴交点M，作轴交点K，过点D作轴交点H，作轴交点N，过点K作交点R，连接，设与的交点为T， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $