精品解析：黑龙江哈尔滨市松雷中学校 2025-2026学年度上学期期中测试卷数学试卷（八年级）

松雷中学2025-2026学年度上学期期中测试卷 数学试卷（八年级） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A中图案不是轴对称图形； B中图案是轴对称图形； C中图案是轴对称图形； D中图案是轴对称图形； 故选A． 2. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴的对称点横坐标为，纵坐标为． ∴对称点坐标为． 3. 下列图形中对称轴最多的是 （ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择． 【详解】解：A、因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴，所以等腰三角形有1条对称轴； B、因为正方形沿对边的中线及其对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，对边的中线及其对角线所在的直线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴； C、因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴． D、线段是轴对称图形，有两条对称轴． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数． 4. 已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为， ∴斜边长为． 5. 如图，为的角平分线，，，则图中共有等腰三角形（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的判定验证即可． 【详解】∵ ∴ ∴是等腰三角形 ∵为的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴是等腰三角形 ∴是等腰三角形 所以等腰三角形有3个 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 6. 如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 【详解】延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 7. 如图，在正方形网格中画出以点D、E、F为顶点的（点F在正方形网格的顶点上），使所作的与全等，这样的三角形最多可以画出（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， 这样的三角形最多可以画出4个． 8. 下列说法中，①三角形的一个内角等于另两个内角之差，则这个三角形是直角三角形；②角的平分线上的点到角的两边的距离相等；③有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定全等；④各条边都相等的多边形叫做正多边形．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：①设三角形的三个内角分别为、和，且，则， ∵， ∴，解得：，则该三角形为直角三角形，①正确； ②角的平分线上的点到角的两边的距离相等是角平分线的性质定理，②正确； ③有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，③错误； ④正多边形需各边相等且各角相等，仅各边相等不满足定义，比如菱形的四条边都相等，但不是正四边形，④错误． 综上，正确的个数为2个． 9. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】等腰三角形腰上的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，需分两类情况讨论；每类都在直角三角形中，通过“倍长这条直角边”作辅助线，构造全等三角形，进而得到等边三角形，先推出“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：分两种情况讨论． （1）当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，垂足D在上，如图． 在中，，于点D， ． 在直角三角形中，． 延长到点E，使，连接，则． ，， ． 在和中， （公共边），，， ∴， （全等三角形的对应边相等）， ， 是等边三角形， ，即， ，即． ， ． （2）当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，垂足D在的延长线上，如图． 在中，，交的延长线于点D，为钝角， ． 在直角三角形中，． 同(1)得， ． ， ， ． 综上，这个等腰三角形的底角为或． 【点睛】①腰上的高既可在三角形内部，也可在三角形外部，必须分类讨论，只算一种必然漏解；②教材中只有“角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质定理，“直角边等于斜边的一半，则所对锐角为”不能直接使用，应先倍长该直角边，构造全等三角形得到等边三角形推证后再用；③钝角情形中，与互补，顶角应为，不要把直接当作顶角，否则会漏掉这一解． 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，原说法正确； ③等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，原说法正确； 正确的有2个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 与一条线段两端点_______________相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【答案】距离 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：与一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 12. 如图，在中，，是高，，若，则的长为_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】先由直角三角形两锐角互余求出，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长，最后根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴，（直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半）． 又∵， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴． 在直角三角形中， ∵， ∴（的角所对的直角边等于斜边的一半）． ∴． 综上，的长为6． 【点睛】①“是高”即，垂足D在斜边上，所以；②运用“含角的直角三角形”的性质时，先认准斜边和的角所对的直角边：先用“斜边＝直角边的2倍”求，再用“直角边＝斜边的一半”求，方向不能搞反；③最后由线段的和差求解，不要把误当作． 13. 如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵是等边三角形，边长为 6， ∴，， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的周长． ∴的长是4． 14. 如图，与关于直线对称，则的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于某直线对称的两图形全等、全等三角形的对应角相等、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 根据轴对称的性质可得，再利用三角形内角和定理即可求出即可． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．解题的关键是作出恰当的辅助线． 连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 16. 已知点P在线段的垂直平分线上，连接、，若，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PB=PA=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17. 若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分腰长为和底边长为进行讨论即可求出答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则底边长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 当等腰三角形的底边长为时，则腰长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 综上可知，腰长为或． 18. 如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，，，证明得，再根据可得答案． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 19. 在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分等腰是锐角三角形和等腰是钝角三角形两种情况分别画出图形，利用垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：若等腰是锐角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 若等腰是钝角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 即的长为或． 20. 如图，在中，点在边上，，点在上，，，若，，则线段的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长、交于点，证明得，，继而得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】解：如图，延长、交于点， ∵，，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共计60分） 21. 如图，在中，，，交于，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”确定， 再结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后证明为等腰三角形，可得，由即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－3，3)、B(－5，－1)、C(－1，－2)． ⑴画出△ABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1； ⑵在⑴的条件下，连接 A1A、C1A，直接写出△A1C1 A 的面积． 【答案】（1）作图见详解；（2）15. 【解析】 【分析】(1)先作出三角形各个顶点的对称点，再用线段连接起来，即可； (2)根据题意作出图形，再利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示：； （2）∵A，A1关于y轴对称， ∴AA1∥x轴， 过点C1作C1M⊥AA1，则C1M=5， ∴△A1C1 A 的面积=. 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴的对称图形，根据题意画出图形，是解题的关键. 23. 如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 24. 已知：如图，中，，，是的中点，． 求证：（1）； （2）若，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：连接AD， ∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵AB=AC，DB=CD， ∴∠DAE=∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠B=45°， ∴AD=BD，∠ADB=90°， 在△DAE和△DBF中， ， ∴△DAE≌△DBF（SAS）， ∴DE=DF； （2）8. 【解析】 【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED，根据全等三角形的性质即可得出DE=DF； （2）根据△DAE≌△DBF，得到四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC，于是得到结论． 【详解】证明：（1）略 （2）∵△DAE≌△DBF， ∴四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC， ∵BC=8， ∴AD=BC=4， ∴四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC=××8×4=8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接AD，构造全等三角形是解决问题的关键． 25. 在中，，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：． 【答案】（1）证明：过点D作交于M，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点D作交于M， 由（1）知，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点D作交于M，则，进而可得，可证得，即可得到结论； （2）过点D作交于M，结合（1）的结论得出，，即可证明结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 26. 如图，四边形中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求证：平分； （3）如图3，在（2）条件下，，是的中线，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【解析】 【分析】（1）由四边形内角和解题； （2）作辅助线，根据同角的补角相等性质解得，再判定，由全等三角形的性质得，最后由角平分线逆定理解题即可； （3）作辅助线，先证明，再证明，之后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可． 【详解】解：（1） （2）作 在和中 平分 （3）作 是的中线 在和中 在和中 【点睛】本题考查三角形综合，其中涉及多边形内角和定理、角平分线逆定理、全等三角形的判定与性质、线段和差问题、中线的性质等知识，是常见考点，正确作出辅助线是解题关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点的坐标为，，点在轴正半轴上，连接，为的中点，连接交轴于点，且， （1）求点坐标； （2）点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动，过点作交于点，交线段于点，若线段的长度为，点的运动时间为，用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，连接，若，求此时点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质定理，可知，推出即可解决问题； （2）作于F，求出直线、、的解析式，设，根据勾股定理求出，得到，可知、纵坐标均为，求出、的坐标，求出的值即可； （3）如图2中，因为，，推出垂直平分线段，可得M与N关于x轴对称，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2中，作于F． ∵，为的中点， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为， 设，则， 此时，即， ∵点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 则， ∴， ∵过点作交于点，交线段于点， ∴、纵坐标均为， 可知，， 解得：，， 可得，， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图2中，∵， ∴垂直平分线段， ∴M与N关于x轴对称， ∵，， ∴， ∴， ∴时，， 此时，即点的横坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2025-2026学年度上学期期中测试卷 数学试卷（八年级） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中对称轴最多的是 （ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 线段 4. 已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的角平分线，，，则图中共有等腰三角形（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 7. 如图，在正方形网格中画出以点D、E、F为顶点的（点F在正方形网格的顶点上），使所作的与全等，这样的三角形最多可以画出（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 8. 下列说法中，①三角形的一个内角等于另两个内角之差，则这个三角形是直角三角形；②角的平分线上的点到角的两边的距离相等；③有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定全等；④各条边都相等的多边形叫做正多边形．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 与一条线段两端点_______________相等的点在这条线段的垂直平分线上． 12. 如图，在中，，是高，，若，则的长为_________________． 13. 如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 14. 如图，与关于直线对称，则的度数为______度． 15. 如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则__________. 16. 已知点P在线段的垂直平分线上，连接、，若，则____． 17. 若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 18. 如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 19. 在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 20. 如图，在中，点在边上，，点在上，，，若，，则线段的长为_______________． 三、解答题（共计60分） 21. 如图，在中，，，交于，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－3，3)、B(－5，－1)、C(－1，－2)． ⑴画出△ABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1； ⑵在⑴的条件下，连接 A1A、C1A，直接写出△A1C1 A 的面积． 23. 如图，，，求证：是等腰三角形． 24. 已知：如图，中，，，是的中点，． 求证：（1）； （2）若，求四边形的面积． 25. 在中，，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：． 26. 如图，四边形中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求证：平分； （3）如图3，在（2）条件下，，是的中线，，求的长度． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点的坐标为，，点在轴正半轴上，连接，为的中点，连接交轴于点，且， （1）求点坐标； （2）点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动，过点作交于点，交线段于点，若线段的长度为，点的运动时间为，用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，连接，若，求此时点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $