第2章 反比例函数 综合与实践 密度计中的函数（课件）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“密度计中的函数”，通过分组实验探究测力计示数与浸入深度、液体密度的关系，构建一次函数与反比例函数的学习支架，帮助学生理解函数在实际中的应用。 其亮点在于以实验为载体，融合数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），如推导F与h的一次函数及h与ρ的反比例函数，分析密度计刻度原理。学生能提升探究与应用能力，教师可借此落实核心素养教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 综合与实践 密度计中的函数 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 学习任务 1.探究测力计示数与物体浸入深度的关系 1.分组实验 (1)将弹簧测力计调零，用其测出圆柱形物体在空气中的重力，记录数据； (2)手持弹簧测力计，将物体缓慢浸入盛有清水的烧杯中，每浸入 1 cm，暂停并记录浸入深度h与对应的弹簧测力计示数F，共记录5 组未浸没阶段数据； 2 学习任务 (3)待物体完全浸没后，改变其在水中的深度，记录3 组数据，观察示数变化. 实验注意事项：不要碰烧杯壁、物体要缓慢浸入、读数时要平视. 3 学习任务 2.分析探究 结合重力、浮力、拉力三者的关系，自主推导F与h的关系式. F拉＝G－F浮， F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh， 联立可得F拉＝G－ρ水gSh. 4 学习任务 3.交流总结 物体未浸没时，F随h增大而减小，二者成一次函数关系，自变量为浸入深度h； 物体完全浸没后，F为定值，与h无关. 总结：未浸没时F与h为一次函数关系，完全浸没时F恒定不变. 5 学习任务 1.分组实验 (1)将同一圆柱形物体完全浸没在清水中，记录弹簧测力计示数； (2)先后将物体放入三杯浓度递增的糖水中，分次记录弹簧测力计示数. 2.探究测力计示数与液体密度的关系 6 学习任务 2.分析探究 结合液体浓度和弹簧测力计示数的变化，分析液体密度变大时拉力的变化趋势，自主推导F与ρ的关系式. 物体完全浸没，V排不变，F浮＝ρgV排， 则F＝G－ρgV排. 7 学习任务 3.交流总结 液体密度ρ越大，测力计示数F越小，二者成一次函数关系，自变量为液体密度ρ. 8 学习任务 1.分组实验 观察密度计漂浮状态，结合漂浮条件，小组合作推导h与ρ的关系式. 漂浮时受力平衡，G＝F浮； 浮力公式F浮＝ρgV排＝ρgSh； 联立可得G＝ρgSh. 3.探究测力计漂浮深度与液体密度的函数关系及刻度原理 9 学习任务 2.分析探究 结合反比例函数图象特点，分析液体密度均匀增大，浸入深度是否均匀变化，思考刻度疏密成因. 反比例函数是非线性函数，当ρ较小时，ρ小幅增大，h大幅减小，刻度稀疏； 当ρ较大时，ρ同等幅度增大，h减小幅度变小，刻度密集. 10 学习任务 3.交流总结 密度计刻度：上小下大、上疏下密、刻度不均匀. 11 学习任务 1.分组讨论 (1)一次函数、反比例函数在密度计设计中分别起到什么作用？ (2)若密度计刻度均匀，需满足什么函数关系？为什么实际无法实现？ (3)结合本节课探究，谈谈数学知识在科学仪器设计中的价值. 2.汇报交流 4.交流展示，整合内容 12 学习任务 课后自主查阅资料，了解各种测量工具在科学技术和日常生活中的应用，完成数学小论文《密度计中的数学智慧》. 5.应用拓展，课后实践 13 C 课堂练习 14 2．密度计常用来测量液体的密度．如图①是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出ρ与h的关系图象，如图②所示．根据图象判断，下列说法正确的是(　　) A．ρ可能为0 B．若h1<h3<h2，则ρ1<ρ3<ρ2 C．密度ρ均匀增加时，深度h的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小 D 3．密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量． 密度ρ(g/cm3) 1 2 3 4 … 高度h(cm) 18 9 6 4.5 … 如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的函数，其函数关系的部分对应值如下表(ρ>0)，当液体密度ρ＝12 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝________cm. 4．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(ρ>0)． (1)求h与ρ之间的函数关系式； (2)当液体的密度ρ≥1 g/cm3时，直接写出浸在液体中的高度h(cm)的取值范围． 5．如图，某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度ρ(单位：g/cm3)与其浸在液体中的高度h(单位：cm)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，ρ的部分对应值如下表： h(cm) 2 2.5 4 5 8 ρ(g/cm3) 10 8 5 4 2.5 (1)在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度ρ(单位：g/cm3)关于高度h(单位：cm)的函数表达式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求这种液体的密度ρ. 6．综合与实践 【问题情境】某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计(圆柱形)，并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为x cm，该液体的密度记为y g/cm3，部分实验数据如下表： 液体 x(cm) y(g/cm3) 1号 7.5 0.8 2号 6 1 3号 4 1.5 【建立模型】(1)根据调试数据发现y(g/cm3)是x(cm)的反比例函数，求y(g/cm3)与x(cm)之间的函数关系式； 【问题解决】(2)为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为1.2 g/cm3的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为10 cm，最少浸入液体的深度需3 cm才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度y(g/cm3)的取值范围． 1．如图，科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm.则h关于ρ的函数表达式为(　　) A．h＝20ρ B．h＝－20ρ C．h＝ D．h＝－ 解：设h与ρ的函数关系式为h＝(ρ>0)， 因为图象过点(1，20)，将ρ＝1，h＝20代入h＝，得 20＝，解得k＝20， 所以h与ρ之间的函数关系式为h＝(ρ>0)． 解：0<h≤20. 解：如图所示． 根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设函数表达式为ρ＝(k≠0)， 将点(2，10)的坐标代入得10＝，解得k＝20. 所以ρ＝.将其他各点的坐标代入验算，均成立． 解：当h＝25 cm时，ρ＝＝. 答：这种液体的密度ρ为 g/cm3. 解：由题意设y(g/cm3)与x(cm)之间的函数关系式为y＝(x>0)， 将x＝6，y＝1代入得1＝，解得k＝6， ∴y(g/cm3)与x(cm)之间的函数关系式为y＝(x>0)． 解：∵y(g/cm3)与x(cm)之间的函数关系式为y＝(x>0)， ∴将y＝1.2代入得1.2＝，解得x＝5. 答：静止后浸入液体的深度稳定在约5 cm可说明此自制吸管密度计较准确． 0.6≤y≤2. $