专题15 双曲线中弦长与切线六种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题15 双曲线中弦长与切线六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中弦长问题 题型二、双曲线中点弦问题 题型三、双曲线相交弦 题型四、双曲线切点弦问题 题型五、双曲线的切线问题 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线中弦长与切线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线中弦长问题、双曲线中点弦问题、双曲线相交弦、双曲线切点弦问题、双曲线的切线问题、与其他章节融合六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键；二是直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中弦长问题 典例1已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 题型模版 1.特征：连接双曲线上两个点的线段称为双曲线的弦。 2.方法：求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 变式1-1过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1-2已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（  ） A． B．9 C． D．6 变式1-3已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两个不同的点，求； (3)已知点，且直线与只有一个公共点，求点的横坐标. 类型二、双曲线中点弦问题 典例2已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：相交弦中点（点差法） 直线与双曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2.方法：（1）解决双曲线中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. （2）“设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 变式2-1设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（     ） A． B． C． D． 变式2-2已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 变式2-3已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 题型三、双曲线相交弦问题 典例3 设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 题型模版 1.特征：两条直线分别得到两条弦长，且交于一点，涉及斜率、四边形面积等问题。 2.方法：分别联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、函数、不等式等知识破解问题。 变式3-1过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 变式3-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 变式3-3已知双曲线过点，且的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧． ①求四边形面积的取值范围； ②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型四、双曲线切点弦问题 典例4双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为. (1)求双曲线C的方程； (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； (3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值. 题型模版 1.特征：设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ， 切线方程：过切点 的切线方程为 。切点弦方程：切点弦 的方程为 。 2.方法：设，分别写出在这两点处的切线方程，再由同构方程的思想写出切点弦方程. 变式4-1（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（     ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 变式4-2已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 变式4-3已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点和点. (1)求实数的取值范围； (2)证明:； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值?若存在，求出的值及定值;若不存在，请说明理由. 题型五、双曲线的切线问题 典例5 已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 题型模版 1.特征：设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ， 切线方程：过切点 的切线方程为 。 2.方法：（1）直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）双曲线在(x0，y0)处的切线方程为； 变式5-1过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 变式5-2（多选）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（  ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 变式5-3已知双曲线，若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，则△PAB面积的最小值为_________________． 题型六、与其他章节融合 典例6已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：双曲线题目涉及与平面向量、三角恒等变换、不等式等章节融合； 2.方法：利用双曲线及平面向量、三角恒等变换、不等式等章节的知识解决问题融。 变式6-1已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 变式6-2已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 变式6-3已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C． D．3 3．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 4．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 6．（多选）双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述正确的是（  ） A．双曲线的离心率为3 B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 C．直线与双曲线有两个不同的交点 D．过点有两条直线与双曲线相切 7．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（  ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 8．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（  ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 9．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 10．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是____________ 11．已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 12．已知双曲线过点，. (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 13.已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 双曲线中弦长与切线六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中弦长问题 题型二、双曲线中点弦问题 题型三、双曲线相交弦 题型四、双曲线切点弦问题 题型五、双曲线的切线问题 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线中弦长与切线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线中弦长问题、双曲线中点弦问题、双曲线相交弦、双曲线切点弦问题、双曲线的切线问题、与其他章节融合六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键；二是直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中弦长问题 典例1已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解析】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 题型模版 1.特征：连接双曲线上两个点的线段称为双曲线的弦。 2.方法：求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 变式1-1过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】由题意得双曲线左焦点， 当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D 变式1-2已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（  ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【解析】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 变式1-3已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两个不同的点，求； (3)已知点，且直线与只有一个公共点，求点的横坐标. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据题意结合渐近线方程求，即可得双曲线方程； （2）联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解； （3）联立方程可得，分类讨论二次项系数是否为0，结合根的个数运算求解. 【解析】（1）依题意设的方程为， 则，解得， 所以的方程为. （2）联立方程，消去y得， 则， 设，可得， 所以. （3）由题意可知：直线的方程为，即， 代入的方程得，即. 当时，，方程有两个解，不符合题意. 当，即时，方程， 即，方程只有一个解，符合题意. 故点的横坐标为. 类型二、双曲线中点弦问题 典例2已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在定点，使得，此时 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【解析】（1）设， 则，作差可得，所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （2）假设存在定点，使得. 设，焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以， 代入上式可得， 整理可得，因为对于恒成立， 所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 题型模版 1.特征：相交弦中点（点差法） 直线与双曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2.方法：（1）解决双曲线中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. （2）“设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 变式2-1设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点，可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得，所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 变式2-2已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不能是线段 的中点 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【解析】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 变式2-3已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)1 【解析】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 题型三、双曲线相交弦问题 典例3 设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意得到，结合，求得的值即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则， 故的方程为． （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ，用替换，可得， 所以．令，所以， 则， 当，即时，等号成立，故四边形面积的最小值为．    题型模版 1.特征：两条直线分别得到两条弦长，且交于一点，涉及斜率、四边形面积等问题。 2.方法：分别联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、函数、不等式等知识破解问题。 变式3-1过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）设直线的斜率为，则直线：，，，不妨设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据对称性，可知点一定在轴上，设，又，由得到方程，求出，即可得证； （2）设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分，由面积推导出，即四边形为正方形，从而得到且斜率为，即可求出的方程，联立求出、坐标，从而得到、坐标，再计算周长即可. 【解析】（1）易知双曲线的右焦点， 由与的右支交与、两点，与的右支交、两点， 设直线的斜率为，则直线：， 由，得， 设，，不妨设， 则，解得或， 又与斜率相反，即与关于轴对称，又、相交于点， 则点与点对称，点与点对称，则与也关于轴对称， 根据对称性可知点一定在轴上，设，又， 所以，所以， 即，解得， 所以直线、相交于点. （2）依题意四边形为等腰梯形，为梯形的中位线， 设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分， 所以， 所以，则四边形为正方形， 所以且斜率为， 所以直线：，则，得，解得或， 则，， 所以，， 则，， 所以， ，， 所以四边形的周长为. 变式3-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且得，根据勾股定理即可求出，再由双曲线的定义即可求出，最后利用即可求出； （2）设过的直线为， 与双曲线方程联立根据韦达定理有，由弦长公式，最后由即可求出. 【解析】（1）因为且，所以焦点，即，， 所以， 根据双曲线的定义有，所以， 所以双曲线. （2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为， 由， 当时，有， 设，则由韦达定理有， 所以， 因为，所以，即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以. 变式3-3已知双曲线过点，且的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧． ①求四边形面积的取值范围； ②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求得，即可得解； （2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案； ②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论. 【解析】(1)由题意有，则， 将点代入双曲线方程得， 联立解得， 故的方程为； (2)①，易知直线，的斜率均存在且不为， 设， 的方程为，则的方程为， 联立，消整理得， 直线与双曲线交于两点， 故且，则， 则， 则， 联立，消整理得， 直线与双曲线交于两点， 故且，解得， 则， 则， 根据对称性可知四边形为菱形， 其面积 ， ，∴，∴， ∴， ； ②，假设满足题意的直线存在， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， ， 联立，整理得， 则且， 解得且， 由韦达定理有， 则 ， 不妨设为直线与渐近线的交点， 联立，解得， ， 同理可得点的坐标为， 则 ， 因为，为线段的三等分点，， 即， 整理得，① ，， 则，即， ， 整理得,② 联立①②得，无解， 故没有满足条件的直线． 题型四、双曲线切点弦问题 典例4双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为. (1)求双曲线C的方程； (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； (3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值. 【答案】(1)；(2)是，定值为2；(3)是，定值为2. 【分析】（1）由离心率为，可得，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长确定过的点，即可求解作答. （2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. （3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，依题意，，即有， 圆交x轴于点，则圆O在点A处的切线被双曲线截得的弦长为， 由双曲线的对称性知被截弦的端点在双曲线上， 因此，而，解得， 所以双曲线的方程为. （2）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 由（1）及已知，得，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为， 则有，即，由消去y得： ，显然， ，而， 则 ， 因此，在中，于点P，则， 综上得为定值2. （3）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 把代入椭圆方程，得，即，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为， 则有，即，由消去y得： ，显然， ，而， 则 ， 因此，在中，于点P，则， 综上得为定值2. 题型模版 1.特征：设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ，切点弦方程：切点弦 的方程为 。 2.方法：设，分别写出在这两点处的切线方程，再由同构方程的思想写出切点弦方程. 变式4-1（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（     ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】ABC 【解析】双曲线的，渐近线方程为、， 两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G 过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为 由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直. 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为 的角平分线，则圆心一定不在直线上. 选项B判断正确； 在中，，， 则由直角三角形的射影定理可知，即 则，故.选项C判断正确； 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则的取值范围为， 故 则 令，则在单调递减，在单调递增. ，，，值域为 故的值域为.选项D判断错误. 故选：ABC 变式4-2已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据斜率公式以及点斜式即可求解直线方程； （2）联立直线与曲线方程可得，根据判别式为0即可求解； （3）根据以及（2）中得QR的方程：，验证（2）的结论即可求解. 【解析】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 变式4-3已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点和点. (1)求实数的取值范围； (2)证明:； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值?若存在，求出的值及定值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）联立方程，利用判别式即可求解， （2）根据韦达定理和中点坐标公式得，进而联立直线方程可得坐标，即可得与的中点重合，即可求解， （3）根据相切可利用判别式为0得为方程的两个根，进而根据韦达定理化简，结合假设法即可求解. 【解析】（1）联立，得， 故，解得或， （2）设,则， 设的中点为，则，从而，即， 又双曲线的渐近线方程为，联立，可得， 所以，同理可得， 从而可得的中点为，故与的中点重合， 则，即    （3）设过且与双曲线相切的直线方程为，即， 联立可得， 由题意可知, 化简可得即， 由题意可知为方程的两个根， 则，， 故， 若为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在，使得为定值. 题型五、双曲线的切线问题 典例5 已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【解析】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则，消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 题型模版 1.特征：设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ，切点弦方程：切点弦 的方程为 。 2.方法：（1）直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）双曲线在(x0，y0)处的切线方程为； 变式5-1过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方程与双曲线的方程联立判断过点作双曲线的切线情况即可. 【解析】对于A：设过点切线为：代入化简整理有：，，因为渐近线为：，故A错误； 对于B:设斜率为，则过点的直线方程为,联立得， 则由 ， 所以过点有两条切线，故B正确； 对于C:因为双曲线得两条渐近线为：，又因为在直线上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D:因为在双曲线上，所以过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：B.    变式5-2（多选）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（  ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【分析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则，联立渐近线求得、，结合已知得，结合双曲线参数关系判断A、B；应用斜率的两点式判断C；设点P处的切线为并联立双曲线，由求得，即可求得，即可判断D. 【解析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD. 变式5-3已知双曲线，若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，则△PAB面积的最小值为_________________． 【答案】 【分析】设，由（1）可得到和，进而求得的方程，联立方程组，求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，求得，进而求得最小值. 【解析】设，由（1）可得，切线方程分别为和， 因为切线过点，可得，所以过点的方程为， 其中，其中，联立方程组，可得， 可得，且， 所以， 点到直线的距离为，所以 ，令，当，可得， 所以面积的最小值为. 故答案为： 题型六、与其他章节融合 典例6已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据条件即可得结果； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【解析】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，     因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，     令，解得，所以有    ①     又由离心率为2，得    ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知，     联立方程，得，化简整理，得，     所以，且，     所以，解得，   所以直线的方程是或．    （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解得：，         设，，则由韦达定理，得， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）．     因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分     经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立．     题型模版 1.特征：双曲线题目涉及与平面向量、三角恒等变换、不等式等章节融合； 2.方法：利用双曲线及平面向量、三角恒等变换、不等式等章节的知识解决问题融。 变式6-1已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出； （2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标； （3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，则， . （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上， 这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，， 设，其中，， 解得，即， 综上所述：. （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，，而直线与双曲线另外一个交点， 根据双曲线对称性知， 联立， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 则，， 则， 因为，在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到， 得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上知，， 所以． 变式6-2已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围. 【解析】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是.    变式6-3已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， （3）根据圆心到直线的距离可得，进而根据数量积运算可判断，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径. 【解析】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为 （2）当直线斜率不存在时，设, 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设, 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得.    （3）    设，， 由于为圆的切线，平分，且,所以, 设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时） ， ，将两根记为， ， 同理可得 故 ， 故存在这样的圆，半径为 当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知，可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 2．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 3．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值. 【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 4．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故选： 5．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率. 【解析】设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：，即， 所以，即， 所以， 故选：D. 6．（多选）双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述正确的是（  ） A．双曲线的离心率为3 B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 C．直线与双曲线有两个不同的交点 D．过点有两条直线与双曲线相切 【答案】BC 【解析】由题易得，所以错误； 顶点到渐近线的距离为与焦点到渐近线的距离，距离之比为，B正确； 因为直线与渐近线平行，所以直线与双曲线的左支仅有1个交点， 与右支没有交点.又直线与直线都过点， 且直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 直线与双曲线有两个不同的交点，正确； 因为，所以点位于双曲线右支的右侧位置， 显然过点的直线不可能与双曲线相切，D错误. 故选:BC 7．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（  ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 【答案】ACD 【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D. 【解析】对于A，由双曲线可知，右顶点， 其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2， 不妨取渐近线，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于， 故双曲线的离心率为，B错误； 对于C，，当轴时，将代入中， 得，即得， 由于P在双曲线右支上，故，C正确； 对于D，连接并延长交的延长线于E， 由题意知，为的角平分线，结合， 可知，K为的中点，而O为的中点， 故，D正确， 故选：ACD 8．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（  ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 【答案】ACD 【分析】由题知，，进而可求得双曲线的方程判断A；设直线，由已知可知，联立直线与双曲线方程结合可判断B；利用两点之间的距离公式化简计算可判断C；利用面积公式及弦长公式可求得面积，再利用函数思想求得最值可判断D. 【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，， 直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而， 联立，得，则，，， 若，则，即，解得，不满足，故B错误； 对于C，由，则，， 所以 因为，所以，故C正确； 对于D，， 设，则，，令，函数在上单调递减，因此， 故D正确， 故选：ACD． 9．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【解析】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 10．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】记，若直线与轴重合，此时，； 若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时， 当时，则，此时，；当，可得，则， 所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为； 当直线与轴不重合时，记，则点， 设直线的方程为，其中，设点、， 联立可得， 由题意可得，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，， 即， 所以，关于的方程由四个不等的实数解. 当时，即当时，可得， 可得，整理可得，因为，解得； 当时，即当，可得， 可得，整理可得，可得. 综上所述， 故答案为： 11．已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【解析】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 12．已知双曲线过点，. (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可； （2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程； （3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解. 【解析】（1）因为双曲线过点，，所以， 解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为. （2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上， 所以，联立， 消去y并整理得， 此时，即， 所以，又，所以， 解得， 所以切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足； 综上，直线l的方程为. （3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为， 即，设，由（2）可知切线方程为， 联立，解得，即， 此时，同理可得， 所以的面积 .    13.已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【解析】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 14．已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 【答案】(1)；(2)①存在，；②证明见解析 【分析】（1）由点差法可得，结合及，可求得结果. （2）①又直线与双曲线相交可求得，再设，联立结合韦达定理可求得的坐标，进而得，代入可求解. ②由①知,由对称性知过的定点在轴上，计算可得解. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为，设， 由题意，两式相减得：， 整理得：，即， 又，所以，即双曲线， 经检验满足题意. （2）①因为的斜率存在且，设，， 联立，消去整理得：， 由题意得，解得 又，设直线， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，， 于是， 故，同理可得， ，， 为定值，所以的值 ②由①知（*）， 由对称性知过的定点在轴上，在（*） 令，得， 解得 直线恒过定点 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $