精品解析：北京市丰台区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题

丰台区2025-2026学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 集合用列举法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集为，则对于函数有（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是________. 12. 设 ，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______． 13. _______． 14. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）求，； （2）求，. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象； （3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立. 18. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 19. 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 21. 设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. （1）判断集合是否为好集合； （2）若，S不是好集合，证明：； （3）若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2025-2026学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 集合用列举法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合中的元素列举出来即可. 【详解】 故选：C. 2. 已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断． 【详解】由， 则，，故AD错误，B正确， 而，则错误，故C错误. 故选：B 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题这一知识点进行解答即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以“”的否定是将改成，否定结论， 即. 故选：D. 4. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，因为， 所以， 所以，即，故A错误； 选项B：，因为， 所以，所以，即，故B错误； 选项C：，因为， 所以，所以，即，故C正确； 选项D：，因为， 所以，所以，即，故D错误. 故选：C 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，则或，不一定是， 比如：，满足，但， 所以“”不是“"的必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件 故选：A. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除AC，利用单调性排除B，得解. 【详解】由，定义域为， 又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误. 故选：D. 8. 若不等式的解集为，则对于函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的特征得，结合二次函数的对称性判断. 【详解】由不等式的解集为，则， 所以开口向上，对称轴为， . 故选：C. 9. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，验证符合题意，当时，得求解得到答案. 【详解】当时，不等式变为恒成立，符合题意； 当时，由不等式的解集为R， 则，解得， 综上，的取值范围为. 故选：B. 10. 设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的对称性可得且，运算得解. 【详解】，开口向上，对称轴为， 当时，对于任意，，都有， 则，故，得， 由对称性得， ，即， ，即实数的最大值为. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 设 ，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】，，当且仅当，即时，取等号， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：，. 13. _______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根式与有理数指数幂关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误； 对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确； 对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③正确； 对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集，并集运算求解； （2）根据集合的交并补运算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 由题，可得或，， ，或. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象； （3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立. 【答案】（1），0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，代入运算得解； （2）先画出函数在上的图象，再根据对称性得上的图象； （3）取验证得解. 【小问1详解】 由题，可得， . 【小问2详解】 先画出函数在上的图象，再根据偶函数图象对称性得上的图象； 【小问3详解】 当时，，即，即， 显然对恒成立. 18. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）不等式，即为，抓住与1的大小讨论求解. 【小问1详解】 当时，，不等式，即， ，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19. 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 【答案】（1） （2）22元/件 （3）100万元 【解析】 【分析】（1）先求出总成本和总收入，进而求出利润的解析式即可. （2）先列出不等式，然后化简求解即可. （3）先求出第二年的总成本，然后列出第二年的利润表达式，根据二次函数的性质和售价的范围确定利润的最大值即可. 【小问1详解】 由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为， 销售总收入为万元， 所以利润为. 即. 【小问2详解】 由题意知，，所以， 化简得，即， 因为，所以. 因此该电子产品第一年的售价为22元/件. 【小问3详解】 第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元， 所以总成本为万元，则第二年利润. 因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以. 对于二次函数，其对称轴为. 因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小， 所以当时，有最大值，万元， 因此，第二年利润的最大值为100万元. 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，，，故， 即，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由，求得，并检验； （2）利用函数的单调性定义判断； （3）求出集合，由题可得真包含于，列出不等式求解. 【小问1详解】 由题，可得，即，解得， ，，满足题意. . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）在上单调递增，且，， ， 又函数在上单调递增，故， 若是的充分不必要条件，即真包含于， ，解得. 所以实数的取值范围为. 21. 设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. （1）判断集合是否为好集合； （2）若，S不是好集合，证明：； （3）若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 【答案】（1）T是好集合；U不是好集合. （2） 假设，，集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得，不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得，矛盾. 如果，则，进而， 此时矛盾，所以. （3） 首先证明，当时，， 集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得， 不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则，进而，此时矛盾. 所以，集合S一定是好集合. 当时，令， ， A与B都不包含整数a，b，c（不一定相异）使得，即此时S不是好集合. 所以满足S是好集合，n的最小值为243. 【解析】 【分析】（1）根据定义代入验证即可； （2）利用反证法假设,，通过论证得到矛盾点即可； （3）首先证明，集合S一定是好集合，再证明时，集合S不是好集合即可. 【小问1详解】 T是好集合；U不是好集合. 对，举例，，或，，或，， 均满足条件①②，T是好集合； 对集合U，举例显然满足条件①，不满足条件②，则U不是好集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $