3.2.1双曲线及其标准方程（二）　第2课时　 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦双曲线及其标准方程，围绕轨迹问题、最值问题、实际应用三大题型展开，通过典型例题（如三角形轨迹、动圆外切）导入，衔接双曲线定义与标准方程，搭建从定义到应用的学习支架。 其亮点在于以通性通法总结（如轨迹问题四步法）引导数学思维，结合护航、运土等实际情境培养数学眼光，通过方程推导与轨迹表达强化数学语言。学生能提升问题转化能力，教师可借助系统题型与方法高效教学。

第2课时　 双曲线及其标准方程（二） 目录 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 与双曲线有关的轨迹问题 【例1】　如图，在△ ABC 中，已知｜ AB ｜＝4 ， O 为线段 AB 的 中点，且三内角 A ， B ， C 满足2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，试求顶点 C 的轨迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：由题意得 A （－2 ，0）， B （2 ，0）.由正弦定理，得 sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ （ R 为△ ABC 的外接圆半 径）. ∵2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，∴2｜ BC ｜＋｜ AB ｜＝2｜ AC ｜，即｜ AC ｜－｜ BC ｜＝ ＝2 ＜｜ AB ｜. 由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支（除去与 x 轴的交 点）. 目录 数学·选择性必修第一册 由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ a ）， ∵ a ＝ ， c ＝2 ，∴ b2＝ c2－ a2＝6. 即所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ ）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 与曲线有关的轨迹问题的求解步骤 第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用 条件确定动点满足的等量关系式； 第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定 义确定轨迹的形状； 第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程； 第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图所示，已知定圆 F1：（ x ＋5）2＋ y2＝1，定圆 F2：（ x －5）2 ＋ y2＝16，动圆 M 与定圆 F1， F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：圆 F1：（ x ＋5）2＋ y2＝1， 圆心 F1（－5，0），半径 r1＝1； 圆 F2：（ x －5）2＋ y2＝16，圆心 F2（5，0），半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R ，则有｜ MF1｜＝ R ＋1，｜ MF2｜＝ R ＋4， ∴｜ MF2｜－｜ MF1｜＝3＜10＝｜ F1 F2｜. ∴点 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点的双曲线的左支，且 a ＝ ， c ＝5， 于是 b2＝ c2－ a2＝ . ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 － ＝1（ x ≤－ ）. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 与双曲线定义有关的最值问题 【例2】　（2025秋·广东月考）记双曲线的右焦点为，，为上一点，则的最小值为  　　. 目录 数学·选择性必修第一册 解析：记的左焦点为，显然， 将代入双曲线方程，可得，即， 由，可得点在右支的右侧，如图： 由双曲线定义，可得， 则 ， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， F1， F2分别为双 曲线的左、右焦点， Q （ x0， y0）为平面上一定点， M 为双曲线右支 上任意一点. （1）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的同 侧，则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF1｜－2 a ，最大 值不存在； （2）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的异侧， 则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF2｜，最大值不存在. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·商丘月考） P 为双曲线 x2－ ＝1右支上一点， M ， N 分别 是圆（ x ＋4）2＋ y2＝4和（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜－｜ PN ｜的最大值为 ⁠. 解析：双曲线的两个焦点 F1（－4，0）， F2（4，0）分别为两圆的圆 心，且两圆的半径分别为 r1＝2， r2＝1，易知｜ PM ｜max＝｜ PF1｜＋ 2，｜ PN ｜min＝｜ PF2｜－1，故｜ PM ｜－｜ PN ｜的最大值为｜ PF1｜＋2－（｜ PF2｜－1）＝｜ PF1｜－｜ PF2｜＋3＝2＋3＝5. 5　 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 双曲线的实际应用 【例3】　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护 航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰 正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻 甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若 甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 目录 数学·选择性必修第一册 解：设 A ， B ， C ， P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商 船.如图所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0）， B （－3， 0）， C （－5，2 ）. ∵｜ PB ｜＝｜ PC ｜， ∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上， 又易知 kBC ＝－ ，线段 BC 的中点 D （－4， ）， 目录 数学·选择性必修第一册 ∴直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）， ① 又｜ PB ｜－｜ PA ｜＝4＜6＝｜ AB ｜， ∴点 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支上，且 a ＝2， c ＝3，∴ b2＝ c2－ a2＝5， ∴商船的轨迹方程为 － ＝1（ x ≥2）， ② 联立①②，得点 P 坐标为（8，5 ）， ∴ kPA ＝ ＝ ，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用双曲线解决实际问题的步骤 （1）建立适当的坐标系； （2）求出双曲线的标准方程； （3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP ， BP 运到 P 处（如图），｜AP ｜＝100 m，｜ BP ｜＝150 m，∠ APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 目录 数学·选择性必修第一册 解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分 线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 M 是分界线上的点， 则｜ MA ｜＋｜ AP ｜＝｜ MB ｜＋｜ BP ｜，即｜ MA ｜ －｜ MB ｜＝｜ BP ｜－｜ AP ｜＝150－100＝50，在 △ APB 中，｜ AB ｜2＝｜ AP ｜2＋｜ BP ｜2－2｜ AP ｜·｜ BP ｜· cos 60°＝17 500，故｜ MA ｜－｜ MB ｜＜｜ AB ｜.这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右支，且 a ＝25. 而 c2＝ ＝4 375， b2＝3 750， 目录 数学·选择性必修第一册 故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P 处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知点 F1（0，－13）， F2（0，13），动点 P 到 F1与 F2的距离之差 的绝对值为26，则动点 P 的轨迹方程为（　　） A. y ＝0 B. y ＝0（｜ x ｜≥13） C. x ＝0（｜ y ｜≥13） D. 以上都不对 解析： 　∵｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝｜ F1 F2｜，∴点 P 的轨迹是 分别以 F1， F2为端点的两条射线，∴点 P 的轨迹方程为 x ＝0（｜ y ｜≥13）. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·淮安月考）相距4 k m的 A ， B 两地，听到炮弹爆炸的时间相 差2 s，若声速为每秒 k m，则炮弹爆炸点 P 的轨迹可能是（　　） A. 圆 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 解析： 　由已知条件可得｜｜ PA ｜－｜ PB ｜｜＝2 k ＜4 k ＝｜ AB ｜，根据双曲线的定义可知，点 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线上. 故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知点 A （0，2）， B （0，－2）， C （3，2），若动点 M （ x ， y ）满足｜ MA ｜＋｜ AC ｜＝｜ MB ｜＋｜ BC ｜，求点 M 的轨迹方程. 解：设 M （ x ， y ），因为｜ MA ｜＋｜ AC ｜＝｜ MB ｜＋｜ BC ｜，故｜ MA ｜＋3＝｜ MB ｜＋ ，即｜ MA ｜－｜ MB ｜＝2＜4.故点 M （ x ， y ）的轨迹是以 A （0，2）， B （0，－2）为焦点的双曲线的下支，且 a ＝1， c ＝2.故 b2＝ c2－ a2 ＝3.故方程为 y2－ ＝1（ y ≤－1）. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 设定点 F1（0，－3）， F2（0，3），动点 P （ x ， y ）满足条件｜ PF1｜－｜ PF2｜＝4，则动点 P 的轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 不存在 D. 双曲线或线段或不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为定点 F1（0，－3）， F2（0，3），动点 P （ x ， y ） 满足条件｜ PF1｜－｜ PF2｜＝4＜｜ F1 F2｜，所以根据双曲线的定 义及｜ PF1｜＝4＋｜ PF2｜＞｜ PF2｜，可知动点 P 的轨迹是双曲 线的一支，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 设动点 P 到 A （－5，0）的距离与它到 B （5，0）距离的差等于6， 则 P 点的轨迹方程是（　　） 解析： 　由题意知， P 点的轨迹应为以 A （－5，0）， B （5， 0）为焦点的双曲线的右支.由 c ＝5， a ＝3，知 b2＝16，∴ P 点的轨 迹方程为 － ＝1（ x ≥3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反 射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知 双曲线 C ： － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，从 F2发出的光 线射向 C 上的点 P （8， y0）后，被 C 反射出去，则入射光线与反射 光线夹角的余弦值是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 P （8， y0）在第一象限， － ＝1⇒ y0＝3 ，｜ PF2｜＝ ＝6，｜ PF1｜＝6＋8＝14，｜ F1 F2｜＝10， cos ∠ F1 PF2＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知点 M （－3，0）， N （3，0）， B （1，0），动圆 C 与直线 MN 相切于点 B ，过 M ， N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P ，则 P 点 的轨迹方程为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　｜ PM ｜－｜ PN ｜＝｜ BM ｜－｜ BN ｜＝2＜6＝｜ MN ｜，所以 P 点的轨迹是以 M ， N 为焦点的双曲线的右支（除去 点（1，0））.又2 a ＝2， a ＝1，2 c ＝6， c ＝3， b2＝ c2－ a2＝9－1 ＝8，所以 P 点的轨迹方程是 x2－ ＝1（ x ＞1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5.  (2025高二上·武强期中) 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意，可得， 解得. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事 实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 A （ x ， y ）与点 B （ a ， b ）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方 程｜ － ｜＝2的解为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由｜ － ｜＝2得｜ － ｜＝2.其几 何意义为平面内一点（ x ，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离 之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差 的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为 － ＝1 （ a ＞0， b ＞0），则所以该双曲线 的方程是 x2－ ＝1.由解得 x ＝± .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边，且 a ＝10， c － b ＝6，若以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的中点为原点建立平面直角 坐标系，则顶点 A 运动的轨迹方程是 ⁠. 解析：由题意得， B （－5，0）， C （5，0）.因为｜ AB ｜－｜ AC ｜＝ c － b ＝6＜10，所以点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的双曲线 的右支，其轨迹方程为 － ＝1（ x ＞3）. － ＝1（ x ＞3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设点 M 的坐标为（ x ， y ），当 x ＝－1时，直线 MA 的斜率 不存在；当 x ＝1时，直线 MB 的斜率不存在.于是 x ≠1且 x ≠－1.此 时，直线 MA 的斜率为 ，直线 MB 的斜率为 .由题意有 · ＝4，化简得 x2－ ＝1，因为 x ≠1且 x ≠－1，即 y ≠0，所 以轨迹 C 的方程为 x2－ ＝1（ y ≠0）. 8. 已知动点 M 与两定点 A （－1，0）， B （1，0）构成△ MAB ，且直 线 MA ， MB 的斜率之积为4.设动点 M 的轨迹为 C ，则轨迹 C 的方程 为 ⁠. x2－ ＝1（ y ≠0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·揭阳月考）已知双曲线 － ＝1的右焦点为 F ， P 为双曲 线左支上一点，点 A （0， ），则△ APF 周长的最小值为 ⁠ ⁠. 解析：设双曲线的左焦点为F'，则｜ PF ｜－｜PF'｜＝2 a ＝4，所 以｜ PF ｜＝4＋｜PF'｜，所以△ APF 的周长为｜ PF ｜＋｜ PA ｜ ＋｜ AF ｜＝4＋｜PF'｜＋｜ PA ｜＋2 ≥4＋2 ＋｜AF'｜＝4＋ 4 ，当且仅当 P 在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以 △ APF 周长的最小值为4＋4 . 4＋4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 设动圆 M 的半径为 r ，分别求满足下列条件的圆心 M 的轨迹方程： （1）与圆 C ：（ x ＋2）2＋ y2＝2内切，且过点 A （2，0）； 解： 连接 MC ， MA （图略），∵圆 C 与圆 M 内切，点 A 在圆 C 外，∴｜ MC ｜＝ r － ，｜ MA ｜＝ r ，∴｜ MA ｜－｜ MC ｜＝ ，即动点 M 到两定点 A （2，0）， C （－2，0）的距离之差为常数 ＜｜ AC ｜＝4， ∴点 M 的轨迹是以 C ， A 为焦点的双曲线的左支，∴点 M 的 轨迹方程是2 x2－ ＝1（ x ≤－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）与圆 C1：（ x ＋3）2＋ y2＝9外切，且与圆 C2：（ x －3）2＋ y2＝1内切. 解： 连接 MC1， MC2（图略），∵圆 M 与圆 C1外切， 且圆 M 与圆 C2内切，∴｜ MC1｜＝ r ＋3，｜ MC2｜＝ r － 1，∴｜ MC1｜－｜ MC2｜＝4＜｜ C1 C2｜＝6，∴点 M 的轨 迹是以 C1（－3，0）， C2（3，0）为焦点的双曲线的右支， ∴点 M 的轨迹方程是 － ＝1（ x ≥2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 半径不等的两定圆 O1， O2无公共点（ O1， O2是两个不同的点）， 动圆 O 与圆 O1， O2都内切，则圆心 O 的轨迹是（　　） A. 双曲线的一支 B. 椭圆或圆 C. 双曲线的一支或椭圆或圆 D. 双曲线的一支或椭圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　两定圆 O1， O2无公共点，则它们的位置关系是外离 或内含.设两定圆 O1， O2的半径分别为 r1， r2（ r1＞ r2），圆 O 的半径为 R . 又圆 O 与圆 O1， O2都内切，则当两圆 O1， O2外 离时，｜ OO1｜＝ R － r1，｜ OO2｜＝ R － r2，∴｜ OO2｜ －｜ OO1｜＝ r1－ r2＜｜ O1 O2｜，此时圆心 O 的轨迹是双曲线 的一支；当两圆 O1， O2内含时，｜ OO1｜＝ r1－ R ，｜ OO2｜ ＝ R － r2，∴｜ OO2｜＋｜ OO1｜＝ r1－ r2＞｜ O1 O2｜，此时 圆心 O 的轨迹是椭圆.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）在平面直角坐标系中，已知圆 C1：（ x ＋2）2＋ y2＝ 和 圆 C2：（ x －2）2＋ y2＝ ，其中 r1， r2为正常数，且满足 r1＋ r2 ＜4或｜ r1－ r2｜＞4，一个动圆 P 与两圆都相切，则动圆圆心 P 的 轨迹可以是（　　） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条直线 D. 圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　连接 PC1， PC2（图略），设动圆 P 的半径为 r ，当｜ r1－ r2｜＞4时，不妨设 r1－ r2＞4，此时圆 C1与 C2内含.若动圆 P 与圆 C1内切且与圆 C2外切，则｜ PC1｜＝ r1－ r ，｜ PC2｜＝ r ＋ r2，即｜ PC1｜＋｜ PC2｜＝ r1＋ r2；若动圆 P 与两圆都内切，同理可得｜ PC1｜＋｜ PC2｜＝ r1－ r2.因此当｜ r1－ r2｜＞4时，动点 P 的轨迹是椭圆.当 r1＋ r2＜4时，两圆外离.若动圆 P 与两圆都外切或内切，则｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜＝｜ r1－ r2｜，所以动点 P 的轨迹是双曲线或一条直线；若动圆 P 与两圆一外切一内切，则｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜＝｜ r1＋ r2｜，所以动点 P 的轨迹是双曲线.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   －2　 解析： P 是双曲线 x2－ y2＝1上的动点， Q 是圆（ x －4）2＋ y2＝4 上的动点，设圆（ x －4）2＋ y2＝4的圆心为 M （4，0），半径为 2， P ， Q 两点间的最短距离就是 P 到圆的圆心的距离的最小值减 去半径.设 P （ x0， y0），可知 － ＝1，即 ＝ －1，可 得｜ PM ｜＝ ＝ ≥ ，当 且仅当 x0＝2时取等号，所以 P ， Q 两点间的最短距离为 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知双曲线的方程为 x2－ ＝1，如图所示，点 A 的坐标为（－ ，0）， B 是圆 x2＋（ y － ）2＝1上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求｜ MA ｜＋｜ MB ｜的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：设点 D 的坐标为（ ，0），则点 A ， D 是双曲线的焦点，如图所示，连接 MD ， BD . 由双曲线的定义，得｜ MA ｜－｜ MD ｜＝2 a ＝2.∴｜ MA ｜＋｜ MB ｜＝｜ MA ｜－｜ MD ｜ ＋｜ MB ｜＋｜ MD ｜＝2＋｜ MB ｜＋｜ MD ｜ ≥2＋｜ BD ｜.又点 B 是圆 x2＋（ y － ）2＝1上 的点，圆的圆心为 C （0， ），半径长为1，故｜ BD ｜≥｜CD ｜－1＝ －1，从而｜ MA ｜＋｜ MB ｜≥2＋｜ BD ｜≥ ＋1， 当且仅当点 M ， B 在线段 CD 上时取等号. 故｜ MA ｜＋｜ MB ｜的最小值为 ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的 切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被 椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双 曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线 等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0） 与双曲线C'： － ＝1（ m ＞0， n ＞0）有公共焦点，现一光线 从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2 k （ k ∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为 ⁠ ⁠. 2 k （ a － m ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到 另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双 曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个 焦点，如图，｜ BF2｜＝2 m ＋｜ BF1｜，｜BF1｜＋｜ BA ｜＋｜ AF1｜＝｜ BF2｜－2 m ＋｜ BA ｜＋｜ AF1｜＝｜ AF2｜＋｜ AF1｜－2 m ＝2 a －2 m ，所以光线经过2 k （ k ∈N*）次反射后回 到左焦点所经过的路径长为2 k （ a － m ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三 艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止 的点），如图中的点 A ， B ， C ，且 OA ＝ OB ＝ OC ＝3，假设敌舰艇在某处发出信号， A 点接收到 信号的时间比 B 点接收到信号的时间早 秒（注： v0为信号传播速 度）， C 处舰艇保持静默. （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹 方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 如图，以 O 为原点， OB 所在直 线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系.设敌舰艇的位置为 P （ x ， y ），由题意可知｜ PB ｜－｜ PA ｜＝ v0· ＝4＜｜ AB ｜＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以 A ， B 为焦点的双曲线的左支，且2 a ＝4， c ＝3，所以 b ＝ . 所以敌舰艇的轨迹方程为 － ＝1（ x ≤－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）在 A ， B 两处的舰艇对敌舰艇攻击后， C 处舰艇派出无 人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离 是多少？ 解： 设方程 － ＝1（ x ≤－2）上一 点 M （ x0， y0）， 由题意知 － ＝1（ x0≤－2），即 ＝4＋ ，又 C （0，3），所以｜ MC ｜＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ＝ ＝ （ y0∈R）， 所以当 y0＝ 时，｜ MC ｜min＝2 ， 即无人机飞行的最小距离是2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $