期中检测模拟试题（四）2026-2027学年上学期九年级数学人教版

2026-2027学九年级上册数学期中试卷（四） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】 选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：的顶点坐标为． 故选：． 【分析】根据抛物线的顶点式详解式写出顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式详解式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 3.一元二次方程的根的情况(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B  【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键． 4.已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是(    ) A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，的取值范围是 D. 若，，是该二次函数图象上的三个点，则 【答案】D  【详解】解：由条件可知，解得， 所以二次函数的详解式为． ：在中，，所以函数图象开口向上，选项错误，不符合题意； ：在中，，，则对称轴为，选项错误，不符合题意； ：对于二次函数，其对称轴为，顶点坐标为，当时，取得最小值；当时，；当时，所以当时，，选项错误，不符合题意； ：点，，到对称轴的距离分别为：，，因为函数图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大．所以，选项正确，符合题意； 故选：． 【分析】通过代入三个点坐标求出二次函数详解式，再逐一验证各选项． 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键． 5.二次函数的图象与轴没有交点，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】解：二次函数的图象与轴没有交点， 方程没有实数解， ， 解得， 可以取． 故选：． 【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到方程没有实数解，则根据根的判别式的意义得到，然后解不等式得到的取值范围，从而对各选项进行判断． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数． 6.当温度不变时，气球内气体的气压单位：是气体体积单位：的函数，下表记录了一组实验数据： 单位： 单位： 与的函数关系可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：观察发现：， 故与的函数关系式为， 故选：． 【分析】观察表格发现，从而确定两个变量之间的关系即可． 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数，难度不大． 7.，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，属于基础题． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【解答】 解：当时，过一、三、四象限；过一、三象限； 当时，过一、二、四象限；过二、四象限． 观察图形可知，只有选项符合题意． 故选：． 8.已知是方程的一个根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解：由条件可知， ， ． 故选：． 【分析】利用方程根的定义，得到，然后整体代入代数式求值即可． 本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 9.如图，已知反比例函数与二次函数的图象交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】C  【详解】解：当时，， 解得， 点， 观察图象得：当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方， 关于的不等式的解集为或， 即关于的不等式的解集为或． 故选：． 【分析】先求出点，再观察图象可得当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方，即可求解． 本题主要考查了二次函数和不等式解集，利用数形结合思想解答是解题的关键． 10.如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线单位：米，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知：：，则脚手架高为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C  【详解】解：矩形脚手架在隧道正中，：：， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或舍， ， 故选：． 【分析】设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线详解式求出，从而可得到的值． 本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入详解式是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在        象限． 【答案】一，三  【详解】解：将代入得， ， ， 因此反比例函数的图象在一，三象限． 故答案为一，三． 【分析】将代入，即可判断出的符号，从而判断出函数的图象所在象限． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，同时要熟悉反比例函数的性质． 12.已知是方程的一个根，则代数式的值为      ． 【答案】  【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【分析】根据已知易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13.已知反比例函数，当时，的取值范围是        ． 【答案】  【详解】解：反比例函数中， ， 此函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， ， 故答案为：． 【分析】根据反比例详解式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的增减性是解题关键． 14.已知，是方程的两个根，则        ． 【答案】  【详解】解：由题意得，，． 则． 故答案为：． 【分析】根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15.如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框包括窗棂若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为        ． 【答案】  【解析】解：设圆的半径为米，框架围成的面积为，则矩形的一条边为米，另一条边为米， ． 也就是最大透光面积为． 故答案为：． 下部为矩形，上部为半圆形的框架窗户，设圆的半径为米，分别计算其面积，可得框架围成的面积与的函数式，进一步利用配方法，可求函数的最值． 此题考查二次函数的应用，注意利用圆的面积和矩形的面积计算公式建立函数模型解决问题． 16.在中，，，点是直线上一点且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为            ． 【答案】或  【详解】解：，，  ，  如图，当点在线段上时，    将线段绕点逆时针旋转得到线段，  ，，  ，  在与中，  ，  ≌，  ，，  ，，  ；  如图，当点在线段的延长线上时，    ，，  ，  ，  将线段绕点逆时针旋转得到线段，  ，，  ，  在与中，  ，  ≌，  ，，  ，，  ；  综上所述，的长度为或  故答案为：或． 【分析】分为当点在线段上时及当点在线段的延长线上时两种情况，分别证明≌，再求解即可． 本题考查几何变换的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，旋转的性质及勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解下列一元二次方程： ； ． 【详解】 解：原方程移项可得： ， ，  或 ， 解得，； 原方程去括号可得： ， ， ， ， 解得． 【分析】 移项后根据因式分解法求解即可； 整理后根据配方法求解即可． 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 18.本小题分 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙足够长和长的围栏围成一个矩形活动区设矩形活动区的宽． 边的长为______，矩形的面积为______均用含的代数式表示； 矩形活动区的面积最大是多少？ 【详解】解：宽，利用一面墙墙足够长和长的围栏围成一个矩形活动区， 边的长为， 矩形的面积为， 故答案为：，； 设矩形活动区的面积为， 则， 利用一面墙和长的围栏围成一个矩形活动区， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，取得最大值． 矩形活动区的面积最大是． 【分析】 根据围栏的长是，宽可表示出边的长；根据矩形的面积公式可表示出矩形的面积； 设矩形活动区的面积为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了列代数式，二次函数的应用，解题的关键是求出面积的函数详解式． 19.本小题分 如图，抛物线与轴交于点与直线交于点点在轴上点为线段上一点． 求抛物线的表达式； 当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】解：经过， ， 解得， 抛物线的表达式为； 四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为，连接，，，． 点在上， ，， ，， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 轴，轴， ， 四边形是 平行四边形． 【分析】 将代入求出即可； 作交抛物线于点，垂足为，连接，，，由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20.本小题分 如图，为等边三角形，点是线段上一动点点不与，重合，连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． 求证：； 延长交于点． 求的度数；求证：为的中点． 【答案】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE；  (2)①解：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G， ∴∠G=∠BDF， ∵∠ADE=60°，∠ADB=90°， ∴∠BDF=30°， ∴∠G=30°， 由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA， ∵AD⊥BP， ∴∠BDA=90°， ∴∠CEA=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠CED=∠CEA-∠AED=90°-60°=30°； ②证明：∵∠CED=∠G=30°， ∴CE=CG， 又∵BD=CE ∴BD=CG， 在△BDF和△CGF中， ， ∴△BDF≌△CGF（AAS）， ∴BF=FC， 即F为BC的中点．  【分析】 利用证明≌，即可得出结论； 过点作交的延长线于点，利用等角对等边可得， 由≌，得，再利用证明≌，从而解决问题． 本题主要考查了几何变换综合题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21.本小题分 如图所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流图是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点坐标原点，过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系其抛物线形水流的表达式为单位：． 用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； 请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； 若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 【详解】解：， 即， 顶点坐标为， 水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为； 当时，， 解得，舍去， 该抛物线与轴的交点坐标为， 该喷灌机的最大灌溉水平距离为； 能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，理由如下： 当时，， 喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度． 【分析】 利用配方法把二次函数详解式转化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标即可求解； 求出时的值即可求解； 求出时的值即可判断求解． 本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学九年级上册数学期中试卷（四) 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.中国二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作 品分别代表立春”、“立夏”、芒种”、大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 B 2.抛物线y=-x2-1的顶点坐标为( A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(2,3) 3.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.已知点(-3,0)，(0，-3)，(2,5)都在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是 ( A.函数图象开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.当-3<x<0时，y的取值范围是-4<y<0 D.若(-4，y1),(-2,y2)(5,y3)是该二次函数图象上的三个点，则y3>y1>y2 5.二次函数y=x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是( ) A.-2 B.2 C.4 D.6 1/5 6.当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的函数，下表记录 了一组实验数据： V(单位：m) 1 1.5 2.5 3 P(单位：kPa) 96 64 48 38.4 32 P与V的函数关系可能是( A.P=96V B.P=-16V+112 C.P- D.P=16V2-96V+176 7.k≠0，函数y=kx-k与y=在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( …米m之 8.已知x=m是方程2x2-x-6=0的一个根，则代数式4m2-2m-2的值为( A.4 B.10 C.12 D.22 9.如图，已知反比例函数y=-与二次函数y=ax2+bx(a>0,b>0)的 图象交于点P,点P的纵坐标为1，则关于x的不等式ax2+bx+3>0 的解集为( A.X<1 B.x<-3 C.x<-3或x>0 D.-3<x<0 10.如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y=-x2+8(单位： 米)，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG,已知DE: D EF=3:2,则脚手架高DE为( A.4米 B.5米 A EO OFB C.6米 D.7米 2/5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11若反比例函数y-的图象经过点m,3m),其中m≠0，则此反比例函数的图象 在 象限 12.己知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m+2025的值为 13.已知反比例函数y-生当1<x<2时，y的取值范围是 14.已知x1,x2是方程2x2-4x-1=0的两个根，则x+x3= 15.如图所示，用长10m的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂） 若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为 16.在△ABC中，AB=AC=3V2,∠BAC=90°，点D是直线BC上一点且BD=2, 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,则DE的长为 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)解下列一元二次方程： (1)x2=4x+5: (2yy-4)=-1-2y. 18.(本小题10分)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24长的围栏 围成一个矩形活动区.设矩形活动区的宽CD=xm. (1)边BC的长为 m,矩形ABCD的面积为m(均用含x的代数式表示)： (2)矩形活动区ABCD的面积最大是多少？ 3/5 19.(本小题10分)如图，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A.与直线y=-x交于点B(4,-4). 点C(0,-4在y轴上.点P为线段BO上一点. (1)求抛物线y=-x2+bx的表达式： (2)当BP=2V2时，请在图中画出点P,作PD1OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四 边形OCPD的形状，并说明理由. 20.(本小题10分) 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A,C重合），连接BP,过 点A作直线BP的垂线段，垂足为点D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连 接DE,CE. (I)求证：BD=CE: (2)延长ED交BC于点F. ①求LCED的度数；②求证：F为BC的中点. 4/5 21.(本小题12分) 如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流.图2 是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图.喷灌机的喷头P离地面竖直高度为0.8，以过喷 头垂直于地面的直线为y轴，交地面于点O(坐标原点)，过点O垂直于管道的直线为x轴，建 立平面直角坐标系.其抛物线形水流的表达式为y=-0.02x2+0.4x+0.8(单位：m) (I)用配方法将该二次函数表达式化为y=a(x-)+k的形式，求出水流的最大高度及最高点 与喷头的水平距离： (2)请根据该抛物线与x轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； (3)若管道距该农田远侧边为20，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为0.6m.判断此喷灌机 喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由. ◆y/m 01 c/m 图1 图2 5/52026-2027学九年级上册数学期中试卷（四) 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.中国二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作 品分别代表立春”、“立夏”、芒种”、大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 【答案】D 【详解】 A选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意： C选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意. 故选：D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两 旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义：把一个图形绕着 某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键。 2.抛物线y=-x2-1的顶点坐标为() A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(2,3) 【答案】C 【详解】解：y=-x2-1的顶点坐标为(0，一1). 故选：C 1/16 【分析】根据抛物线的顶点式详解式写出顶点坐标即可. 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式详解式写出顶点坐标的方法是解题的关键： 3.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】B 【详解】解：a=1,b=-3,c=1, ÷△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, 一元二次方程x2一3x+1=0有两个不相等的实数根， 故选：B 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况， 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因 此掌握判别式是关键， 4.已知点(-3,0)，(0，-3)，(2,5)都在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是 () A.函数图象开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.当-3<x<0时，y的取值范围是-4<y<0 D.若(-4，y1),(-2,y2),(5,y3)是该二次函数图象上的三个点，则y3>y1>y2 【答案】D 9a-3b+c=0 (a=1 【详解】解：由条件可知{c=-3 ,解得b=2, (4a+2b+c=5 (c=-3 所以二次函数的详解式为y=x2+2x-3, A:在y=x2+2x-3中，a=1>0,所以函数图象开口向上，A选项错误，不符合题意： B:在y=x2+2x-3中，a=1,b=2,则对称轴为x=-二=-1，B选项错误，不符合题意： 2×1 C:对于二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4,其对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1，-4④， 当x=-1时，y取得最小值-4：当x=-3时，y=(-3)2+2×(-3)-3=0:当x=0时，y=-3 所以当-3<x<0时，-4≤y<0,C选项错误，不符合题意： D:点(-4，y),(-2,y2),(5,y3)到对称轴x=-1的距离分别为：|-4-(-1)=3，-2-( 2/16 1)川=1,5-(-1)=6.因为函数图象开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴 右侧y随x的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大.所以y?>y1>y2,D选项 正确，符合题意： 故选：D. 【分析】通过代入三个点坐标求出二次函数详解式，再逐一验证各选项 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键， 5.二次函数y=x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是() A.-2 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【详解】解：：二次函数y=x2+4x+a的图象与x轴没有交点， 方程x2+4x+a=0没有实数解， △=42-4a<0, 解得a>4, a可以取6. 故选：D. 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到方程x2+4x+a=0没有实数解，则根据根的判别 式的意义得到△=42-4a<0,然后解不等式得到a的取值范围，从而对各选项进行判断 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的 交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2-4c决定抛物线与x轴的交点个数. 6当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：kPa)是气体体积V(单位：m)的函数，下表记录 了一组实验数据： V(单位：m3) 1.5 2.5 3 P(单位：kPa) 96 64 48 38.4 32 P与V的函数关系可能是() A.P=96V B.P=-16V+112 C.P- D.P=16V2-96V+176 【答案】C 【详解】解：观察发现：VP=1×96=1.5×64=2×48=2.5×38.4=3×32=96, 故P与V的函数关系式为P= 3/16 故选：C 【分析】观察表格发现VP=96,从而确定两个变量之间的关系即可. 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96， 难度不大 7.k≠0，函数y=kx-k与y=在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是() 【答案】A 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，属于基础题 分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时， 一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案。 【解答】 解：①当k>0时，y=kx-k过一、三、四象限；y=过一、三象限： ②当k<0时，y=x-k过一、二、四象限：y=过三、四象限. 观察图形可知，只有A选项符合题意， 故选：A. 8.已知x=m是方程2x2-x-6=0的一个根，则代数式4m2-2m-2的值为() A.4 B.10 C.12 D.22 【答案】B 【详解】解：由条件可知2m2-m-6=0, 21m2-m=6, .4m2-2m-2 4/16 =2(2m2-m)-2 =2×6-2 =12-2 =10. 故选：B. 【分析】利用方程根的定义，得到2m-m=6,然后整体代入代数式求值即可. 本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键. 9如图，已知反比例函数y=一与二次函数y=ax2+bxa>0,b>0)的 图象交于点P,点P的纵坐标为1，则关于x的不等式x2+bx+三>≥0 的解集为() A.x<1 B.x<-3 C.x<-3或x>0 D.-3<x<0 【答案】C 【详解】解：当y=1时，1=一 解得x=-3, 点P(-3,1), 观察图象得：当x<-3或x>0时，二次函数y=x2+bx的图象位于反比例函数y=-图象 的上方， 关于x的不等式x2+bx>-的解集为x<-3或x>0, 即关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为x<-3或x>0. 4 故选：C 【分析】先求出点P(-3,1),再观察图象可得当x<-3或x>0时，二次函数y=ax2+bx的 图象位于反比例函数y=-图象的上方，即可求解。 本题主要考查了二次函数和不等式解集，利用数形结合思想解答是解题的关键： 5/16 10.如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y=-x2+8(单位： 米)，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG,已知DE: EF=3:2,则脚手架高DE为() A.4米 B.5米 F B C.6米 D.7米 【答案】C 【详解】解：矩形脚手架DEFG在隧道正中，DE:EF=3:2, ∴设EF=2m,DE=3m,则E0=m, D点坐标为(-m,3m), 将(-m,3m)代入y=-x2+8, 得3m=-号(-m)2+8, 解得m=2或m=-8(舍)， DE=3×2=6, 故选：C 【分析】设DE=3,然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线详解式求出m,从 而可得到DE的值 本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入详解式是解题的关键， 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若反比例函数y-的图象经过点(m,3m),其中m≠0，则此反比例函数的图象在象限. 【答案】一，三 【详解】解：将m,3m)代入y=得， 3m台 k=3m2>0, 因此反比例函数的图象在一，三象限. 6/16 故答案为一，三 【分析】将m,3m)代入y=长 即可判断出k的符号，从而判断出函数的图象所在象限 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等 于比例系数，同时要熟悉反比例函数的性质. 12.已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m+2025的值为. 【答案】2026 【详解】解：m是方程x2-x-1=0的一个根， m2-m-1=0, ÷m2-m=1, m2-m+2025=1+2025=2026, 故答案为：2026. 【分析】根据已知易得：m2-m一1=0，从而可得m2-m=1,然后代入式子中进行计算， 即可解答.本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键 13.已知反比例函数y=当1<x<2时，y的取值范围是 【答案】2<y<4 【详解】解：反比例函数y=中， :k=4>0, 此函数的图象在第一象限内，y随x的增大而减小， x=1时，y=4,x=2时，y=2, ·2<y<4, 故答案为：2<y<4. 【分析】根据反比例详解式可知图象在第一象限内，y随x的增大而减小，求出1<x<2时函 数值的最大值和最小值，即可得到答案， 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的增减性是 解题关键， 14.已知x1,x2是方程2x2-4x-1=0的两个根，则x+x3=一· 【答案】5 【详解】解：由题意得，x1+为一=2，xx=- 7/16 则x好+x3=x1+x)2-2x1x2=22-2×(-)=4+1=5. 故答案为：5. 【分析】根据根与系数的关系求出x1+x一=2，x1x=-一再利用恒等式x+x号=(x+ x2)2-2x1X2计算. 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 15.如图所示，用长10m的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包 括窗棂)若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为一· 【答案】品m 【解析】解：设圆的半径为x米，框架围成的面积为y,则矩形的一条边为 2x米，另一条边为(10-4x-)米， y=+0-4k-m02x三-4+x2+10一x-品)+品 8+元 也就是最大透光面积为二m2。 故答案为：碧m2 下部为矩形，上部为半圆形的框架窗户，设圆的半径为x米，分别计算其面积，可得框架围成 的面积y与x的函数式，进一步利用配方法，可求函数的最值. 此题考查二次函数的应用，注意利用圆的面积和矩形的面积计算公式建立函数模型解决问题. 16.在△ABC中，AB=AC=3V2,∠BAC=90°，点D是直线BC上一点且BD=2,连接AD, 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,则DE的长为 【答案】2V5或2W17 【详解】解：：AB=AC=3V2,∠BAC=90°， ·∠C=∠ACB=45,BC=VAB2+AC=6, ①如图，当点D在线段BC上时， 8/16 E D :将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, ∴AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ·∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ·△ABD≌△ACE(SAS), ∴CE=BD=2,∠ACE=∠ABD=45°， ·CD=BC-BD=4,∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°， ..DE=CE2+CD2=V22+42=2v5; ②如图，当点D在线段CB的延长线上时， B :AB=AC=3V2,∠BAC=90°， ∴∠C=∠ACB=45, ∠ABD=135, ~将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE, ∴.AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ·∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， 9/16 AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ÷△ABD≌△ACE(SAS), ∠ACE=∠ABD=135°，CE=BD=2, .CD=BC+BD=8,∠DCE=∠ACE-∠ACB=90°， .DE=√CE2+CD2=V22+82=2V17: 综上所述，DE的长度为2√5或2W17 故答案为：2W5或2W17. 【分析】分为当点D在线段BC上时及当点D在线段CB的延长线上时两种情况，分别证明 △ABD≌△ACE,再求解即可. 本题考查几何变换的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，旋转的性质及勾股定理及应用 等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)解下列一元二次方程： (1)x2=4x+5: (2)y-4)=-1-2y. 【详解】 解：(1)原方程移项可得： x2-4x-5=0, (x-5)x+1)=0, x-5=0或x+1=0, 解得x1=5,x2=-1: (2)原方程去括号可得： y2-4y=-1-2y, y2-4y+1+2y=0, y2-2y+1=0, y-1)2=0, 解得y1=y2=1. 【分析】 10/16 ()移项后根据因式分解法求解即可： (2)整理后根据配方法求解即可. 本题考查了解一元二次方程.熟练掌握该知识点是关键. 18.(本小题10分) 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24长的围栏围成一个矩形活动 区.设矩形活动区的宽CD=xm. (I)边BC的长为m,矩形ABCD的面积为 m(均用含x的代数式表示)： (2)矩形活动区ABCD的面积最大是多少？ B 【详解】解：(1)：宽CD=xm,利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区， 边BC的长为(24-2x)m, 矩形ABCD的面积为x(24-2x)m, 故答案为：(24-2x),x(24-2x): (2)设矩形活动区ABCD的面积为S, 则S=x(24-2x)=-2(x-6)2+72, :利用一面墙和24m长的围栏围成一个矩形活动区， ·0<x<12, -2<0, ·抛物线开口向下，函数有最大值， 当x=6时，S取得最大值72. ∴矩形活动区ABCD的面积最大是72m. 【分析】 (1)根据围栏的长是24m,宽CD=xm可表示出边BC的长；根据矩形的面积公式可表示出矩 形ABCD的面积： 11/16 (2)设矩形活动区ABCD的面积为S,则S=x(24-2x)=-2(x-6)2+72,然后根据二次函数 的性质求解即可。 本题考查了列代数式，二次函数的应用，解题的关键是求出面积的函数详解式 19.(本小题10分) 如图，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A.与直线y=-x交于点B(4,-4).点C(0,-4)在y轴 上.点P为线段BO上一点， (1)求抛物线y=-x2+bx的表达式： (2)当BP=2V2时，请在图中画出点P,作PD1OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四 边形OCPD的形状，并说明理由. 【详解】解：(1)y=-x2+bx经过B(4,-4), -4=-42+46, 解得b=3, 抛物线y=-x2+bx的表达式为y=-x2+3x: (2)四边形OCPD是平行四边形，理由如下， 作PD1OA交抛物线于点D,垂足为H,连接，PC,OD,BC. 12/16 :点P在y=一x上， OH=PH,∠POH=45°， C(0,-4,B(4,-4), ..OC=BC=4, .OB=4V2, BP=2V2, .OP=OB-BP=2√2， oH=PH=号oP=号x2V2=2, 当x=2时，DH=yD=-22+3×2=2, ∴.PD=DH+PH=2+2=4, .PD=OC, PD1x轴，OC1x轴， .PD//OC, 四边形OCPD是平行四边形. 【分析】 (1)将B(4,-4)代入y=-x2+bx求出b即可； (2)作PD 1 OA交抛物线于点D,垂足为H,连接，PC,OD,BC.由点P在y=-x上，可知OH=PH, ∠POH=45,得OB=4W2.OH=PH=号oP=号x2W2=2,当x=2时，DH=yn三-2+3x 2=2,得PD=OC,然后证明PD//OC,即可得解 本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 13/16 20.(本小题10分) 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A,C重合），连接BP,过 点A作直线BP的垂线段，垂足为点D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连 接DE,CE. (I)求证：BD=CE: (2)延长ED交BC于点F. ①求LCED的度数；②求证：F为BC的中点 【答案】(1)证明：，线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, ∴.△ADE是等边三角形， .AD=AE,∠DAE-60°， ,△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC-60°， ∴.∠BAC∠DAE, D '.∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ..BD=CE; (2)①解：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G, D G .∠G=∠BDF, .∠ADE-60°，∠ADB-90°， 14/16 ∴.∠BDF=30°， ∴.∠G=30°， 由(1)可知，BD=CE,∠CEA=∠BDA, ,AD⊥BP, .∠BDA=90°， ∴.∠CEA90°， ,∠AED=60°， ∴.∠CED=∠CEA-∠AED90°-60°=30°： ②证明：，∠CED=∠G=30°， ..CE=CG, 又，BD=CE .'.BD=CG, 在△BDF和△CGF中， LBDF=∠G ∠BFD=∠CFG, BD=CG ∴.△BDF≌△CGF(AAS), ..BF=FC, 即F为BC的中点. 【分析】 (I)利用SAS证明△BAD≌△CAE,即可得出结论： 2)过点C作CG/BP交DF的延长线于点G,利用等角对等边可得CG=CE, 由(I)△BAD2△CAE,得BD=CE,再利用AAS证明△BDF≌△CGF,从而解决问题， 本题主要考查了几何变换综合题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅 助线构造全等三角形是解题的关键， 21.(本小题12分) 如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流.图2 是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图.喷灌机的喷头P离地面竖直高度为0.8，以过喷 头垂直于地面的直线为y轴，交地面于点O(坐标原点)，过点O垂直于管道的直线为x轴，建 立平面直角坐标系.其抛物线形水流的表达式为y=-0.02x2+0.4x+0.8(单位：m). 15/16 (I)用配方法将该二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，求出水流的最大高度及最高点 与喷头的水平距离： (②)请根据该抛物线与x轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离： (3)若管道距该农田远侧边为20m,叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为0.6m.判断此喷灌机 喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由， y/m x/m 图 图2 【详解】解：(1y=-0.02x2+0.4x+0.8=-0.02(区-10)2+28， 即y=-0.02(x-10)2+2.8, 顶点坐标为(10,2.8)， 水流的最大高度为2.8m,最高点与喷头的水平距离为10m: (2)当y=0时，-0.02x-10)2+2.8=0, 解得x1=10+2V35,x2=10-2V35(舍去)， 该抛物线与x轴的交点坐标为(10+2√35,0)， 该喷灌机的最大灌溉水平距离为(10+2√35)m: (3)能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，理由如下： 当x=20时，y=-0.02(20-10)2+2.8=0.8>0.6, :喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度 【分析】 ()利用配方法把二次函数详解式转化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐 标即可求解； (2)求出y=0时x的值即可求解； (3)求出x=20时y的值即可判断求解， 本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键 16/16 2026-2027学九年级上册数学期中试卷（四） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标为(     ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况(     ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4.已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是(     ) A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，的取值范围是 D. 若，，是该二次函数图象上的三个点，则 5.二次函数的图象与轴没有交点，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 6.当温度不变时，气球内气体的气压单位：是气体体积单位：的函数，下表记录了一组实验数据： 单位： 单位： 与的函数关系可能是(     ) A. B. C. D. 7.，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(     ) A. B. C. D. 8.已知是方程的一个根，则代数式的值为(     ) A. B. C. D. 9.如图，已知反比例函数与二次函数的图象交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集为(     ) A. B. C. 或 D. 10.如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线单位：米，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知：：，则脚手架高为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在        象限． 12.已知是方程的一个根，则代数式的值为       ． 13.已知反比例函数，当时，的取值范围是        ． 14.已知，是方程的两个根，则        ． 15.如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框包括窗棂 若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为        ． 16.在中，，，点是直线上一点且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为            ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解下列一元二次方程： ； ． 18.本小题分如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙足够长和长的围栏围成一个矩形活动区设矩形活动区的宽． 边的长为______，矩形的面积为______均用含的代数式表示； 矩形活动区的面积最大是多少？ 19.本小题分如图，抛物线与轴交于点与直线交于点点在轴上点为线段上一点． 求抛物线的表达式； 当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 20.本小题分 如图，为等边三角形，点是线段上一动点点不与，重合，连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． 求证：； 延长交于点． 求的度数；求证：为的中点． 21.本小题分 如图所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流图是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点坐标原点，过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系其抛物线形水流的表达式为单位：． 用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； 请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； 若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $