专题17 双曲线中常考的二级结论十一类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题17 双曲线中常考的二级结论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的焦点三角形面积公式 题型二、双曲线中焦点到渐近线的距离为定值 题型三、与坐标有关的焦半径公式 题型四、与倾斜角有关的焦半径公式 题型五、双曲线的点差法 题型六、双曲线中的第三定义 题型七、与双曲线有关的离心率结论 题型八、双曲线的通径 题型九、双曲线中的面积定值 题型十、与双曲线内切圆有关的结论 题型十一、椭圆与双曲线共焦点结论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线二级结论多用于选择填空提速，核心依托双曲线定义、,c关系、韦达定理、点差法、几何相似推导得到，使用时优先确认适用条件，大题不可直接套用结论，需要简单推导。解题两条底线原则：一是分清焦点在x轴还是y轴，二是注意双曲线左右支限制，检验交点是否符合支的要求 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的焦点三角形面积公式 典例1 （26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】方法一：先求出双曲线的，再利用中三边关系求出，再由直角三角形面积公式即得结果. 方法二：利用公式求结论. 【详解】方法一：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，， 故， 在中， 所以， 所以. 方法二：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则， 因为点在双曲线上，且， 所以的面积. 题型模版 1.特征：已知双曲线上一点P与左右焦点构成，，求三角形面积 2.方法：核心结论：焦点在x轴， 补充结论： ① ②若，则 ③P在左支、右支公式形式一致，注意 3.注意：椭圆是，和双曲线区分记忆 变式1-1已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________. 【答案】或9/9或 【分析】由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，然后分和两种情况求解即可 【详解】由，得，则， 所以， 由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上， 若时，当时，，得，所以， 所以的面积为， 当时，则， 因为， 所以， 所以， 所以的面积为， 综上所述，的面积为或9， 故答案为：或9， 变式1-2（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 类型二、双曲线中焦点到渐近线的距离为定值 典例2 （23-24高二下·河南·阶段检测）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则________. 【答案】1 【分析】根据渐近线方程以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】的渐近线方程为，故， 又焦点到的距离为， 所以， 故答案为：1 题型模版 1.特征：双曲线任意一个焦点到任意一条渐近线的距离 2.方法：核心结论：距离恒等于 补充结论： ①垂足落在准线上 ②过垂足向x轴作垂线，垂足坐标 ③焦点、原点、垂足三点构成直角三角形，斜边长，直角边 变式2-1已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则___________；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为___________.（写出一个答案即可） 【答案】 ，（答案不唯一）. 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得双曲线的虚轴长，结合双曲线，进而求得的方程. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为 可得焦点到一条渐近线的距离为， 所以双曲线的方程为， 若双曲线与不同，且与有相同的渐近线， 则的方程可以为，（答案不唯一）. 故答案为：；，（答案不唯一）. 变式2-2已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为3，则双曲线实轴长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 由题意，焦点到的距离为3， 则，即， 又，，解得，， 所以双曲线实轴长为 故选：D. 题型三、与坐标有关的焦半径公式 典例3 （24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则__________. 【答案】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】    设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 题型模版 1.特征：已知点在双曲线上，求 2.方法：焦点在x轴 右支：， 左支：， 补充结论： 焦点在y轴 上支：， 下支：， 记忆口诀：右加左减，上加下减，符号由所在分支决定 变式3-1（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为______；连接，过点作交双曲线于点，若，则______. 【答案】 4 5 【分析】根据双曲线过定点，及其离心率，可求双曲线参数，进而求焦距，法一：设的倾斜角为，由求，利用余弦定理，结合双曲线的定义可得，即可得；法二：延长与双曲线交于另一点，易知，设直线联立双曲线方程求E点坐标，即可求，进而可求. 【详解】由题设，知：，解得，，即，则， ∴双曲线的焦距为4，且，直线的斜率为， 解法一：∵， ∴直线的斜率为，可设的倾斜角为，易得. 连接，在中，由余弦定理得，又， ∴，于是. 解法二：延长与双曲线交于另一点， 由双曲线的对称性，知：，易得直线的方程为， ∴，消去，整理得. 设，则，得，则， ∴，于是 ，于是. 故答案为：4，5 【点睛】关键点点睛：根据双曲线过点、及离心率求双曲线方程，应用余弦定理及双曲线定义求焦半径长度，或根据双曲线对称性，结合韦达定理求B点的对称点E坐标，再求焦半径长度. 变式3-2若是双曲线的一个焦点，、、、是双曲线上同一支上任意个不同的点，且 ，则________. 【答案】 【分析】不妨设是双曲线的左焦点，则，设为双曲线上左支上的点，其中，利用平面向量的坐标运算可得出的值，再利用双曲线的方程以及两点间的距离公式可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，， 不妨设是双曲线的左焦点，则， 设为双曲线上左支上的点，其中， ， 即， ， ， 同理可得，，， 因此，. 故答案为：. 题型四、与倾斜角有关的焦半径公式 典例4 （24-25高三上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出即可计算得解. 【详解】令双曲线左焦点，其渐近线方程为， 依题意，，又，解得， 双曲线的方程为，，当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 设，则，显然， ，， 由，得 ， 当直线时，由，得，， 所以. 故答案为： 题型模版 1.特征：过焦点的直线倾斜角为，直线交双曲线于两点，求焦半径长度 2.方法：焦点在x轴，过右焦点，倾斜角 补充结论： ①同一条焦点弦两段满足（同支相交） ②异支相交时： 变式4-1（26-27高二上·全国·期中）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则______. 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 变式4-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 题型五、双曲线的点差法 典例5 （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 题型模版 1.特征：已知弦中点，求弦斜率；已知斜率，求中点轨迹 2.方法：设在双曲线，中点 核心结论： 补充结论： ①适用前提：直线与双曲线交于同一支两点 ②中点在双曲线内部才存在实弦 ③焦点在y轴： 变式5-1（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 变式5-2（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于ABD通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断﹔对于C结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 题型六、双曲线中的第三定义 典例6 （2026高二·全国·专题练习）如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是______． 【答案】 【分析】由点在双曲线上得到点满足的方程，再由两点间直线的斜率分别表示出，由双曲线渐近线的斜率得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】设，因为点在双曲线上，所以， 因为，所以，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，是双曲线上第一象限内的一点，所以， 所以． 故答案为：. 题型模版 1.特征：双曲线上异于顶点一点P，和左右顶点A,B连线斜率 2.方法：焦点x轴， 补充结论： ①焦点y轴， ②拓展：过中心弦PQ，则 ③和椭圆第三定义区分：椭圆乘积为 变式6-1已知双曲线C：的左､右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，由题可得，即求. 【详解】设，则，因为，， 故，即， ∴. 故选：C. 变式6-2已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___． 【答案】 【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式. 【详解】因为双曲线C： 所以，设且即 ，所以 故答案为： 题型七、与双曲线的离心率结论 典例7 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____. 【答案】 【分析】首先根据，从而得到，再设，得到，，最后应用双曲线定义计算即可得到答案. 【详解】如图所示： 因为， 所以. 设，且， 则，， 再根据双曲线定义得 ， 所以， 又因为， 且，所以， 所以. 题型模版 1.特征：结合角度、边长、渐近线、焦点三角形求离心率范围或定值 2.方法：核心结论： ①渐近线斜率， ②焦点三角形中，若为顶角， 补充结论： ③等轴双曲线，渐近线 ④焦点到渐近线距离为b，可快速构造直角三角形求e ⑤离心率范围：焦点在x轴 变式7-1（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于，两点．若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设，，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，，由，得. 设直线方程为. 联立，整理得， 由题意可知不等于零，， 所以，，所以，， 所以，整理得， 所以，即，所以， 又，所以. 变式7-2（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且 ，则的离心率___________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 在中，由 ，得， 由双曲线定义得，则， 所以的离心率. 故答案为： 题型八、双曲线的通径 典例8 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线的概念及性质列等式计算即可. 【详解】由题意知，，，又， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为：. 题型模版 1.特征：过焦点垂直于实轴的弦 2.方法：核心结论：通径长 补充结论： ①通径是同支焦点弦里面最短的弦 ②通径端点坐标：焦点x轴 ③对比椭圆通径，表达式一致，但是取值约束不同 变式8-1（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 变式8-2（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 题型九、双曲线中的面积定值 典例9 （25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）设，由（1）知，即， 设，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 由直线与只有1个公共点，得， 整理得，直线的方程为，即， 直线的方程分别为，由，得点， 同理，而， ，所以点为的中点. （ii）是定值，定值为 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用根的判别式及韦达定理推理得证；（ii）由（i）求出及原点到直线的距离，进而求出三角形面积. 【详解】（1）由双曲线的右焦点为，得， 直线的方程为，由的斜率为，得，解得， 所以的方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）知，原点到直线的距离， 因此的面积， 所以的面积为定值. 【点睛】 题型模版 1.特征：过原点直线交双曲线于A,B，P在双曲线上，研究或者面积 2.方法：核心结论：若，直线AB过中心 补充结论： ①渐近线与双曲线无限靠近，渐近线上一点和双曲线两点构成面积常考定值 ②和双曲线相交， ③过原点两条渐近线，直线截两条渐近线线段，面积定值 变式9-1（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【详解】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    变式9-2（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值． 【答案】(1) (2)证明：①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为， 此时易得，点到直线的距离为，所以此时； ②当直线的斜率存在时，设直线为， 由得， 因为直线于双曲线相切，所以且， 整理得且，即， 由得，则， 同理得到， 所以 点到直线的距离 所以， 所以的面积为定值.    【分析】（1）由双曲线的渐近线方程结合点到直线的距离公式可求双曲线方程； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，线段的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点， ，， ，解得． ， ，， 双曲线C的标准方程为； （2）略 【点睛】方法点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 题型十、与双曲线内切圆有关的结论 典例10 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，， 所以，设， 则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 题型模版 1.特征：双曲线焦点三角形的内切圆 2.方法：核心结论：P在右支，内切圆与x轴切点为右顶点 P在左支，内切圆与x轴切点为左顶点 补充结论： ①内切圆圆心横坐标等于切点横坐标 ②内切圆半径，p为半周长 ③直角焦点三角形内切圆半径 变式10-1（2026·湖北荆门·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与 的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】设焦点，且内心和的横坐标分别为，过分别作、、的垂线，由双曲线的定义，求得，得到和，再由直角三角形的性质，得到，得到，得出，进而求得离心率. 【详解】设双曲线的焦点分别为，其中， 再设与的内心和的横坐标分别为， 过分别作、、的垂线，垂足分别为， 则，，， 所以， 且，则，，可得，同理可得， 因此点和在直线上，又由平分，平分， 因为，则，且， 又因为，，，且， 则，即，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：C．    变式10-2（24-25高三上·河南·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，经过点的直线与C的右支交于点G，H，若的内切圆半径为2，则的内切圆半径为__________. 【答案】 【详解】分别求得和内切圆的横坐标，再结合勾股定理与双曲线性质，即可得解. 【解答】设与的内切圆半径分别为，，不妨设直线GH的斜率为正. 如图， 点S，E，，均为切点. 由切线长定理知，，， 则， 又，可得， 则，即的内切圆圆心的横坐标为a， 同理可得的内切圆圆心的横坐标也为 所以轴，且， 作于R， 则， 在中，有，即， 整理得，故当时， 故答案为：. 题型十一、椭圆与双曲线共焦点结论 典例11 （2023·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：设的半焦距为c（），则，又， 所以，又直线与的一条渐近线平行， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 故答案为： 题型模版 1.特征：椭圆与双曲线共焦点，交于点P 2.方法：设椭圆：，双曲线： 核心结论： 补充结论： 记，则 变式11-1（25-26高二上·江西赣州·期末）（多选）如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则的最小值为2 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】A根据椭圆和双曲线的定义可得；B利用勾股定理和基本不等式求解；C在中由余弦定理可得；D在中利用两次余弦定理，即分别在椭圆和双曲线中应用可得. 【详解】对于A，由题意可知，，， 得，，故A正确； 对于B，设椭圆和双曲线的半焦距为， 若，则， 化简得，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 这与矛盾，所以，故B错误； 对于C，在中由余弦定理， 可得， 整理为， ，故C错误； 对于D，在椭圆中， ， 整理为， 在双曲线中，，， 整理为，所以， 即， 而，则，故D正确． 故选：AD． 变式11-2（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（   ）    A．， B．若双曲线的方程是，则 C．若，则 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据椭圆、双曲线的定义运算求解即可；对于B：可得，结合选项A可得，，即可得结果；对于C：根据题意利用余弦定理分析可得，即可得离心率；对于D：根据余弦定理结合椭圆、双曲线的定义整理可得，进而可求面积. 【详解】对于选项A：由椭圆：可知，即， 双曲线：可知， 且点在第一象限，则，解得，故A正确； 对于选项B：若双曲线的方程是，则， 可得，，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：若， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以，故C错误； 对于选项D：在中，由余弦定理可得， 结合椭圆定义可得， 即，整理可得， 结合双曲线的定义可得， 即，整理可得， 则，且为锐角，可得， 所以的面积为，故D正确； 故选：ABD. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2023·广西·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用边与角的关系可得，从而有，再求出离心率即可. 【详解】因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以，即， 故，则，则， 故，则， 解得（舍去， 故选：C. 2．（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】先由双曲线焦点到渐近线距离为，求得；设到两焦点距离为，利用双曲线定义和勾股定理联立，结合关系求出两线段乘积，再用直角三角形面积公式算出三角形面积. 【详解】∵双曲线 ， ∴渐近线：，左焦点 ，， 则 到渐近线距离：， 又∵ ，得 ， 设 ， 由双曲线定义：，则：， ，由勾股定理：， 将 代入 ：， 整理：， ∵ ，∴ ， . 3．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，所以，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即. 4．（2022·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，则双曲线方程为，，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 因为的周长为36， 所以， 所以，得， 所以双曲线方程为 ， 故选：C 5．（26-27高二上·全国·课前预习）已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①用“定义＋余弦定理”求 后代入面积公式；②把双曲线与渐近线统一为 （、），由韦达定理知两组交点中点重合；③由 在曲线上得 ，反比例对应得 的范围；④联立直线与 ，判别式 ，直线相离故无中点弦. 【详解】在双曲线 中， ， 对于①：在双曲线的焦点三角形 中，由余弦定理及双曲线的定义得 ，可得 ， 所以 ，故①正确； 对于②，不妨设 ， 当 时表示双曲线，当 时表示该双曲线的两条渐近线. 设直线 ，其与 的交点为 ， 联立 ，可得 ， 应满足 且 ．由韦达定理可知 ，都与 无关． 所以线段 的中点与线段 的中点重合，不妨设为 . 由 可知 ，故②正确； 对于③，设 ，且 ，则 ， 所以若 的斜率范围为 ，则 的斜率的范围为 ，故③正确； 对于④，联立 ，消去 可得 ， 故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，④错误． 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果. 【详解】由题意得，联立，解得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 在中，联立， 解得， 所以的面积为，故B正确； 由角平分线定理有，设，则，且， 所以 ， 同理可得，代入角平分线定理：，解得， 所以点的坐标为，故C错误； 若，则，故D正确． 故选：ABD． 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为 C．的最小值为 D． 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义求出的值，可判断A选项；利用双曲线的离心率公式可判断B选项；利用双曲线的焦半径公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由双曲线的定义可得，可得， 所以，双曲线的实轴长为，A错； 对于B选项，因为，则，所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，因为，故点在双曲线的右支上， 易知，则双曲线的方程为， 设点，则，易知点，且，可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，D对. 故选：BCD. 9．（24-25高二下·重庆北碚·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴交于点，交双曲线右支于点，且，下列选项正确的有（    ） A． B．双曲线渐近线的方程为 C． D．的内切圆半径是 【答案】ABD 【分析】判断，结合，可判断A；判断出，求得，结合双曲线定义求出之间的关系，可判断B；利用三角形面积可判断C；根据三角形的等面积法求得内切圆半径，可判断D. 【详解】由于可知是的中点，又是的中点，所以， 故，由于，因此，故A正确； 由于，， 故， 由双曲线的定义可知，， 因此渐近线方程为即，故B正确； 由于，故，故C错误； 设的内切圆半径为，根据等面积法得， 即，故D正确， 故选：ABD 10．（24-25高二下·辽宁朝阳·开学考试）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 【答案】AC 【分析】由椭圆､双曲线的定义可得选项A正确；根据余弦定理结合离心率的概念可得选项B错误；利用二倍角公式结合弦化切可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D错误. 【详解】A.由椭圆､双曲线的定义可知，， ∴，故A正确. B.由题意得，. 由余弦定理得， 当时，，，即， ∴，故B错误. D.当时，，，即，故， ∵，∴由基本不等式得，，故，D错误. C.∵，， ∴，故， ∵，∴，C正确. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决选项B、D的关键是利用余弦定理结合离心率概念得到的关系式，结合选项判断；解决选项C的关键是利用二倍角公式结合弦化切得到，由此可得结论成立. 11．（25-26高三上·山西大同·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD. 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，故A正确； 对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）， 由得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性， 设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为， 由，解得，所以点， 同理可得， 则， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，由B知，， 所以是线段AB的中点，故C正确； 对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为， 令，得，所以点， 则，是定值，故D正确.    故选：ACD 12．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点在的内切圆上 B． C． D．当时， 【答案】AB 【分析】对A，根据双曲线定义和焦点三角形内切圆性质得到其中一个切点坐标的方程，解出即可；对B，利用双曲线焦点弦结论和角平分线性质得到，化简即可判断；对C，根据A选项结论得到的横坐标为，再利用三角形面积公式即可求出其纵坐标；对D，根据双曲线对称性得到，显然其不等于0，即可判断D. 【详解】对A，当点位于双曲线右支时， 设的内切圆与分别切于点，，， 根据圆的切线性质，有， 再根据双曲线的定义，有， ， 得到，设，则有， 解得，即， 所以当时，点在的内切圆上，故A正确； 对B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点， 若点在双曲线左侧，此时左准线方程为， 则，则，根据可得， 若点在双曲线右侧，此时右准线方程为， 则，则，根据可得， 对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线， 因此， 结合，得到，同理当点在双曲线左支上时， 由于为的角平分线， 因此，解得，故B正确； 对C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴， 根据A选项的结论可知的横坐标为，设， 根据三角形的面积公式，有， 即得到，故C错误； 对D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得， 同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得， 显然，，则，故D错误. 故选：AB.    关键点点睛：本题的关键是充分利用三角形内切圆性质和双曲线定义从而判断A选项，利用焦半径公式判断B选项，本题还需要对点的位置进行合理分类讨论. 三、填空题 13．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 14．（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 双曲线中常考的二级结论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的焦点三角形面积公式 题型二、双曲线中焦点到渐近线的距离为定值 题型三、与坐标有关的焦半径公式 题型四、与倾斜角有关的焦半径公式 题型五、双曲线的点差法 题型六、双曲线中的第三定义 题型七、与双曲线有关的离心率结论 题型八、双曲线的通径 题型九、双曲线中的面积定值 题型十、与双曲线内切圆有关的结论 题型十一、椭圆与双曲线共焦点结论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线二级结论多用于选择填空提速，核心依托双曲线定义、,c关系、韦达定理、点差法、几何相似推导得到，使用时优先确认适用条件，大题不可直接套用结论，需要简单推导。解题两条底线原则：一是分清焦点在x轴还是y轴，二是注意双曲线左右支限制，检验交点是否符合支的要求 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的焦点三角形面积公式 典例1 （26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 题型模版 1.特征：已知双曲线上一点P与左右焦点构成，，求三角形面积 2.方法：核心结论：焦点在x轴， 补充结论： ① ②若，则 ③P在左支、右支公式形式一致，注意 3.注意：椭圆是，和双曲线区分记忆 变式1-1已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________. 变式1-2（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 类型二、双曲线中焦点到渐近线的距离为定值 典例2 （23-24高二下·河南·阶段检测）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则________. 题型模版 1.特征：双曲线任意一个焦点到任意一条渐近线的距离 2.方法：核心结论：距离恒等于 补充结论： ①垂足落在准线上 ②过垂足向x轴作垂线，垂足坐标 ③焦点、原点、垂足三点构成直角三角形，斜边长，直角边 变式2-1已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则___________；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为___________.（写出一个答案即可） 变式2-2已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为3，则双曲线实轴长为（    ） A． B．3 C． D．6 题型三、与坐标有关的焦半径公式 典例3 （24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则__________. 题型模版 1.特征：已知点在双曲线上，求 2.方法：焦点在x轴 右支：， 左支：， 补充结论： 焦点在y轴 上支：， 下支：， 记忆口诀：右加左减，上加下减，符号由所在分支决定 变式3-1（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为______；连接，过点作交双曲线于点，若，则______. 变式3-2若是双曲线的一个焦点，、、、是双曲线上同一支上任意个不同的点，且 ，则________. 题型四、与倾斜角有关的焦半径公式 典例4 （24-25高三上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则__________． 题型模版 1.特征：过焦点的直线倾斜角为，直线交双曲线于两点，求焦半径长度 2.方法：焦点在x轴，过右焦点，倾斜角 补充结论： ①同一条焦点弦两段满足（同支相交） ②异支相交时： 变式4-1（26-27高二上·全国·期中）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则______. 变式4-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型五、双曲线的点差法 典例5 （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知弦中点，求弦斜率；已知斜率，求中点轨迹 2.方法：设在双曲线，中点 核心结论： 补充结论： ①适用前提：直线与双曲线交于同一支两点 ②中点在双曲线内部才存在实弦 ③焦点在y轴： 变式5-1（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 变式5-2（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 题型六、双曲线中的第三定义 典例6 （2026高二·全国·专题练习）如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是______． 题型模版 1.特征：双曲线上异于顶点一点P，和左右顶点A,B连线斜率 2.方法：焦点x轴， 补充结论： ①焦点y轴， ②拓展：过中心弦PQ，则 ③和椭圆第三定义区分：椭圆乘积为 变式6-1已知双曲线C：的左､右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 变式6-2已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___． 题型七、与双曲线的离心率结论 典例7 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____. 题型模版 1.特征：结合角度、边长、渐近线、焦点三角形求离心率范围或定值 2.方法：核心结论： ①渐近线斜率， ②焦点三角形中，若为顶角， 补充结论： ③等轴双曲线，渐近线 ④焦点到渐近线距离为b，可快速构造直角三角形求e ⑤离心率范围：焦点在x轴 变式7-1（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于，两点．若，则双曲线的离心率为______． 变式7-2（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且 ，则的离心率___________． 题型八、双曲线的通径 典例8 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 题型模版 1.特征：过焦点垂直于实轴的弦 2.方法：核心结论：通径长 补充结论： ①通径是同支焦点弦里面最短的弦 ②通径端点坐标：焦点x轴 ③对比椭圆通径，表达式一致，但是取值约束不同 变式8-1（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 变式8-2（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 题型九、双曲线中的面积定值 典例9 （25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 题型模版 1.特征：过原点直线交双曲线于A,B，P在双曲线上，研究或者面积 2.方法：核心结论：若，直线AB过中心 补充结论： ①渐近线与双曲线无限靠近，渐近线上一点和双曲线两点构成面积常考定值 ②和双曲线相交， ③过原点两条渐近线，直线截两条渐近线线段，面积定值 变式9-1（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 变式9-2（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值． 题型十、与双曲线内切圆有关的结论 典例10 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：双曲线焦点三角形的内切圆 2.方法：核心结论：P在右支，内切圆与x轴切点为右顶点 P在左支，内切圆与x轴切点为左顶点 补充结论： ①内切圆圆心横坐标等于切点横坐标 ②内切圆半径，p为半周长 ③直角焦点三角形内切圆半径 变式10-1（2026·湖北荆门·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与 的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 变式10-2（24-25高三上·河南·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，经过点的直线与C的右支交于点G，H，若的内切圆半径为2，则的内切圆半径为__________. 题型十一、椭圆与双曲线共焦点结论 典例11 （2023·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______． 题型模版 1.特征：椭圆与双曲线共焦点，交于点P 2.方法：设椭圆：，双曲线： 核心结论： 补充结论： 记，则 变式11-1（25-26高二上·江西赣州·期末）（多选）如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则的最小值为2 C．若，则 D． 变式11-2（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（   ）    A．， B．若双曲线的方程是，则 C．若，则 D．的面积为 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2023·广西·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 3．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·全国·课前预习）已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为 C．的最小值为 D． 9．（24-25高二下·重庆北碚·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴交于点，交双曲线右支于点，且，下列选项正确的有（    ） A． B．双曲线渐近线的方程为 C． D．的内切圆半径是 10．（24-25高二下·辽宁朝阳·开学考试）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 11．（25-26高三上·山西大同·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 12．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点在的内切圆上 B． C． D．当时， 三、填空题 13．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 14．（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $