精品解析：北京市丰台区2026-2027学年第一学期期中练习高一数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合.   2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，指数函数是上的减函数，所以在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，，根据二次函数的图象可知在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于C，幂函数在区间上单调递增，符合题意； 对于D，对勾函数在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意. 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由命题的否定规则可得命题的否定为，故D正确. 4. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以且. 又因为，即集合中的两个元素相差. 已知集合，其中相差为的两个元素有： 和，此时； 和，此时. 所以的可能取值为或. 故实数的取值集合为. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，令，，则，，，但，故选项A是假命题； 对于B，若，令，则，故选项B是假命题； 对于C，因为，故当时，， 当时，， 所以恒成立，故选项C是真命题； 对于D，令，，则，但，故选项D是假命题. 6. 已知集合或，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性验证: 若或，取，则不成立，故充分性不成立， 必要性验证: 若，则一定有，即满足或，故必要性成立， 故是的必要不充分条件. 7. 对于任意，都有，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解. 【详解】因为，对于任意，都有，故分两种情况讨论： 当时，，不等式恒成立，满足条件； 当时，该式为二次不等式，要使得在上恒成立，需满足，即，解得， 综上，，即实数的取值范围是. 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，解得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称； ，即函数为偶函数，函数图象关于轴对称. ； 当时，；当时，，，，得； 当时，，，，得； 当时，，，得. 对于A，函数图象关于轴对称，时，；时，；时，；故A正确； 对于B，函数图象关于轴对称，时，；时，；时，，不符合，，故B错误； 对于C，函数图象关于原点对称，不符合图象关于轴对称，故C错误； 对于D，函数图象关于原点对称，不符合图象关于轴对称，故D错误. 9. 已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为.若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意对变量范围合理讨论，进而得到，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】由题意得，且恒成立， 即或至少有一个成立， 不妨令，则，解得， 此时无需对做限制即可满足题意， 当时，令，则，化简得， 可得或，令，， 当时，，由一次函数性质得在上单调递增， 得到，即， 当时，由一次函数性质得在上单调递增，无最大值，与题意不符， 综上可得，的取值范围是，故B正确. 10. 已知命题关于的不等式的解集为，其中，命题.若命题和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次不等式解集的特征，利用韦达定理确定命题中参数的取值范围；将命题转化为存在性问题，通过函数单调性求出命题为真时的范围；结合命题有且只有一个为真的条件，分两种情形分别取交集再求并集即可. 【详解】先看命题为真时的情形：因为不等式的解集为， 这说明且是对应方程的两个根. 由韦达定理知，得. 又，由于且解集是区间，则两根不能相等， 故，即，解得. 再看命题为真时的情形：，有解，即大于函数在该区间上的最小值. 注意到在上单调递增，且，所以只需. 因此命题为真时. 由于和有且只有一个为真： 若真假，则且，解得； 若假真，则且，解得. 综上，实数的取值范围是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域满足，解得， 故的定义域为． 12. 计算：________. 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为. 14. 已知函数，则________；若在区间上的值域恰为，则实数的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入函数解析式可求，先按和分段去掉绝对值，得到分段函数的表达式，分析分段函数的单调性，求出和对应的的取值，再结合单调性确定区间的可能范围，进而推导的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，， 函数在上单调递减， 令可得，令可得， 当时，， 函数在上单调递增， 令可得，当且时，， 因为在区间上的值域恰为， 所以当，时，取最小值，最小值为， 当，时，取最大值，最大值为， 实数的取值范围为. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②若存在最小值，则实数的取值范围为； ③若的图象与轴恰有2个交点，则实数的取值范围为； ④对于任意实数，都存在，使得点在的图象上. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，将代入解析式，分段求得最小值即可求出的最小值；对于②，对分类讨论，列不等式求解；对于③，根据的左段及右段与轴的交点情况，分段讨论；对于④，原问题可转化为方程有解问题求解，分段讨论即可. 【详解】对于①，当时，，在左段上，，最小值为1； 在右段上，，根据二次函数的图象与性质可知. 综上，.①正确. 对于②，若，则左段在上单调递增，且时，，所以不存在最小值； 若，由①可知存在最小值； 若，则左段在上单调递减，所以， 当时，右段，若存在最小值，则必须，解得； 当时，右段，若存在最小值，则必须，该不等式无解. 综上，若存在最小值，则实数的取值范围为，②正确. 对于③，因为直线与轴有一个交点，抛物线与轴有两个交点，下面分段讨论与轴的交点情况： 令，若，则无解；若，解得，只有时，左段才与轴有交点. （i）的左段与轴有0个交点，右段与轴有2个交点，因为右段与轴有2个交点，所以，因为左段与轴有0个交点，则或，解得.综上，； （ii）的左段与轴有1个交点，右段与轴有1个交点，因为右段与轴有1个交点，所以，因为左段与轴有1个交点，所以，结合解得. 综上，，③错误. 对于④，点在的图象上，即的图象与直线有交点，亦即方程有解. 情况1：在左段上，方程，即. （i）当时，方程无解；（ii）当时，解方程得，若左段的图象与直线有交点，则，即，解分式不等式得或. 情况2：在右段上，方程，即，解得，若右段的图象与直线有交点，则. 因为，，三部分覆盖了整个数轴，即对于任意实数，方程有解，亦即都存在，使得点在的图象上，④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）若，求：①；②； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；②或. （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，再利用交集、并集、补集的定义求解. （2）由给定交集的结果，按集合是否为分类列式求解. 【小问1详解】 当时，， 而， 因此①； ②，或.   【小问2详解】 因为， 所以，当时，，解得； 当时，或，解得， 综上，实数的取值范围是. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求不等式的解集； （2）当且时，求不等式的解集. 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （2）当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入原不等式，随后针对参数大于、小于、等于零的三种情况进行分类讨论求解. （2）代入构造出开口向上的一元二次不等式，求出两根后再根据参数的正负来比较两根大小从而确定解集. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，不等式恒成立； 当时，； 当时，. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问2详解】 当时，不等式化为， 因为，所以， 令，解得：或， 当即时，解得：； 当即时，解得：. 综上，当时，解集为；当时，解集为. 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由（1）知，，所以在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数在0处有定义则求出a，再回代验证满足奇函数定义； （2）设，作差比较的符号，依据单调性定义证明递增； （3）借助奇函数性质变形不等式，再利用单调性转化为在区间上恒成立，求右侧最值得到m范围． 【小问1详解】 因为为奇函数，且定义域为， 所以，解得， 此时，， 则，即， 所以是奇函数，满足题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 又为奇函数，所以， 由（2）知，在上单调递增， 所以， 即，恒成立， 因为时，， 所以实数的取值范围为． 19. 已知函数. （1）若，都有，求的值； （2）若在区间上的最小值为，求的值； （3）若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由对任意恒成立，可知的图象关于直线对称，再结合二次函数的对称性求解即可； （2）分析可知的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，分、两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求出实数的值； （3）的单调性由的单调性与符号共同决定，按对称轴与区间的位置关系分三类讨论，逐类判断在上是否单调递减. 【小问1详解】 由对任意成立，所以函数的图象关于直线对称， 而二次函数图象的对称轴为直线，故. 【小问2详解】 因为， 所以的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线. 当时，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 整理可得，解得或（舍去），所以. 所以的值为或. 【小问3详解】 因为，所以的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线. 当时，在上单调递增，且， 所以当时. 此时在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，要使在上单调递减，需在上恒成立. 由得，结合得. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，此时在上单调递增，不符合题意. 所以的取值范围是. 20. 近年来，“博物馆热”持续升温，逛馆打卡、把“文创”带回家成为年轻人的新风尚.某博物馆的文创团队推出一款以馆藏明代凤冠为原型的金属冰箱贴，上市后迅速成为爆款，一度“一贴难求”.已知生产该产品的年固定成本（含设计打样、模具开发与宣传推广等）为万元，生产万件产品的可变成本（含原料采购、生产制作与包装等）为万元.受产能限制，该产品的年产量不超过万件，年销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万件）满足关系式：. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）当年产量为多少万件时，该产品获得的年利润最大？并求出年利润的最大值. 【答案】（1） （2）当年产量为万件时，该产品获得的年利润最大，年利润的最大值为万元 【解析】 【小问1详解】 由题意得，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为的对称轴为，图象开口向下，在区间上单调递增， 所以万元； 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以万元， 又，所以当年产量为万件时，该产品获得的年利润最大，年利润的最大值为万元. 21. 已知集合由个不同的非零实数组成.由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为.若对于任意的，总有，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质，并写出相应的集合和； （2）若具有性质的集合满足，且，证明：； （3）证明：. 【答案】（1）集合具有性质，集合，集合. （2）证明：对于，当时，，所以. 当时，有，所以，进而. 因为，所以可能属于A， 其中满足的有，共10个， 又因为， 所以，对于任意，都有， 考虑作分子，分母分别为，有：，这个商均属于且都大于， 因为集合中大于的元素只有这个，且显然小于（否则，与矛盾）， 所以这个商只能对应，即 所以，； 同理，考虑作分子，分母分别为，有：， 这个商均属于且大于，并且都小于（因为）， 因此它们只能是，即 所以，，， 将代入中得，化简得：（因为）， 所以，，，，， 所以，，，，， 所以，，证毕. （3）证明：一方面，设，则， 由可得，即对，总有. 如果是中的两个不同元素，则中至少有一个不成立， 所以与中至少有一个不成立，所以是中元素，所以中的元素个数. 另一方面，设，则由可得，即对，总有. 如果是中的两个不同元素，则中至少有一个不成立， 所以与中至少有一个不成立， 所以是中元素，所以中的元素个数. 综上，. 【解析】 【分析】（1）利用“具有性质的集合”的定义，验证计算作答，直接写出集合和. （2）根据题意，对于任意，都有，再固定分子，利用商的单调性，把各个商和集合里的元素按大小一一对应，列出等式；联立方程消元，把都用表示，最后计算相邻之比即可证明； （3）分和讨论，结合新定义求解判断. 【小问1详解】 解：先验证集合是否具有性质： 因为 因此集合具有性质. 由集合和定义：其中，枚举全部有序对并检验： ，，， ，， ， . ，，，，， ， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知集合或，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 对于任意，都有，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为.若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知命题关于的不等式的解集为，其中，命题.若命题和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 12. 计算：________. 13. 已知，，，则的最小值为________. 14. 已知函数，则________；若在区间上的值域恰为，则实数的取值范围为________. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②若存在最小值，则实数的取值范围为； ③若的图象与轴恰有2个交点，则实数的取值范围为； ④对于任意实数，都存在，使得点在的图象上. 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）若，求：①；②； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求不等式的解集； （2）当且时，求不等式的解集. 18. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，都有，求的值； （2）若在区间上的最小值为，求的值； （3）若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 20. 近年来，“博物馆热”持续升温，逛馆打卡、把“文创”带回家成为年轻人的新风尚.某博物馆的文创团队推出一款以馆藏明代凤冠为原型的金属冰箱贴，上市后迅速成为爆款，一度“一贴难求”.已知生产该产品的年固定成本（含设计打样、模具开发与宣传推广等）为万元，生产万件产品的可变成本（含原料采购、生产制作与包装等）为万元.受产能限制，该产品的年产量不超过万件，年销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万件）满足关系式：. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）当年产量为多少万件时，该产品获得的年利润最大？并求出年利润的最大值. 21. 已知集合由个不同的非零实数组成.由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为.若对于任意的，总有，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质，并写出相应的集合和； （2）若具有性质的集合满足，且，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $