2026-2027学年苏科版九年级数学上学期期中模拟培优测试卷

2026-2027学年苏科版九年级数学上学期期中模拟培优测试卷 答案解析 一、选择题 1. B　 由一元二次方程定义，次数 ，得 ；二次项系数 ，故 ，所以 。 2.C　 需满足 ，即 且 。 3.D　 第一周 5 亿，第二周 ，第三周 ，三周累计 20 亿，列方程 。 4.C　 同弧所对圆心角 ；，故 。由 ，内错角 。 5.D　 当 时 ，第三象限内 随 增大而增大，故 。一次函数 斜率为负、截距为负，经过第二、三、四象限。 6.B　 由方程得 ；韦达定理 。于是 。 7.A　 直线过 、，解析式为 ；反比例 ，即 。 分区间比较图像高低，一次函数在反比例上方的区间为 或 。 8.D　 是 中点， 是 中点， 是 中位线： ①；，故 ， ② ；③ ； ④ ，，又 ， 故 。四个结论全部正确。 9.D　 函数 的竖直渐近线为 ，水平渐近线为 。选项 D 是直线 ，即竖直渐近线，与图像没有公共点。 10. D　 由图②最大弦长为 6，知圆直径 6、半径 3。 起点 ，由勾股逆定理 ，得 ； 2 s 时 为直径，对应圆心角 ， 2 s 转过 ，角速度 。 当 时，， 为等边三角形，； 下降段对应圆心角 ，共转过 ， 故 。 二、填空题 11. 　 展开为 ，故 ，。 12.　 为直径，，；圆内接四边形对角互补，。 13. 或 　 因式分解 ，二次项开口向上，大于 0 取两边。 14.中间小正方形边长 ；阴影每个正方形边长 　 配方 ，，得 ； 一次项 平分到四个矩形，每个矩形宽为 3， 故阴影小正方形边长为 3。 15.　 建立坐标系：设 ，以 为圆心、半径 1 的圆为 。 为水平线， 在圆上，得 。于 是 ，，故 。 16.　 设正方形边长为 ，，其中 。 由 得 。， 为等腰三角形，顶角 ； 作 于 ，则 为等腰直角三角形，（）。 由勾股定理得 。 又 ， 故 。 三、解答题 17. 解方程 (1)　， 因式分解 ， 得 。 (2)　， 移项用平方差：， 即 ， 得 。 (3)， ， 得 。 (4)， 公式法 ， 得 。 18. 一元二次方程根的判别式与韦达定理 (1) 证明：　 。 因为 ， 所以 ， 无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由韦达定理 。 条件 ， 化为 ， 代入得 ， 即 ， 整理 ， 解得 。 19. 播放量函数图像 (1)　， 设线段 为 ，解得 ， 故 。 双曲线 过 ，，故 。 (2) 第 5 天代入 ：（万）； 第 30 天代入 ：（万）。 因此第 5 天播放量更大。 (3) 播放量不少于 400 万： 段 ，得 ，即 ； 段 全部满足； 段 ，得 ，即 。 合并得 ，共 天。 20. 围栏面积问题 (1)　三段竖直栅栏各长 ，水平栅栏 一段，故 （米）。 (2)　由面积 ， 整理 ，解得 或 。 受墙长 25 米限制，； 时 舍去， 时 。 故 米。 (3)　假设面积达到 240 平方米：S=， S=2+51=(2-17)=(-)2+ 当=时，Smax==216＜240。因此面积不可能达到 240 平方米。 21. 圆的切线证明与计算 (1) 证明：　 切 于 ，故 ，。 由 ，得 ，； 又 ，，故 。 结合 ，得 ， 所以 ，即 。 为半径，故直线 与 相切。 (2) 设半径为 ， 在 中，， 即 ，解得 ，。 设 ，则 。 在 中，， 即 ， 解得 ，故 。 22. 无刻度直尺作图 (1)　连接圆心 与网格确定的对称轴方向，该直线与劣弧 的交点即为 ，满足 。 (2)　利用圆心与网格连线确定相等圆心角，在劣弧 上取点 ，使 。 (3)　同理连线定位，在劣弧 上取点 ，使 。 23. 一次函数与反比例函数综合 (1)　直线 交 轴于 ，交 轴于 。 由 ， 在 轴上，得 。 轴，故 横坐标为 ，代入直线得 ， 即 。 代入反比例函数 ， 故 。 (2)　当 时， 的取值范围是 。 (3)　存在。， 由勾股得 ，四边相等，四边形 为菱形。 对角线 中点为 ，点 与点 关于该点对称， 得 ；代入 ，满足反比例函数。 24. 阿基米德折弦定理 (1) 补全证明：　在 上截取 ，连接 。 因为 是 的中点，所以 ，且同弧所对圆周角 。 又 ，故 ，得 。 因为 ，等腰 三线合一， 所以 。于是 ，得证。 (2)　等量关系为 。 (3)　由 ，知弧 等于弧 ，故 是折弦 的中点； ，由折弦定理得 。 又 ，，故 为等腰直角三角形，，。 周长为 ，，故 。 而 ，代入得 ， 即 ，。 因此 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学上学期期中模拟培优测试卷 一、选择题 （本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、若方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．0 B． C． D． 2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 3、由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 4、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，过点A作AD平行于BC，交CO的延长线于点D，则∠D的度数（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 5、设点和是反比例函数图象上的两个点，当时，，则一次函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 6、若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 7、如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 8、如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9、函数的图像可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（　　） A．经过点且平行于轴的直线 B．经过点且平行于轴的直线 C．经过点且平行于轴的直线 D．经过点且平行于轴的直线 10、如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是.图②随变化的关系图象，则图中m的值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11、若一元二次方程配方后为，则 ． 12、如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，．若，则的度数是 ．    13、我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解．对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式的解集是 ． 14、有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响．花拉子米关于2+10＝39的几何求解方法如图1，在边长为的正方形的四个边上向外做边长为和的矩形，再把它补充成一个边长为+5的大正方形，我们得到大正方形的面积为（+5）2＝2+10+25＝39+25＝64（因为2+10＝39）．所以大正方形边长为+5＝8，得到＝3．思考：当我们用这种方法寻找2+6＝7的解时，如图2中间小正方形的边长为 　 　；阴影部分每个正方形的边长为 　 　． ​ 15、如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为 ． 16、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在轴，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，连接，，，若，，则k的值为 ． 三、解答题 （本大题共8小题，共72分） 17、（8分）选择适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求的值． 19、小新和同学们调查发现，一般情况下，某音乐平台的排行榜中，一首歌曲的播放量（万）随时间（天）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）； (1)求出线段和双曲线的函数关系式； (2)第5天与第30天相比较，何时歌曲的播放量更大？ (3)一首歌要保持在热搜榜，播放量需要不少于400万，那么可以保持几天？请说明理由． 20、如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC长为x米． （1）DC＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若长方形围栏ABCD面积为210平方米，求BC的长； （3）长方形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 21、如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 22、仅用无刻度直尺完成下列画图： (1)如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； (2)如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 23、如图所示，直线与轴交于点A，与轴交于点C，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 24、问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．    （1）证明：如图2，在上截取，连接和． ∵M是的中点， ∴ …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 实践应用： （2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为　　． （3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $