第2章 反比例函数【章末复习】（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版九年级上册数学 2.3.2 反比例函数在实际生活中的应用 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 用反比例函数解决实际问题，一般按“审题设元—找出定值—写出表达式—确定______—作答”五步走。 2. 若两个量的______是一个定值，它们就成反比例关系；设这个定值为 k，则 y＝______。 3. 实际问题中自变量的取值通常为______数，所以图象只取第______象限的那一支，且不与坐标轴______。 4. 求“至少”“不超过”这类问题时，先由反比例函数的增减性确定______值，再结合实际情况确定取值范围。 5. 检验一组数据是否符合反比例关系，最简便的办法是看各组对应数据的______是否相等。 ## 二、行程问题 1. 小明家到学校的路程是 1500 m，步行速度 v（m/min）与所用时间 t（min）满足 vt＝1500。（1）写出 t 关于 v 的函数表达式；（2）当 v＝75 m/min 时，需要多少分钟？（3）若要在 15 min 内到校，速度至少应为多少？ 2. 甲、乙两地相距 240 km，汽车的速度 v（km/h）与行驶时间 t（h）满足 vt＝240。（1）写出 v 关于 t 的函数表达式；（2）当 t＝4 h 时，速度是多少？（3）若速度为 80 km/h，需要几小时？ ## 三、劳动与工程问题 1. 一份稿件共 6000 字，打字速度 x（字/分）与打完所需时间 y（分）满足 xy＝6000。（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）当 x＝100 字/分时，需要多少分钟？（3）若要在 40 min 内打完，打字速度每分钟至少多少字？ 2. 一个水池的容量是 120 m³，注水速度 q（m³/h）与注满所需时间 t（h）满足 qt＝120。（1）写出 t 关于 q 的函数表达式；（2）当 q＝15 m³/h 时，需要几小时注满？（3）若要在 6 h 内注满，每小时至少注水多少立方米？ ## 四、消费与几何问题 1. 用 240 元买同一种笔记本，单价 a（元/本）与购买数量 b（本）满足 ab＝240。（1）写出 b 关于 a 的函数表达式；（2）当 a＝8 元时能买多少本？当 a＝12 元时能买多少本？（3）从结果看，单价与数量之间是什么关系？ 2. 一个面积为 36 cm² 的长方形，长 x（cm）与宽 y（cm）满足 xy＝36。（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）当 x＝9 cm 时，宽是多少？ 3. 一块面积为 24 m² 的长方形菜地，长 x（m）与宽 y（m）满足 xy＝24。（1）写出 y 关于 x 的表达式；（2）当 x＝6 m 时宽是多少？（3）若宽不超过 2 m，长至少应为多少？ ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列各对量中，成反比例关系的是（　　） A. 总价一定时，单价与数量　B. 正方形的周长与边长　C. 速度一定时，路程与时间　D. 人的体重与年龄 2. 面积为定值的长方形，它的长 x 与宽 y 之间的函数图象是（　　） A. 一条直线　B. 位于第一象限的一支双曲线　C. 位于第一、三象限的两支双曲线　D. 一条抛物线 3. 从 A 地到 B 地路程一定，速度由 60 km/h 提高到 120 km/h，所用时间（　　） A. 变为原来的 2 倍　B. 变为原来的 1/2　C. 不变　D. 变为原来的 1/4 4. 已知 y 与 x 成反比例，当 x＝20 时 y＝30，则当 x＝40 时 y＝（　　） A. 60　B. 30　C. 15　D. 10 5. 若 xy＝48，则下列结论正确的是（　　） A. y 与 x 成正比例　B. y 与 x 成反比例　C. y 与 x 无关　D. y 随 x 增大而增大 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 用 240 元买笔记本，单价 a 元，数量 b 本。解：由 ab＝240 得 b＝240a。 2. 小明家距学校 1500 m，步行速度 75 m/min 时需 20 min。解：如果把速度提高到 150 m/min，因为速度变大，所用时间也会变长，需要 40 min。 3. 水池容量 120 m³，注水速度 q m³/h。解：q 越大，注满所需时间 t 越大，所以 t 与 q 成正比例。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 拿到题目先问一句“哪个量是定值”，定值找对了，表达式自然就是 y＝k/x。 - 单位必须统一：min 与 h、m 与 km 混用是最常见的失分点，代数据前先换算。 - 实际问题中图象只取第一象限的一支，不能画成两支，也不能与坐标轴相交。 - 求最值靠增减性：k＞0 时 x 越大 y 越小，据此把“至少”“不超过”翻成不等式。 - 作答要写完整结论并带单位，只写一个数字不符合应用题的答题规范。 ## 参考答案 一、1. 取值范围　2. 乘积；k/x　3. 正；一；相交　4. 边界　5. 乘积 二、1.（1）t＝1500/v；（2）v＝75 时 t＝20（min）；（3）由 t≤15 得 v≥100，即速度至少 100 m/min　2.（1）v＝240/t；（2）t＝4 时 v＝60（km/h）；（3）v＝80 时 t＝3（h） 三、1.（1）y＝6000/x；（2）x＝100 时 y＝60（min）；（3）由 y≤40 得 x≥150，即每分钟至少打 150 字　2.（1）t＝120/q；（2）q＝15 时 t＝8（h）；（3）由 t≤6 得 q≥20，即每小时至少注水 20 m³ 四、1.（1）b＝240/a；（2）a＝8 时 b＝30 本，a＝12 时 b＝20 本；（3）单价越高，购买数量越少，二者成反比例　2.（1）y＝36/x；（2）x＝9 时 y＝4（cm）　3.（1）y＝24/x；（2）x＝6 时 y＝4（m）；（3）由 24/x≤2 得 x≥12，即长至少 12 m 五、1. A　2. B　3. B　4. C　5. B 六、1. 错，b 与 a 是相除关系，不是相乘。正确：b＝240/a　2. 错，速度提高时时间应缩短。正确：速度为 150 m/min 时 t＝10 min　3. 错，q 越大 t 应越小，二者成反比例。正确：t＝120/q，t 与 q 成反比例 > 建议限时 35 分钟完成第二至第四题组；每道题先在草稿上写出“定值是多少、它等于哪两个量的乘积”，再列式、代数据、作答。 --- 全文约 1605 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），七类板块：建模步骤梳理、行程、劳动与工程、消费与几何、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。与 2.3.1 的物理化学情境相比，这份练的是生活里最常见的四类“定值”——路程、工作量、总价、面积，本质仍是“先找定值再写 y＝k/x”。 苏科版（新教材）数学九年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第2章 反比例函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 知识图谱 相关概念 反比例函数 定义 图象与性质 图象：双曲线 k的几何意义 实际应用 三种形式 自变量范围 k>0时，每个象限内y随x的增大而减小 k<0时，每个象限内y随x的增大而增大 根据实际确定自变量取值 建立反比例函数模型 2 考点串讲 ——1：反比例函数的概念 定义：形如 （k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数 等价变形：xy=k，y=kx-1 自变量取值范围：x≠0 求解析式：使用待定系数法，代入一组(x,y)求出k 【注意】 k≠0是反比例函数的必要条件，自变量x不能取0。 3 考点串讲 ——2：有理数及其分类 图象：双曲线，分为两支，不经过坐标原点 性质： k>0：图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；k<0：图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 描述增减性必须强调“在每一个象限内”，不能直接说全体定义域上的增减。 4 考点串讲 ——3： k的几何意义 过双曲线上任意一点，分别向x轴、y轴作垂线： 所得矩形面积：|k| 所得直角三角形面积： 【注意】 计算面积一定要带上绝对值，k为负数时面积仍然为正数。 5 考点串讲 ——4：反比例函数与一次函数综合 求交点坐标:联立两个函数解析式，解方程组 比较函数值大小：结合图象，按象限分段进行讨论 【注意】 比较函数值大小，要区分交点左右、不同象限，不可以直接比较横坐标。 6 考点串讲 ——5：反比例函数实际应用 1、建立反比例函数模型，列出函数关系式； 2、结合实际情境确定自变量的取值范围 【注意】 实际问题中自变量除满足x≠0，还要符合现实意义，舍去无意义数值。 7 题型全解 题型01 反比例函数的定义 方法总结 方法1：形式识别法 把函数整理成y=、xy=k、y=kx-1三种等价形式，判断是否满足k为常数且k≠0。 方法2：参数限定法 参数类题目，同时满足：x的次数等于-1、比例系数不为0，联立求解参数。 题型全解 题型02 求反比例函数自变量、函数值 方法总结 分类1：代入求值 已知自变量，直接将x代入解析式计算对应的函数值y；已知y反过来求x。 分类2：取值限定法 反比例函数自变量x≠0，实际情境还要结合现实条件再限定取值。 题型全解 题型03 反比例函数的性质 方法总结 方法1：k值判定法 根据k正负判断图像所在象限：k>0图像在一、三象限；k<0图像在二、四象限。 方法2：象限内分析增减 描述增减性必须限定“在每一个象限内”，k>0每个象限内y随x增大而减小；k<0每个象限内y随x增大而增大。 题型全解 题型04 比较反比例函数值或自变量大小 方法总结 方法1：象限分类法 先判断点分别在哪一个象限，跨象限比较：第一象限y>0，二、四象限y<0，直接比较正负。 方法2：图象直观法 画出简易双曲线，对照点在图像上的位置，直观比较函数值、自变量的大小。 题型全解 题型05 反比例函数与几何综合 方法总结 方法1：k几何意义 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积|k|，直角三角形面积|k|/2，面积一定取正数。 方法2：坐标转化法 设双曲线上点的坐标，利用几何图形边长关系表示其他点坐标，代入反比例解析式列方程求解。 题型全解 题型06 一次函数与反比例函数综合 方法总结 方法1：联立方程组 联立一次函数、反比例函数解析式，解方程组，求得两个图像交点坐标。 方法2：图象分段 观察图像，以交点横坐标为分界，分区间比较两个函数值的大小，写出对应x的取值范围。 题型全解 题型07 实际问题与反比例函数 方法总结 方法1：建模求解析式 识别反比例关系，设y=，代入一组实际数据求出k，得到函数关系式。 方法2：范围分析 结合实际限制条件，代入解析式求解，再根据函数增减性确定自变量、函数值取值范围。 题型全解 题型08 一次函数与反比例函数的实际应用 方法总结 方法1：分段建模 根据图像分段，区分一次函数段、反比例函数段，分别求出各段函数解析式。 方法2：图象信息提取 读取图像关键点坐标，把实际问题转化函数计算，结合题意作答。 返回 B 举一反三 16 返回 举一反三 (2)当2<y<3时，求x的取值范围； 举一反三 18 (3)当－3<x<0，0<x<2时，求y的取值范围． 返回 举一反三 19 返回 举一反三 返回 D 举一反三 返回 A 举一反三 返回 －5 举一反三 7. 某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)是通电时间x(min)的反比例函数．若在水温为20 ℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)将水从20 ℃加热到100 ℃需要________min. 4 举一反三 (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． 举一反三 25 (3)加热一次，水温不低于40 ℃的时间有多长？ 返回 举一反三 26 举一反三 举一反三 28 举一反三 29 举一反三 30 举一反三 31 返回 举一反三 32 谢谢观看 THANKS 1.有下列函数：①y＝；②y＝－x；③y＝；④xy＝－2；⑤y＝；⑥y＝－3，y是x的反比例函数的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．画出反比例函数y＝的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当x＝－2时，求y的值； 解：反比例函数y＝的图象如图所示． (1)根据图象可知，当x＝－2时，y＝－6. 解：反比例函数y＝的图象如图所示． (2) 根据图象可知，当2<y<3时，x的取值范围是4<x<6. 解：反比例函数y＝的图象如图所示． (3)根据图象可知，当－3<x<0，0<x<2时，y的取值范围是y<－4或y>6. 3．德州中考已知点P(a，b)在双曲线y1＝上，点M(6a，b)，N(a，c)在双曲线y2＝上，若|b－c|＝2，则N的坐标为 __________________． 或　 4.徐州模拟 关于反比例函数y＝，下列描述不正确的是(　　) A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 5．镇江中考已知点A(－1，y1)，B(a，y2)在反比例函数y＝的图象上，若y2>y1，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>0 　　B．－1<a<0 　　 C．a>0 D．a<－1 6．苏州模拟 如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，若平行四边形OABC的面积是9，则k＝________． 解：设在水温下降的过程中，水温y关于通电时间x的函数表达式为y＝(x>4)， 由题意得，点(4，100)在反比例函数y＝的图象上， ∴＝100，解得k＝400. ∴在水温下降的过程中，水温y关于通电时间x的函数表达式是y＝(x>4)． 解：设在水温上升的过程中，y关于x的函数表达式为y＝ax＋b(0≤x≤4)．∵函数图象过点(0，20)，(4，100)， ∴易知y关于x的函数表达式为y＝20x＋20(0≤x≤4)． 在加热过程中，水温为40 ℃时，20x＋20＝40，解得x＝1， 在水温下降过程中，水温为40 ℃时，40＝，解得x＝10. ∵10－1＝9(min)，∴加热一次，水温不低于40 ℃的时间为9 min. 8.绵阳中考如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(－2，m－9)，B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5. (1)求点A，B的坐标及反比例函数的表达式； 解：将A(－2，m－9)代入y＝mx，得m－9＝－2m，解得m＝3， ∴正比例函数的表达式为y＝3x，A(－2，－6)， ∴k＝－2×(－6)＝12， ∴反比例函数的表达式为y＝， ∵点A，B关于原点对称，∴B(2，6)． (2)探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，过C作CG∥x轴，交AB于点G， 设C，则G， ∴CG＝c－， ∴S△BOC＝CG·(yB－yO)＝××6＝5， 整理得3c2－5c－12＝0，即(c－3)(3c＋4)＝0， ∴c－3＝0或3c＋4＝0，解得c＝3或c＝－(舍去)， ∴C(3，4)，则OC＝＝5， 当OC为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图a，点N在点C左侧， 此时CN∥x轴，且CN＝5，∴N(－2，4)； ②如图b，点N在点C右侧， 此时CN∥x轴，且CN＝5，∴N(8，4)； ③如图c，连接CN，OM，CN为对角线， 此时点C与点N关于x轴对称，则N(3，－4)； 当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况： 如图d，过C作CL⊥x轴于点L， 设OM＝a，则CM＝a，ML＝a－3， 在Rt△CLM中，(a－3)2＋42＝a2， 解得a＝， ∴CN＝，∴N， 综上，点N的坐标为(－2，4)或(8，4)或(3，－4)或. $