3.2双曲线解答题常见的八种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线解答题常见的八种题型 目　录 题型一　圆锥曲线的标准方程 题型二　动点轨迹方程 题型三　焦点三角形：面积与周长 题型四　中点弦与弦长 题型五　定点、定直线与定值 题型六　参数取值范围与求值 题型七　面积与最值 题型八　直线与双曲线的位置关系 题型一　圆锥曲线的标准方程 【解题技巧】设用待定系数法求方程，由判断焦点所在轴；与已知双曲线共渐近线时设乘参数 λ；与椭圆共焦点则 c 相同，先求 c 再设方程。 1．求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 2．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 3．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点. (1)写出直线的方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)求的面积. 4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； (2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 5．已知双曲线的两个焦点分别是，，点是双曲线左支上的一点，. (1)求双曲线的标准方程； (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程. 6．（1）椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，求椭圆的标准方程； （2）双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的标准方程. 7．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中. (1)若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程； (2)若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程. (3)在（2）的条件下，若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值. 题型二　动点轨迹方程 【解题技巧】设动点 P(x,y)，把几何条件（距离、斜率之积等）转化为坐标关系，化简得轨迹方程，注意去掉不满足条件的点；常用直接法与定义法。斜率之积条件形如＝常数。 1．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 2．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 3．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 题型三　焦点三角形：面积与周长 【解题技巧】由双曲线定义：，且；焦点三角形面积或，求周长用定义。 1．已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 2．已知双曲线C的方程为，其左､右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)P是双曲线C与圆的一个交点，求的面积. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 5．已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点 (1)求双曲线的标准方程； (2)过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长． 6．已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 7．双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2． (1)求双曲线的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积． 题型四　中点弦与弦长 【解题技巧】弦长（直线与曲线联立后用韦达定理）；中点弦用点差法求斜率。 1．经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 2．已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 3．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 4．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点. (1)求与椭圆有相同的焦点的等轴双曲线的标准方程. (2)求弦的长. 5．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为． (1)求C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求． 6．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 7．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 题型五　定点、定直线与定值 【解题技巧】设含参直线方程，与双曲线联立后用韦达定理，把目标量（斜率积、弦中垂线、对称点等）表为参数式子，化简消参即可证定点、定直线、定值。 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 2．椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 3．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 4．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 5．已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程. (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 6．已知双曲线的右焦点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 7．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． (1)求双曲线方程； (2)若点在双曲线上，求证：； (3)在（2）的条件下，求的面积． 8．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 9．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 10．已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， ①求的取值范围； ②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标. 题型六　参数取值范围与求值 【解题技巧】由离心率、渐近线、交点个数等条件列出关系，用判别式或几何限制确定参数取值范围或求出参数值。 1．已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 2．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 3．已知双曲线的离心率是，焦距是6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 4．设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形． (1)求双曲线C的离心率； (2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围． 5．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线：与双曲线的左支交于､两点，求的取值范围. 6．已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 7．已知双曲线的左，右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值. 8．已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 题型七　面积与最值 【解题技巧】先求曲线方程，联立直线求交点；面积用或底×高；最值问题用二次函数、判别式或均值不等式。 1．已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 2．已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点，若直线l与直线平行且与椭圆C相交于点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求三角形面积的最大值. 4．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 5．设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，点为椭圆上的一点，求的面积取最大值时的直线方程. 题型八　直线与双曲线的位置关系 【解题技巧】直线与双曲线只有一个公共点：直线与渐近线平行，或联立后（相切）；交点个数由判别式与渐近线斜率共同决定。 1．已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值． 参考答案 题型一　圆锥曲线的标准方程 1．(1) (2) 【详解】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 2．(1)； (2). 【详解】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 3．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意设双曲线方程为， 由题意可得， 所以，又直线斜率， ∴直线的方程为： （2）由（1）知， 所以， 故双曲线方程为：； （3）由题意联立， 消元整理得：， 由， 设，， ∴， . 4．(1) (2) 【详解】（1）已知双曲线C的焦点在y轴上， 所以可设C的标准方程为， 又C的渐近线方程为，所以，即， 由C的两顶点之间的距离为4，得，所以. 故双曲线C的标准方程为. （2）因为E与双曲线有共同的渐近线， 所以可设E为， 因为E过点，则，解得， 故双曲线E的标准方程为. 5．(1) (2)由（1）可知：该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为、渐近线方程为. 【详解】（1）由题意可得：，则， 且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. （2）略 6．（1）；（2）. 【详解】解：（1）由已知可得，则，又因为，则， 故所求椭圆的标准方程为； （2）设所求双曲线的标准方程为，焦距为，则， 因为，解得，因此，所求双曲线的标准方程为. 7．(1)； (2)或. 【详解】（1）依题意，设所求双曲线的标准方程为， 由离心率为2，得，则， 由焦点，得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设， 令，则，即，由，且共线， 得或，设点， 当时，，解得，则， 又点在双曲线上，则，解得； 当时，，解得，则， 于是，解得， 所以所求直线的方程为或.    8．(1) (2) (3)和 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为，， 所以，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为： ； （2）因为， 所以， 又因为，， 所以，则， 所以， 所以双曲线的标准方程为： ； （3）由，消去得， 当，即时，符合题意； 当，即时，， 解得，即， 综上：直线与双曲线只有一个公共点时，实数的值为：和. 题型二　动点轨迹方程 1．（1）；（2）. 【详解】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 2． 【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 3．(1) (2) 【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为， 可得，整理得， 即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，，可得，， 所以， 又由点到直线的距离， 所以的面积. 题型三　焦点三角形：面积与周长 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 2．(1) (2)1 【详解】（1）依题意，知，. 不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即， 则， ∴，∴ ∴双曲线的标准方程为. （2）在中，因为点P是双曲线与圆的交点， 所以为直角三角形且. ∵是双曲线C上一点， ∴ 平方，得， ∴ ∴ 3．(1)； (2). 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 4．(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    5．(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意知直线方程为， 联立，得， 解得或， 所以， ， 所以的周长为. 6．(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 7．(1) (2) 【详解】（1）由题意得，得， 因为点在双曲线上， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， （2）由（1）可得，所以， 不妨设点在双曲线的右支上，则， 因为，所以， 因为， 所以由余弦定理得， 因为， 所以， 所以的面积为 题型四　中点弦与弦长 1．(1) (2) 【详解】（1）设直线斜率为；直线与双曲线交点分别为. 所以，即=2，=8； 将两点代入双曲线方程得，两式相减得， 即，即， 所以，所以直线的方程为，即， 经验证符合题意，所以直线的方程为； （2）联立，消去得， 所以，， 所以. 即线段的长为. 2．(1) (2) 【详解】（1）由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； （2）如图所示：    法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 3．(1) (2)， 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则，∴， 解得， 双曲线方程; （2）把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 4．(1) (2) 【详解】（1）解：因为椭圆， 所以，， 所以， 又因为与椭圆有相同的焦点的等轴双曲线， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为2， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 所以，，或，，， 所以． 5．(1) (2) 【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意得， 所以，① 又双曲线的一条渐近线为， 所以，② 又，③ 联立上述式子解得，， 故所求方程为； （2）设，， 联立，整理得， 由， 所以，， 即 6．(1) (2) 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 7．(1)， (2) (3) 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 题型五　定点、定直线与定值 1．(1) (2) （i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）略 2．(1) (2) 证明：设点，则 因为点M在双曲线上，所以，代入上式得 故的乘积为定值1. 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标分别为 从而椭圆的焦距，得 又椭圆上一点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以椭圆的长轴，即 从而得 故椭圆的方程为： （2）略 3．(1) (2) 由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）略 4．(1) (2)证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）略 5．(1). (2)（i）证明：设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以，故的斜率为定值. （ii）. 【详解】（1）由题可得， 所以的方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）得的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 6．【小题1】； 【小题2】 由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，. 联立，消去得， 所以. ， 又， . 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）略 7．(1) (2)证明: 由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点， 则，． 方法一：，， 因为点在双曲线上， 所以，， 所以, 所以，所以． 方法二：因为， ， 所以． 因为点在双曲线上， 所以，即， 所以． (3)6 【详解】（1）因为， 所以可设双曲线方程为． 因为过点，所以，即． 所以双曲线方程为，即 （2）略； （3）的底边长， 的高， 所以． 8．(1) (2) 易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2）略 9．(1) (2)证明:设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则， ， 所以直线方程为， 令，则， 同理直线方程为， 令，则， 由，可得， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点. 【详解】（1）由题意知，解得，，， 双曲线的方程为. （2）  证明略，定点. 10．(1) (2)①； ②设， 令，则 ， 所以直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设直线， 联立消去整理可得， 则，又 ，， ①因直线与双曲线交于两支，所以且， 即； ②略 题型六　参数取值范围与求值 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）由已知，可得，解得； （2）由已知，可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 2．(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 3．(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. （2）如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 4．(1)2； (2)或 【详解】（1）由双曲线C：可得：右焦点， 将代入中，， 当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时， 即，整理得：， 因为，所以， 方程两边同除以得：，解得：或（舍去）， 所以双曲线的离心率为2； （2）因为，所以， 因为，解得，故， 所以双曲线的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 与双曲线联立得：， 设，则，， 则， 因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点， 所以，解得：， 直线，则，同理可求得：， 所以，， 因为为锐角，所以， 即，所以， 所以，即，解得或； 当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设， 此时直线，点P坐标为，同理可得：， 所以，， 因为为锐角，所以，解得或； 综上所述，t的取值范围或． （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（1）；（2）. 【详解】（1）设双曲线方程为(，).由已知得：，， 再由，∴，∴双曲线方程为. （2）设，，将代入， 得，由题意知解得. 所以当时，l与双曲线左支有两个交点. 6．(1) (2) 【详解】（1）因为，渐近线方程为， 所以，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）设点,，,，根据题意知， 由，得， 则， ，， 而； 由于， ； ，， ， 化简可得，解得，或， 当时，，不符合题意，舍去， 故 7．(1) (2) 【详解】（1）设，则， 又，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由已知直线的倾斜角不是直角，， 设，则的中点为， ， 由，可知，所以， 即， 因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为， 由消去y，得， 所以，， 所以，因为，所以，即. 8．(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 则，，可得， 由已知，将代入，可得， 由，即， 所以，故双曲线的方程为； （2）依题意，设，， 由可得， 所以解得，且 所以， 设，， 由得，同理， 所以， 所以，其中， 因为，故的取值范围是 题型七　面积与最值 1．(1)或 (2) 【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为, ①当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为,即 ②当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为或 （2）设P点的坐标为，则满足， . 则当时，有最小值为. 2．(1) (2)与 【详解】（1）因为双曲线，点在双曲线上，且其离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去,得， 则且，即且， 设，则， 又， 即，则， 整理得，即， 又，所以，解得， 所以直线的方程为与. 3．（1）；（2）2. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线由公共的焦点，且椭圆C过点， 可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）因为点，可得，可设直线l方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得， 设，可得 所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为2. 4．(1) (2)当时，最小值为，当时，最小值为； (3)证明：当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令， 联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）略 5．(1) (2)或. 【详解】（1）易知双曲线的离心率为， 所以在椭圆中，，得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）不妨设，， 联立方程组得， 由得， 由韦达定理知， 所以 ， 将代入椭圆方程得，，解得， 又到直线AB的距离为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的面积取最大值时的直线方程为或. 题型八　直线与双曲线的位置关系 1．(1)； (2)或. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 而在双曲线上，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并整理得， 当，即时，方程只有一个根， 此时直线与双曲线只有一个交点，因此，直线的方程为； 当时，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或.    2．(1) (2)， 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2， 设双曲线的标准方程为则， 由得， 双曲线的标准方程． （2）由得（※）， 当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意； 当时，由， 得，方程（※）有且只有一解，也合题意； 综上所述：实数的值为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $