1.3 解直角三角形（分层作业·练题型）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
分层作业
1.3 解直角三角形
目 录
A组 巩固过关
题型01 解直角三角形
题型02构造直角三角形求边长或面积
题型03 仰角俯角问题
题型04 方位角问题
题型05 坡度坡比问题
题型06 构造直角三角形解决实际问题
题型07 构造直角三角形与矩形解决实际问题
题型08 构造背靠背模型解决实际问题
题型09 构造子母模型解决实际问题
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
解直角三角形题型01
一、单选题
1．如图，中，，，为，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
8．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____．
10．如图，是的中线，，，，则的长为_______．
11．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________．
12．如图，菱形ABCD的边长为15，，则对角线BD的长为_________．
13．如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________．
14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．
三、解答题
15．如图，在中，是上的高，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
16．一题多解法 如下图，在中，，，．求的长．
17．如图，在中，点是的中点，连接，，，．
(1)求的长；
(2)求．
18．如图，在中，是边上一点，，已知，，求的长．
19．如图，在中，与分别是边与的高，，，．
(1)求的度数；
(2)求的值．
20．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；
(2)如图②，中，，若，求的值；
(3)如图③，中，，若， ．
构造直角三角形求边长或面积题型02
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
二、填空题
2．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __．
3．如图，中，，，，则_____．
4．如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________．
三、解答题
5．如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
6．一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）．
7．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到）
8．在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由．
9．如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2）
（参考数据：，，）
10．阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
仰角俯角问题题型03
一、单选题
1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（ ）
A． B．20m
C． D．
4．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，，．从A看B的仰角是__________；从B看A的俯角是___________；从B看D的俯角是___________；从D看B的仰角是___________．
6．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）．
7．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
8．如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：）
三、解答题
9．如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到）
10．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）．
11．如图，两座建筑物和的水平距离为，从点A测得点D的俯角，测得点C的俯角．求这两座建筑物的高．（精确到）
12．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，）
13．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，．
方位角问题题型04
一、单选题
1．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
3．上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、填空题
4．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
5．一艘轮船以千米/时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向，继续航行半小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行_____小时，轮船刚好到达小岛的正南方向（，）．
6．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米．
7．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，）
三、解答题
8．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离．
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，）
9．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向．
(1)求的度数；
(2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数．
10．郑州奥林匹克体育中心（简称郑州奥体中心）位于郑州市中原区，是河南省投资最高、体量最大、功能最全的大型综合体育场馆．有一天小高在中原西路的A点测得奥体中心（点O）在他的南偏东方向，然后他沿中原西路自西向东步行200步后到B点，他在B点测得奥体中心在他的南偏西方向．小高用卷尺量得他走10步的长度为8.5米，请你计算奥体中心距离中原西路大约有多远．（结果精确到整数．参考数据：，，）
坡度坡比问题题型05
一、单选题
1．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（ ）
A．米 B．4米 C．米 D．8米
2．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ）
A．8米 B． C． D．
二、填空题
4．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）．
5．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．
6．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______．
7．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米．
三、解答题
8．如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成．
(1)求加宽部分横断面的面积．
(2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？
9．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，）
10．如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号）
构造直角三角形解决实际问题题型06
一、单选题
1．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
6．如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________．
构造直角三角形与矩形解决实际问题题型07
一、单选题
1．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
三、解答题
5．消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米．
(1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米．
(2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度）
6．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
(1)求A、两点之间的距离；
(2)求长．
(结果精确到，参考数据：，，，，)
7．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）．
(1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离；
(2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离．
8．赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，她进行了如下的实地测量：
【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角是，，米．
【数据应用】晷针，晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内．
请根据上述数据，解决下列问题：
(1)求该晷针北极端的长度；（结果精确到）
(2)求晷针的针尖到地面的垂直高度．（结果精确到）
（参考数据，，，，，）
9．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，）
(1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
(2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度．
10．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，）
构造背靠背模型解决实际问题题型08
一、单选题
1．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为_____．（结果精确到0.1，，）
三、解答题
3．长江自西南向东北斜贯安徽南部，依次流经安庆、池州、铜陵、芜湖，马鞍山5市，全长416千米（约合800里，故称“八百里皖江”）．为传承弘扬长江文化，某校组织学生到长江某段流域进行研学，数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量长江某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以点为参照点在河这边沿河边任取两点，，测得，，量得的长为，求该河段的宽度．【精确到1米，参考数据：，，，，，】
4．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：，，米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）
5．渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，；
2．测量，的度数；
3．测量，两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得；
2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离．
测量数据
，，．
，，．
备注
1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：，，．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）．
6．如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
7．如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上．
①_________°；
②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号）
构造子母模型解决实际问题题型09
一、单选题
1．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（）
A．米 B．米
C．米 D．米
二、填空题
2．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，）
三、解答题
3．某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，．吊臂与吊索的长度保持不变，将吊臂绕点O逆时针旋转至，旋转后点B、M的对应点分别为点、（始终与地面垂直），当时，求货物M上升的高度（参考数据：）．
4．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．
活动主题
地下车库入口改造
采集信息
图1是地下车库入口示意图．
①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，．
②斜坡的长为，．
③车库限高．
设计方案
如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使．
完成任务
任务一：求的长．
任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）．
5．项目式学习
某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一种新型方法探测．某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土层表面的距离，方案如下：
课题
探测文物到土层表面的距离
方法
侧方射线探测法
示意图
说明
如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物周边脆弱区域，射线与土层表面的夹角为；再在距离B处的C处探测，射线与土层表面的夹角为．
测量数据
，，
请你根据上表中的测量数据回答以下问题：
(1)__________，__________；
(2)计算文物所在地A处到土层表面的距离．（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
6．某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．
课题
大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究
项目背景
夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．）
调查方式
资料查阅、实地测量
调查内容及示意
活动一：利用不同时刻的影长求树高
实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米…
活动二：利用树影计算休息区的长度
实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘．
请根据活动报告计算：
(1)求活动一中树的高度．
(2)求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，）
一、单选题
1．五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，风筝拉线长为，且拉线与地面夹角为．若拉线是直的，则风筝离地面的高度约为________．（结果保留整数．参考数据：）
8．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
9．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________．
10．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
11．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里）
12．如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7）
三、解答题
13．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
14．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为
解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号：
(1)填空：___________°，___________；
(2)求，两点之间的距离；
(3)求纪念碑的高度．
15．如图，图①是我国宋代时期发明的立式风车，是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械．图②是现代人根据风车设计的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．图③是该风力发电机的简化示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点在同一平面内）．点在右侧，且，求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，）
16．某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为；
（2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为；
（3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，．
测量数据
，，，
参考数据
，，
，，
请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数）
17．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：
测量任务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示意图
已知条件
凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行．
实施过程
凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角．
当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角．
解决对应的问题．
任务一：（参考数据：，）
(1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数）
(2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数）
任务二：（参考数据：，）
(3)求凤舟最后10秒的平均速度．
18．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动．
【特例探究】
(1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积；
【一般证明】
(2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ；
【迁移应用】
(3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？
19．图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论；
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
20．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上.
(1)的度数为______.
(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号）
(3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示
①点到点之间的水平距离为______米；
②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数）
(4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，）
一、单选题
1．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．在中，是直线上一点，且，则的周长为______．
4．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）．
5．如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，）
三、解答题
6．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
7．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程．
(2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米）
(3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号）
(4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________．
8．【活动背景】
如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下：
①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上；
②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处；
④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．）
【问题解决】
测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，．
(1)_________；点到点的距离为_________．
(2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到）
一、单选题
1．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
2．遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为．
测量示意图
参考数据
，，，，，．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米）
3．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
4．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，）
5．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）
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分层作业
1.3 解直角三角形
目 录
A组 巩固过关
题型01 解直角三角形
题型02构造直角三角形求边长或面积
题型03 仰角俯角问题
题型04 方位角问题
题型05 坡度坡比问题
题型06 构造直角三角形解决实际问题
题型07 构造直角三角形与矩形解决实际问题
题型08 构造背靠背模型解决实际问题
题型09 构造子母模型解决实际问题
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
解直角三角形题型01
一、单选题
1．如图，中，，，为，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：A、，解得，符合题意；
B、，解得，不符合题意；
C、，解得，不符合题意；
D、，解得，不符合题意．
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
3．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∴．
4．如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得，再构造直角三角形，由垂径定理可得，且是等腰三角形，是直角三角形，可得，用三角函数计算出的长度，进而求出的长度．
【详解】解：连接、， 过O作于D，
，是所对的圆心角，
．
∵，
∵，
∴，且平分，
，
在中，，
．
5．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作，垂足为，
在中，，
∴,
∴
\
∴，
在中，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】B
【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标是（，），
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长．
8．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠得，在中求出与，算出的长度．再利用折叠知，推导出，最后直接计算得到．
【详解】解：如图，连接．
由翻折可知，
在中，，
，
在中，，
由翻折的性质可得，
，
，
，
，
则的值为．
二、填空题
9．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____．
【答案】
【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴．
10．如图，是的中线，，，，则的长为_______．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，根据三角函数，勾股定理求出，取的中点为点，连接，根据等腰直角三角形的判定和性质，可得；根据相似三角形的判定和性质，推出，设，分别表示出，，，利用勾股定理求出，得到，解出，根据，即可．
【详解】解：过点作，垂足为；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
取的中点为点，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
设，
∴，，，
在中，；
∴，
整理可得：，
解得：，；
由图可得，不符合题意，
∴，
∴．
11．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________．
【答案】
【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，连接、，过O作于H．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴.
12．如图，菱形ABCD的边长为15，，则对角线BD的长为_________．
【答案】18
【分析】根据菱形性质得，，再根据正弦定义即可得，代入数据即可求出，进而可得菱形的对角线的长．
【详解】解：如图，
记相交于，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，菱形的边长为15，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的对角线的长为18．
13．如图，在中，，，，是上一点，，则的长为__________．
【答案】
【分析】先解直角三角形求出，再根据勾股定理求出，根据已知得出，最后根据勾股定理求出．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：．
14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．
【答案】
【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值．
【详解】解：如图：作于，作于，连接，
四边形是菱形，
，
是中点
，
，且
，，
折叠，
，，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
，，
是等边三角形，
点是中点，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
三、解答题
15．如图，在中，是上的高，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明：是上的高，
，
，．
在和中，
，，
又，
，
．
(2)8
(3)
【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等．
（2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算．
（3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算．
【详解】（1）略
（2）解：∵在中，，
∴可设，，
∵，
．
，又，
．
∵，
，
，
．
（3）解：设，，，
∵，
∴，
．
，
则，
，
∴，
∴，
解得，
．
16．一题多解法 如下图，在中，，，．求的长．
【答案】4
【分析】过点作，交的延长线于点．再根据勾股定理，三角函数给出相应的解答即可．
【详解】解：如图①，过点作，交的延长线于点．
，
，
，
，．
在中，根据勾股定理，得
，
．
一题多解法如图②，过点作，交的延长线于点．
，
，．
设，则，
，
．
在中，根据勾股定理，得
，
即，
解得
（负值已舍去），．
17．如图，在中，点是的中点，连接，，，．
(1)求的长；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由中点的性质等量代换得到，根据等边对等角结合三角形内角和定理推出，进而推出，在中，解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为，在中，根据可设，，根据勾股定理列方程可得，的长，进而得到的长，最后根据计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，．
∴，
∴；
（2）解：过点作，垂足为，
在中，，
设，，
∵，
∴，解得（负值已舍去），
∴，，
由（1）可知，，
∴，
∴．
18．如图，在中，是边上一点，，已知，，求的长．
【答案】
【分析】由得，利用正切函数的定义即可求得，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
19．如图，在中，与分别是边与的高，，，．
(1)求的度数；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过三角形面积公式求出高的长度，然后利用正弦的定义求出的度数；
（2）通过余弦的定义求出的长度，进而求出的长度，最后利用正切的定义求出的正切值．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
，
在中，，
，
．
（2）解：，，
，
在中，，，
．
20．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；
(2)如图②，中，，若，求的值；
(3)如图③，中，，若， ．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值；
（2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题；
（3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．
【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形，
∴．
（2）解：作于点，如图所示：
中，，
，
，
，
即．
（3）解：如图③所示，在上截取，作于点E，
中，，，
设，，则．
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形．
构造直角三角形求边长或面积题型02
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接，如图所示
，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题
2．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __．
【答案】220
【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：
过点作的垂线，垂足为点．
，
设，，
，
可设，，
，
，
，
由，得，
则
故．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
3．如图，中，，，，则_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
．
故答案为：．
4．如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________．
【答案】
【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．
【详解】解：过作，如图所示：
在中，，，
，
在中，，
，即，
，
由勾股定理得；
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
三、解答题
5．如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
6．一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）．
【答案】这块土地的面积为
【分析】解法一：延长，交于点，先求出，，再根据三角函数求出，，最后根据即可求解；解法二：过点作，交的延长线于点，作于点，先求出，，再根据三角函数求出，，结合题意可得四边形为矩形，则，进而得到，根据三角函数求出，最后根据即可求解．
【详解】解：解法一：
如图①，延长，交于点，
，，，
，，
在中，，
．
在中，，
，
；
故这块土地的面积为．
解法二：
如图②，过点作，交的延长线于点，作于点，
，
，
，
，．
，
四边形为矩形，
，
．
，，，
，
，
故这块土地的面积为．
7．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到）
【答案】200mm
【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长．
【详解】解：，，
．
根据题意，得，．
在中，，
．
在中，，
．
矩形的周长．
8．在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
如解图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N．
在中，，
，
，
在中，，
，
．
，
．
【分析】，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N．利用三角函数表示三角形的高，根据三角形面积计算求解即可．
【详解】解：略．
9．如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2）
（参考数据：，，）
【答案】
【分析】此题主要考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，过点作的延长线于点，在中，可得，在中，可得，再根据求解即可．
【详解】解：连接，过点作于点，过点作的延长线于点，
在中，，，
，
在中，，，
，
答：该款战机机翼的面积约为．
10．阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)
证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
仰角俯角问题题型03
一、单选题
1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可．
【详解】解：根据题意，得，，．
2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系．
【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
3．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（ ）
A． B．20m
C． D．
【答案】A
【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解．
【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
在中，，
，
．
故答案为 A．
4．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可．
【详解】解：由题意得：，
，
，
∴
在中，，
∴．
二、填空题
5．如图，，．从A看B的仰角是__________；从B看A的俯角是___________；从B看D的俯角是___________；从D看B的仰角是___________．
【答案】 / / / /
【分析】根据俯角及仰角的定义解决即可．
【详解】解：∵，，
则从A看B的仰角是；从B看A的俯角是；从B看D的俯角是；从D看B的仰角是．
6．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）．
【答案】
【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，米，，
在中，米，
在中，米，
∴米，
∴建筑物A、B之间的距离为米．
7．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
【答案】
【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形，
．
在中，，则．
在中，，
，
．
8．如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：）
【答案】/米
【分析】过点作分别交、于点、，先证明四边形为矩形，进而可得，根据图象可得两树高度之差为，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作分别交、于点、，
根据题意得，，，，，，
∴四边形为矩形，
∵，且C为中点，
，，，
，，
两树之间的高度差为
（米）．
三、解答题
9．如图，两幢大楼相距，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为．如果甲楼高，那么乙楼的高为多少米？（精确到）
【答案】乙楼的高约为89米
【分析】根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，
由题意得：，米，米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴乙楼的高约为89米．
10．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）．
【答案】米
【分析】解直角三角形，求得即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
米，
米，米，
（米），
答：A、B之间的距离为米．
11．如图，两座建筑物和的水平距离为，从点A测得点D的俯角，测得点C的俯角．求这两座建筑物的高．（精确到）
【答案】两座建筑物和的高分别约为和．
【分析】过点A作，交的延长线于点E，利用矩形的判定和性质，得到，然后分别解直角三角形求解即可．
【详解】解：过点A作，交的延长线于点E，
根据题意，得，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，．
答：两座建筑物和的高分别约为和．
12．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，）
【答案】这栋楼的高度约为
【分析】先解直角三角形求出，的长，再根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：，，，
∴在中，，
在中，，
∴，
答：这栋楼的高度约为．
13．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，．
【答案】
【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可．
【详解】解：设，，由题意知，
∵，，，
∴，
又∵，
即且，
∴四边形为平行四边形，
∵，即，
∴四边形为矩形，
同理可得四边形、四边形也为矩形，
∴，，，
∴，
，
∴，
解得，
∴，
∴．
方位角问题题型04
一、单选题
1．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】在中，利用的长，以及的度数，根据三角函数即可求得的长．
【详解】解：根据题意得：在中，，
∴，
∴米．
即河宽为米．
2．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
【答案】C
【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间．
【详解】解：由题意可得，，，千米，
∴在中，，即，解得千米，
∴行驶时间（小时），
取，得（小时），
故C选项符合题意．
3．上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【分析】过点B作于点N，解直角三角形可求得的长；再根据直角三角形的性质可得，从而求得的长．
【详解】解：由已知得，（海里），，，
∴，
过点B作于点N，
在直角中，（海里），
在直角中，（海里），
即B处与小岛M的距离为海里．
二、填空题
4．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
【答案】
28.2
【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
设海里，
在中， 灯塔在港的东北方向，
．
海里，海里．
在中，，海里．
，
．
即．
解得．
（海里）．
故灯塔与港之间的距离约为海里．
5．一艘轮船以千米/时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向，继续航行半小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行_____小时，轮船刚好到达小岛的正南方向（，）．
【答案】
【详解】解：如图，过作交的延长线于，
由题意得：（千米），，，
是等腰直角三角形，，
，
设千米，则千米，
，
，解得，
，
（小时），
即再继续航行小时，轮船刚好到达小岛的正南方向．
6．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米．
【答案】
【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答；
【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离，
依题意，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴灯塔到环海路的距离为米．
7．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，）
【答案】
【分析】在中，通过解直角三角形求解即可．
【详解】解：由题意得海里，，，，
∴，
∴在中，（海里）
即P处与B处的距离约是海里．
三、解答题
8．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离．
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出；
（2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
，
，
，，
；
（2）解：如图，设，
，
，
该智能巡检机器人的行驶速度为．
9．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向．
(1)求的度数；
(2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知角度求出和，在中，根据三角形内角和定理求出的度数即可．
（2）根据轮船距离小岛最近时得到的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】（1）解：如图①．由题意，得，，，
，，
．
（2）当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图②．
．
由题意，得，，
，
．
10．郑州奥林匹克体育中心（简称郑州奥体中心）位于郑州市中原区，是河南省投资最高、体量最大、功能最全的大型综合体育场馆．有一天小高在中原西路的A点测得奥体中心（点O）在他的南偏东方向，然后他沿中原西路自西向东步行200步后到B点，他在B点测得奥体中心在他的南偏西方向．小高用卷尺量得他走10步的长度为8.5米，请你计算奥体中心距离中原西路大约有多远．（结果精确到整数．参考数据：，，）
【答案】70米
【分析】利用方向角求出的两个内角，作构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质和正切函数建立方程求解．
【详解】解：作于点，
设米，
由题意，（米），
在点测得奥体中心在南偏东方向，
，
在点测得奥体中心在南偏西方向，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
答：奥体中心距离中原西路大约有70米远
坡度坡比问题题型05
一、单选题
1．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（ ）
A．米 B．4米 C．米 D．8米
【答案】B
【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解．
【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为，
∴，
∴（米），
即传送带的水平距离为4米．
2．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图，
由题意可得，，，
∵某校准备在坡度的山坡上植树，
∴，
∴，
∴．
3．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ）
A．8米 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可．
【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
．
∴四边形为矩形，则，
∵斜坡的坡比，
∴设，则，
在中，根据勾股定理，得，
，解得或（不合题意，舍去），
则，
又∵背水坡的坡比，
，
，则．
二、填空题
4．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【分析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可．
【详解】解：甲的垂直边为：，
∴坡度比为：；
乙的坡度比为：；
∵，
∴乙山坡更陡．
5．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．
【答案】
【分析】坡度竖直高/水平宽，题目已给了竖直高度和坡度，代入公式即可求出水平宽．
【详解】解：设，
则
∴
解得，
所以水平宽度为．
6．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______．
【答案】
【分析】根据坡度的定义得到坡角的正切值，再利用特殊角的三角函数值得到坡角的度数．
【详解】解：设这个斜坡的坡角为，
由坡度的定义可知，坡度等于坡角的正切值，
，
，
，
这个斜坡的坡角为．
7．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米．
【答案】12
【分析】过点作交于点，作于点G，则四边形为平行四边形，且，结合平行四边形的性质及正切函数求解即可；
【详解】过点作交于点，作于点G，则，
∵
∴四边形为平行四边形，
，，
由题意得：，，
在中，，
在中，，
，
．
三、解答题
8．如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成．
(1)求加宽部分横断面的面积．
(2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？
【答案】(1)加宽部分横断面的面积为平方米
(2)完成这一工程需要立方米的土
【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积；
（2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土．
【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则．
∵，则，
∴四边形是矩形，
∴，
根据题意得：，
在和中，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
答：加宽部分横断面的面积为平方米；
（2）解：完成这一项工程需要的土方：，
答：完成这一工程需要立方米的土．
9．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长．
【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点．
斜坡的坡度，
．
设，，
，
又，
，
．
由题意得，，
，解得．
，，
，
，
,
又，
，
四边形为矩形，
,
．
建筑物顶部到的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
10．如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点作于点，根据三角函数得出，过点作，于点，根据三角函数得出，，，进而解答即可．
【详解】解：过点作于点，过点作，于点，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
依题意得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
答：居民楼的高为．
构造直角三角形解决实际问题题型06
一、单选题
1．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【详解】解：在中，，
∴米．
2．如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作，作垂直于底面，再根据题意可得，然后根据，求出，最后根据可得答案．
【详解】解：过点A作于点E，作垂直于底面，垂足为点F，
根据题意可得．
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
即成人离地面的最高距离为．
3．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据通过闸机的物体的最大宽度为，即可得到A，B两点之间的距离．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则中，，，
，
同理可得，
又通过闸机的物体的最大宽度为，
A，B两点之间的距离为.
4．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
．
5．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【详解】解：由题意可知，则为直角三角形，
在中，，，，
，
．
二、填空题
6．如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________．
【答案】
【分析】根据矩形性质得出长及高，由旋转性质得长，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出到的距离，加上即为最大高度．
【详解】解：过点作，交直线于点，
四边形是矩形
，，
由旋转性质可知
在中，
打开盖后该垃圾桶的最大高度为．
构造直角三角形与矩形解决实际问题题型07
一、单选题
1．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出．
【详解】解：过点作于点G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
2．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
光线平行且直径与光线垂直，
的长度等于平行光线与之间的距离，即，
在中，，，，
，
．
3．如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解．
【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，，
过点作于点，交于点，过点作于点，
∴，
∵ ，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即容器最高处距离地面的高度是．
二、填空题
4．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】
【分析】作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，进而即可求解．
【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图，
在中，米，，
∴米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
在中，米，，
∴米，
∴米．
三、解答题
5．消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米．
(1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米．
(2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度）
【答案】(1)
(2)解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援．
理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图，
由（1）知：四边形是矩形，
∴，，
此时，
在中，，
∴（米）（米），
∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援．
【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案；
（2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∴，
由题意知：，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴（米），
∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米；
（2）略．
6．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
(1)求A、两点之间的距离；
(2)求长．
(结果精确到，参考数据：，，，，)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点A作，垂足为G，根据勾股定理即可解决问题
【详解】（1）解：连接，过点作，交的延长线于，
，
．
在中，，，
，，
在中，，，
根据勾股定理，得．
（2）解：过点A作，垂足为G，
则四边形为矩形，，，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得．
．
7．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）．
(1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离；
(2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可；
（2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
故眼睛A与屏幕的距离约为；
（2）解：延长交于点M，
由题意可知：，
∴四边形为矩形，
∴，，
，
，
在中，，，
，
，
故桌面到地面的距离约为．
8．赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，她进行了如下的实地测量：
【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角是，，米．
【数据应用】晷针，晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内．
请根据上述数据，解决下列问题：
(1)求该晷针北极端的长度；（结果精确到）
(2)求晷针的针尖到地面的垂直高度．（结果精确到）
（参考数据，，，，，）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）过点作于点，容易判断四边形为矩形，则米，在中，解直角三角形求出即可；
（2）由（1）可得，在中，解直角三角形求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴米，
在中，（米），
答：该晷针北极端的长度约为米．
（2）解：如图，
由（1）得，
∴，
∵，
∴在中，，
∵（米），
∴（米），
答：晷针的针尖到地面的垂直高度约为米．
9．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，）
(1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
(2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度．
【答案】(1)点A到直线的距离约为
(2)
【分析】（1）过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形为矩形，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据点A到直线的距离为求解；
（2）依题意画出图形，在中，解直角三角形可得旋转后的度数，则旋转的角度等于减去旋转后的度数．
【详解】（1）解：如图，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形为矩形；
由题意可知， ，，，，
在中，，
，
又∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，
在中，，
∴，
∴点A到直线的距离约为；
（2）解：依题意画出图形，如图
在中，，，，
∴，
∴，
∴旋转的角度．
10．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，）
【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为
(2)线段的长度约为
【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可．
（2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可．
【详解】（1）解：如图，
过点作于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，
，
，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为．
（2）解：如图，
过点分别作，垂足分别为，，
∴四边形是矩形
∴，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
，
，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
，
答：线段的长度约为．
构造背靠背模型解决实际问题题型08
一、单选题
1．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解；
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
在中， ∵，，
∴， ，
∵，
∴，
在中， ∵，
∴．
二、填空题
2．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为_____．（结果精确到0.1，，）
【答案】
【分析】过点作于点，构造直角三角形．在中，利用锐角三角函数求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长．最后在中，利用勾股定理求出的长，并根据要求进行近似计算．
【详解】解：如图，过点作于点，在中，
∵，，，
，
由勾股定理得，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
三、解答题
3．长江自西南向东北斜贯安徽南部，依次流经安庆、池州、铜陵、芜湖，马鞍山5市，全长416千米（约合800里，故称“八百里皖江”）．为传承弘扬长江文化，某校组织学生到长江某段流域进行研学，数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量长江某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以点为参照点在河这边沿河边任取两点，，测得，，量得的长为，求该河段的宽度．【精确到1米，参考数据：，，，，，】
【答案】该河段的宽度约为米．
【分析】过点A作于点D，则，设米，在中，由可得，在中，由可得，根据可得，解方程即可求出河段的宽度．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
，
设米，
在中，，，
，
米，
在中，，，
，
米，
，
，
解得：．
∴该河段的宽度约为米．
4．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：，，米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】94米
【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，过点作，垂足为点，
在中，
∵，米，
∴，，
∴（米），
（米），
在中，
∵，米，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：、两点之间的距离约为94米．
5．渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，；
2．测量，的度数；
3．测量，两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得；
2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离．
测量数据
，，．
，，．
备注
1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：，，．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）．
【答案】这段河道的宽度为
【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可．
【详解】解：方案一：过点作于点，
∵，
∴在中，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴这段河道的宽度为；
方案二：过点作于点，交于点，
∵
∴，，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∴，
答：这段河道的宽度为．
6．如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】华夏古槐王的高度约为26米
【分析】先分别利用三角函数表示出，再根据构建方程求解．
【详解】解：根据题意，，
则在直角三角形和直角三角形中，
，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
答：华夏古槐王的高度约为26米．
7．如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上．
①_________°；
②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
证明：，
∴根据光的反射定律可知．
．
∵，
．
是等边三角形；
(2)①75 ②的长为厘米
【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论；
(2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到；
②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果．
【详解】（1）略
（2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置，
∴根据光的反射定律可知，
∴；
②解：如图②，过点P作于F，
由(1)知，由①知，
∴．
由(1)知是等边三角形，又知厘米，
∴(厘米)，
又∵，
∴，(厘米)，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴(厘米)，
∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米．
构造子母模型解决实际问题题型09
一、单选题
1．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解．
【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且．
在 中，，
，
．
在中， ，
∵，
．
∴米．
二、填空题
2．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，）
【答案】
【分析】作于D点，则．在中， 根据，可得，同理可得，进而可得．本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，作于D点，则．
在中，，
∴，
即，
∴．
在中，，
∴，
即，
∴．
∴．
三、解答题
3．某型号起重机吊臂底端为点O，顶端为点B，货物M通过吊索与B连接．初始平行于水平地面，，米，．吊臂与吊索的长度保持不变，将吊臂绕点O逆时针旋转至，旋转后点B、M的对应点分别为点、（始终与地面垂直），当时，求货物M上升的高度（参考数据：）．
【答案】货物M上升的高度为2.1米
【分析】先利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出米，延长，交水平线于点N，解直角三角形求出，最后求出货物上升的高度即可．
【详解】解：如图，延长，交水平线于点N，则，
∵，，米，
∴（米），
∵旋转后长度不变，即米，米，
在中，，
∴（米），
∴上升高度为：（米），
∴货物M上升的高度为2.1米．
4．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．
活动主题
地下车库入口改造
采集信息
图1是地下车库入口示意图．
①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，．
②斜坡的长为，．
③车库限高．
设计方案
如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使．
完成任务
任务一：求的长．
任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）．
【答案】任务一：的长约为．任务二：．
【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解；
任务二：采用去尾法求近似数即可．
【详解】任务一：
解：如图，作，垂足为，
∵，，
∴，，
∴在中，，
，
∴在中，，
∴．
任务二：
解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为．
5．项目式学习
某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一种新型方法探测．某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土层表面的距离，方案如下：
课题
探测文物到土层表面的距离
方法
侧方射线探测法
示意图
说明
如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物周边脆弱区域，射线与土层表面的夹角为；再在距离B处的C处探测，射线与土层表面的夹角为．
测量数据
，，
请你根据上表中的测量数据回答以下问题：
(1)__________，__________；
(2)计算文物所在地A处到土层表面的距离．（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)22；35
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等可进行求解；
（2）过点A作于点F，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解．
【详解】（1）解：根据对顶角相等可知：，；
（2）解：过点A作于点F，则，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
，
∴；
答：文物所在地A处到土层表面的距离约为．
6．某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．
课题
大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究
项目背景
夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．）
调查方式
资料查阅、实地测量
调查内容及示意
活动一：利用不同时刻的影长求树高
实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米…
活动二：利用树影计算休息区的长度
实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘．
请根据活动报告计算：
(1)求活动一中树的高度．
(2)求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）解直角三角形得出，，根据米，列出关于的方程，解方程即可；
（2）解直角三角形得出（米），（米），即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
即，
解得：米，
答：树的高度为米；
（2）解：根据题意得：米，，，，
∴，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
答：需要新增的休息区长度为米．
一、单选题
1．五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：令和交于，
，，
，，
，
，
．
2．如图，中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴在中，，
则，
在中，，
，
又∵，
∴，
则．
3．如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别延长，两线交于点G，则可证明，从而得，再由正弦定义即可求解．
【详解】解：如图，分别延长，两线交于点G，
∵F是边的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
4．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解.
【详解】解：如图，过A作于E，
根据题意，得，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
即灵霄塔的高度是.
5．在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积减去小菱形的面积即可．
【详解】解：由图3可得，
，
在菱形中，，
，
作于，交于，
四边形是菱形，
，
，
，，
中，，
点，分别为，的中点，
，
同法可求得，
．
6．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点作，则有，由四边形是美角为的圆美四边形求出，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：连接，过点作，如图所示：
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵四边形是美角为的圆美四边形，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
二、填空题
7．如图，风筝拉线长为，且拉线与地面夹角为．若拉线是直的，则风筝离地面的高度约为________．（结果保留整数．参考数据：）
【答案】61
【分析】过点A作于点D，再利用锐角的正弦求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
根据题意，得，
∵，
∴
∴风筝离地面的高度约为．
8．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
【答案】
【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形，
．
在中，，则．
在中，，
，
．
9．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________．
【答案】24
【分析】解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴；
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵在中，对角线，相交于点，
∴，
∴．
10．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】
【分析】作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，进而即可求解．
【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图，
在中，米，，
∴米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
在中，米，，
∴米，
∴米．
11．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里）
【答案】68.3
【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解．
【详解】过点D作于H，则，
由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上．
在A处望见D在南偏西，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
在B处望见D在南偏东，
同理，也是等腰直角三角形，．
∴，
∴．
已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C，
∴海里．
∵在C处望见D在南偏东，
∴，
在中，，
即．
又∵，
∴ ，
整理得，
解得．
，
代入，
得（海里）．
12．如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7）
【答案】
【分析】过作于G，根据题意求得的长及，然后，在中，根据的正弦值代入数据计算即可．
【详解】解：如图2，过作于G，
∵，，，
∴，
∴，
根据题意知，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
三、解答题
13．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：过点E作，垂足为点H，
由题意可知： ，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为1.3.
14．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为
解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号：
(1)填空：___________°，___________；
(2)求，两点之间的距离；
(3)求纪念碑的高度．
【答案】(1)，36米
(2)米
(3)米
【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可；
（2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答．
（3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴；
在中，，米，
∴米．
（2）解：如图：过点E作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
米，
∵，，
∴，
∴米，
∴米．
（3）解：∵四边形是矩形，米，
∴米，
在中，，米，
∴米．
∴米．
15．如图，图①是我国宋代时期发明的立式风车，是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械．图②是现代人根据风车设计的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．图③是该风力发电机的简化示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点在同一平面内）．点在右侧，且，求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，）
【答案】此时风叶的端点距地面的高度约为
【分析】延长交于点，设线段与交于点，根据最高点与最低点距地面的距离可求得圆的半径；过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，进而求得的度数，解直角三角形求得，进而可求得结果．
【详解】解：设线段与交于点，延长交于点，如图．
由题意，知，，
，
．
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，
，．
由题意可知，
，
．
，
，
．
答：此时风叶的端点距地面的高度约为．
16．某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为；
（2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为；
（3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，．
测量数据
，，，
参考数据
，，
，，
请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数）
【答案】
【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可．
【详解】解：已知，，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
因此，此建筑的高约为．
17．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：
测量任务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示意图
已知条件
凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行．
实施过程
凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角．
当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角．
解决对应的问题．
任务一：（参考数据：，）
(1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数）
(2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数）
任务二：（参考数据：，）
(3)求凤舟最后10秒的平均速度．
【答案】(1)米；
(2)米/秒；
(3)3.5米/秒．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可；
（2）同（1）计算即可；
（3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度．
【详解】（1）解：由题意知：，，
∴，，
因此是直角三角形，，
∴，
即米；
（2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度，
由题意知：，，
∴，，
∴是直角三角形，，
，
∴米，
∴米/秒；
（3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，
可得四边形是矩形，
∴米，
根据三角函数可知米，
同时米．
∵，，
∴，
解得，
因此平均速度米/秒．
18．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动．
【特例探究】
(1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积；
【一般证明】
(2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ；
【迁移应用】
(3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？
【答案】(1)
(2)证明： ， ， ，
过点作 交于点，
，
，
，
即 ；
(3)
【分析】（1）利用 可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积；
（2）过点作 交于点，再根据 可以求出高的代数式，进而证明结论；
（3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、 的面积代数式，再根据求出的长度；
【详解】（1）解：在 中，，
，
；
（2）略；
（3）解：∵是的平分线，
，
由（2）可知：，
，
，
，
．
19．图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论；
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解；
（2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断；
②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，，，
，，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
．
（2）解：①如图，由平移的性质可知，，，
四边形为平行四边形，
，
同理可得，四边形为平行四边形，
，
．
②如图，连接．在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
20．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上.
(1)的度数为______.
(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号）
(3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示
①点到点之间的水平距离为______米；
②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数）
(4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)千米
(3)①米；②约米
(4)米
【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求；
（2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解；
（3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米；
（4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高．
【详解】（1）解：如图1，由题意得，
∵在的北偏西方向，
∴在的南偏东方向，
∴，
∴，
∴的度数为．
（2）解：过点作于点．
在中，，，，
∴，
．
在中，，，
∴，
∴，
∴，两地的距离为千米．
（3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米，
∴点到点之间的水平距离为（米）．
②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟，
∴坡面的长为（米）．
∵坡面的坡角为，
∴从点到点的垂直上升高度为（米），
∴山顶点处的垂直高度（米），
∴山顶点处的垂直高度约为449米．
（4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形，
∴，，
∵树高米，无人机垂直高度米，
∴点与树顶的垂直距离为（米）．
∵树顶的俯角为，则
，
∴（米），
∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米，
∴（米）．
由塔顶的俯角为得：
，
∴，
∴，
∴塔高为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高．
一、单选题
1．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得．
【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处，
∴，
∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线，
∴，
∵处在南偏东方向上，，
∴在的北偏西方向，
∴，
∴，
过点作，垂足为点，即，如图：
∴，
∴，
∴．
2．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接．
∵直径，，
，
．
平分，
．
，
，
．
在中，．
的半径为．
在中，
，
．
．
，
，，
，
．
二、填空题
3．在中，是直线上一点，且，则的周长为______．
【答案】或
【分析】先求出的长，再分三种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，③点在线段的延长线上，求出，的长，由此即可得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时的周长为；
②如图，当点在线段的延长线上时，
同上可得：，这与在钝角中，不符，舍去；
③如图，当点在线段的延长线上时，
同上可得：，，
∴，
∴此时的周长为；
综上，的周长为或．
4．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）．
【答案】
【分析】过点作于点，于点，构造矩形，设， 根据矩形性质得，则，在中，根据得到，在中，根据锐角三角函数得到，利用线段和差关系列方程，求出点到的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，于点．
，，，
∴，
四边形为矩形，
，．
设，则，．
在中，，
，
．
在中，，
∴．
，
，
解得，
即点到的距离约为．
5．如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，）
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意可得、、三点共线，由三角形的内角和定理可得，再根据三角函数求出，进而利用三角函数求出、，再求出，根据勾股定理求出，利用线段和差求出，然后求出走私船从到所用时间，最后根据速度路程时间，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北，
，，
、、三点共线，
海里，
海里，海里，
海里，
海里，海里，
走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时．
三、解答题
6．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米．
【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G．
由题意可知，，，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形．
∴米，．
在中，，（米），
∴（米）．
设（米），
在中，，
∴（米），
在中，，
∴，
∴，
∴．
观察图形可知，，
代入数值：，
解得．
∴（米）．
答：该风力发电机塔杆的高度为28米．
7．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程．
(2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米）
(3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号）
(4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________．
【答案】(1)，；
证明：，
，
；
(2)米．
(3)米；
(4)
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可；
（3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可；
（4）同（3）理证明即可．
【详解】（1）略
（2）解：，
四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
（米），
（米），
答：树高为米．
（3）解：由题意可知，，，，米，
，，
点、到地面的距离、均为米，
米，
四边形是矩形，
，米，
，
米，
设米，
在中，，
米，
在中，，
（米），
，
，
，即米，
米，
答：的长为米；
（4）解：由（3）可得，，，
设，
在和中，，，
，
，
解得：，即，
．
8．【活动背景】
如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下：
①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上；
②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处；
④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．）
【问题解决】
测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，．
(1)_________；点到点的距离为_________．
(2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到）
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）过点作平行于的水平线以及垂直于的垂线交于，利用平行线性质、光的反射定律算出，代入求出；在中，由、求出，再利用三角形外角性质和等角对等边得到．
（2）先根据反射角算出，算出，得到，结合推出，得到平分，由等腰三角形三线合一得，在中代入，求出，用得到土坑深度．
【详解】（1）解：如图，过点作水平线，作，垂足为，交于点．
，
．
由题意无人机显示距离水平地面高度为15m，
．
，
．
，根据光的反射定律，反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，
．
同理，，
．
，
．
在中，，，，
，
．
是的外角，
，
，
．
（2）解：由光的反射定律可知，
，
．
，
，
，即是的平分线．
，
．
在中，，，，
．
，
．
答：土坑的深度约为．
一、单选题
1．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
光线平行且直径与光线垂直，
的长度等于平行光线与之间的距离，即，
在中，，，，
，
．
二、解答题
2．遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为．
测量示意图
参考数据
，，，，，．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米）
【答案】
【分析】过点作，构造矩形证，，设塔高为，然后表示出，再根据两个仰角的正切值表示出并列方程，求解得到塔高．
【详解】解：如图，过点作，
根据题意可知，，，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为86米．
3．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于，根据正弦的定义求出；
（2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
在中，，m，
则m，
答：小明一家步行上升的垂直高度约为；
（2）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
4．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求．
【详解】解：如解图，延长交于点，则，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
河宽约为．
5．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）
【答案】树的高度为16.5 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
由题意得，，，解求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，，
∴，
∴
答：树的高度为16.5 米．
试卷第1页（共3页）
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