2.3解直角三角形（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 该同步练习以“解直角三角形”为核心，通过A、B、C组及拓展分层设计，实现从基础巩固到思维拔高再到中考衔接的递进式知识巩固，培养数学抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|已知两边/一边一锐角解直角三角形|基础题型为主，含计算题与简单证明，巩固三角函数概念与基本运算| |B组|构造直角三角形、四边形与坐标系中的应用|综合题型，如网格问题、不规则图形面积计算，发展几何直观与空间观念| |C组|动态问题、新定义与探究性问题|开放探究题，如运动路径分析、倍半角关系研究，培养创新意识与推理能力| |拓展|中考真题|精选近年中考题，如旋转问题、垂直平分线应用，衔接升学测评需求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3解直角三角形 目录 A组巩固过关 题型01已知两边解直角三角形 题型02已知一边和一锐角解直角三角形 题型03解斜三角形一构造直角三角形 题型04在平面直角坐标系中解直角三角形 题型05构造直角三角形求不规则图形的面积 题型06在四边形中解直角三角形 题型07网格问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 已知两边解直角三角形 1.(25-26九年级上广东河源期末)如图，在Rt△4BC中，∠B=90°，AC=4,BC=2V5,则∠A的度 数为 2.(25-26九年级上浙江金华期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边上的一点，BD=2CD, 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 sinB= AB=9, 3, 则AD= B D C 3.(25-26九年级上河北邯郸期末)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、 b、c.其中a=2,c=4,解这个直角三角形. 4.在RIABC中，∠C=90,AB=10sinA= ,求BC和AC的长. 5.(25-26九年级上山东青岛阶段检测)已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3,b=4,解此直角三角形. (参考数据：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75) 6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC D (1)求证：AC=BD (2若AD=12’ sinC=12 3,求BD 颗型02 已知一边和一锐角解直角三角形 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D、E分别为边AB、AC的中点，连接 DE、CD,若DE=2V3,则CD的长度为() B A.3 B.3V3 C.3.5 D.4 2.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,AC中点为D,BC上点E满足ED⊥AC,若DE=2N3,则 AC的长为() 2112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.45 B.12 c.25 D.4 3.在△ABC中，∠C=90° (1)已知c=25,∠A=30°，求∠B,a,b. (2)已知a=5V6,∠A=45°，求∠B,b,c. 颗型03 解斜三角形—构造直角三角形 1.(25-26九年级上·河北张家口·期末)如图是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC 的长为() 2√2 B45 2 2 A.2cos65' B.2sin65 C. c0s65 D. sin65 2（2026广东深册模拟预测)如图，在ABC中，血B 5,tanc= 2,AB=5,则BC的长为() A A.11 B.12 c.13 D.14 3.(2026广东深圳三模)由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB= AC=2√3，求AB的长”·小南查找了书本提供的答案：AB=5,通 过计算得知污渍部分的内容是() C 2 5 A. 2 B.1 C.3 D.2 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.△4BC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm,求BC边的长度. 题型04 在平面直角坐标系中解直角三角形 1.(25-26九年级上广西崇左期末)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(4，m),且 Op与x轴正半轴的夹角a的余弦值是5，则an∠a的值是（) 0 A. 5 c D.3 2在平面直角坐标系中，将点A(0,6)绕原点按顺时针方向旋转45°得到点A,则点A的坐标为 3.(25-26八年级下·河南焦作期末)如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边 AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为() 9 c.5,5) 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 构造直角三角形求不规侧图形的面积 1.(23-24九年级，湖南益阳·期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7,BC=9, CD=3,则四边形ABCD的面积为() A.48 B.50 C.52 D.54 2(2425九年级下山东济南开学考0如图，在。8C,已知8=3C-4·sn4 F3,求AABC 的面积。 ⊙ 3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E在AD的延长线上，使∠I=∠BAD B E A D (1)求证：CE=AB 2)若AB=6,BC=24,tan∠1=2V2,求SM 的值。 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型06 在四边形中解直角三角形 3 1-如图，在菱形ABCD中，DE1 cos1=5,AE=3,则DB的长是() A.5 B.2 D.25 2.(2026山西大同模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC,BD交于点O,E,F分 别为边AD,CD的中点，连接EF,若EF=V5,则BD的长为() D F E A.1 B.5 C.2 D.2V5 3.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E, 且sin∠BAE= 3,若AB=3?则4D的长是() D A.23 B.6 c.42 D.62 4.(2026海南省直辖县级单位二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则CF的长为() D A.5 B.6 C.7 D.8 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2526九年级下广东惠州期中)如图，四边形ABCD是矩形，四边形BEFG是边长为4的正方形，点 E在边AD上，点C在边FG上.若BC=5,则AB的长为() B E 8 A. 2 B.3 c. D.5 6.(25-26八年级下江西吉安期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6.点F是AB 中点，连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D在AC上.求： D E C (1)线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE为平行四边形： (2)平行四边形CFDE面积. 颗型07 网格问题 1.(25-26九年级上浙江宁波期末)如图，点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上，则sin∠BAC= B 2.如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都在格点上，那么 ∠ABC的正切值是 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下·吉林期末)如图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按 下列要求作图，保留必要的作图痕迹 B 图① 图② 图③ (1)在图①中，作△ABC的中线AD； (2)在图②中，在BC上找一点E,连接AE，,使得SBe=2S。4CE; 3)在图③中，在4C上找一点P,连接 P 使sin∠ABP=5 5 0 B组 能力进阶 1.新定义如图，图中提供了一种求cot15° tan15 =cot15° 的方法.作Rt△ABC,使∠C=900, ∠ABC=30°，再延长CB到点D,使BD=BA,连接AD,即可得∠D=15°.如果设AC=1,则可得 D=2+V5)则ot15=cotD=C22+V3.用以上方法，则0223P AC 2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.构建几何图形解决代数问题是“数形结合” 思想的重要应用，在计算tanl5°时，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=l5°，所以 tanl5o=4C=1。 2-5 C02+52+52-2-5.类比这种方法，计算m250的值为 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30°￥ 15 B D 3.(25-26九年级上河南新乡期末)定义：若∠P为三角形的顶角，在顶角所对的底边上找一点Q,连接 PO,使得线段P巴将顶角∠P分成两个角，若其中一个角与线段P巴另一侧的一个底角相等，则称点Q为 该三角形的“等角点”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,若点D是△ABC的“等角点”， 则CD的长为 4.如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线 BD上 D G (1)求证：BG=DE: 2)若B为AD的中点，AB=5 sin∠ABD=3 ,求FG的长. C组 思维拔高 3 1如图1和图2，在AABC中，AB=AC,BC=8,amC=4,点p从点A出发沿折线AB-BC匀速移动， 到达点C时停止；而点D在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ=∠B B B 图1 图2 (1)当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； (2)若点P在AB上，且PO将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求AP的长： (3)当P在BC上，且CQ=3,求BP的长： 9112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上江苏扬州期末)在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角三角 函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究. (1)初步尝试： 我们知道：tan60°= -,tan30°= 发现结论： 2 tan- tan a 0(填“或“主”) (2)操作探究： 如图，已知Rt△ABC,∠C=90°， ①利用直尺和园规：在边BC上求作一点D'使得∠B=)∠ADC 回在①的条件下，若anZB=3,求an∠DC的值) B (3)迁移应用： 在aABC中，∠A为锐角，an∠A= 3,∠B=2∠A'AB=3,则SAARC= 3已知任意三角形的两边及夹角（是锐角)，求三角形的面积. 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究. 探究一：在Rt△ABC(图1)中，∠ABC=90°，AC=b,BC=a,∠C=a,求△ABC的面积（用含a、 b、a的代数式表示) 在Rt△ABC中，∠ABC=90° AB ,∴.sina= AC' .∴.AB=bsin a 1 1 :.SAARC BC.AB=absin a 2 2 探究二： 锐角△ABC(图2)中，AC=b,BC=a,∠C=a(0°<a<90) 求：△ABC的面积.（用含a、b、C的代数式表示） 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探究三： 钝角△ABC(图3)中，AC=b,BC=a,∠C=(0°<a<90) 求：△ABC的面积.（用含a、b、a的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是一一 【问题应用】 已知平行四边形ABCD(图4)中，AB=b,BC=a,∠B=a(0°<a<90) 求：平行四边形ABCD的面积.（用含a、b、a的代数式表示） 图1 图2 图3 图4 拓展 链接中考 1.(2025江苏南通中考真题)在。1BC中，∠C=90mA=4C=25,则BC的长为（) A.1 B.2 c.5 D.5 2.(2026陕西中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分线交BC 于点D,交AC于点E,则DE的长为() A.2 B.3 c.25 D.4V5 3.(2026四川自贡中考真题)如图，Rt△OAB中，∠B=30°，OA=2,AB平行于x轴，将Rta0AB绕原 点O顺时针旋转180°到△OCD位置，CD交'轴于点P,则点P的坐标为() 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个 A(0,-5) B.(0,5) c.(0,-1) D.（-3,0) 12/12 分层作业 2.3解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知两边解直角三角形 题型02 已知一边和一锐角解直角三角形 题型03 解斜三角形——构造直角三角形 题型04 在平面直角坐标系中解直角三角形 题型05 构造直角三角形求不规则图形的面积 题型06 在四边形中解直角三角形 题型07 网格问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 已知两边解直角三角形题型01 1.（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】求出的正弦值，即可求解度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 2.（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据已知条件利用解直角三角形得出，通过勾股定理求得的长，再由求得的长，最后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴中，， 即，解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 3.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，， 4.在中，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由解三角形求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，为斜边，， ∴． 根据勾股定理． 5.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知中，，若，，解此直角三角形．（参考数据：，，） 【答案】此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理求出斜边，再解直角三角形求出，进而求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， 故此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，，． 6.如图，在中，是边上的高，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义、正切和余弦的定义，结合即可解答； （2）在中，根据，求得，结合（1）中的结论即可解答． 【详解】（1）证明：是边上的高， ， ， ， ． （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ． 已知一边和一锐角解直角三角形题型02 1.如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2.如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 3.在中，． (1)已知，，求，，． (2)已知，，求，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，再由正弦的定义计算即可得出结果； （2）由三角形内角和定理可得，由等腰三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ． 解斜三角形——构造直角三角形题型03 1.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 故选：C． 2.（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 3.（2026·广东深圳·三模）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于H．利用正弦求得，利用余弦求得，求出，然后求得的值． 【详解】解：如图，过点C作于H． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴污渍部分内容为． 4.中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 在平面直角坐标系中解直角三角形题型04 1.（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形． 过点P作轴于点A，先由余弦定义求出，再由勾股定理求解，最后利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示：过点P作轴于点A， ∵P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∵与x轴正半轴的夹角的余弦值是， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2.在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 【答案】 【分析】点在轴正半轴，旋转后长度不变，旋转夹角为，构造直角三角形，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴， ∵将点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，． 过点作轴于点， ∴， ∴在中，， ， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 3.（25-26八年级下·河南焦作·期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质先得到内角的度数，利用边长求解出点D的坐标，找出正六边形旋转的规律，确定经过多次旋转后顶点D的位置即可求解． 【详解】解：连接，，过点C作于点M，如图， 在正六边形中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴点． ∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， 又∵， ∴每6次一个循环． ∵， ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同． ∵点D与点关于原点成中心对称， ∴， ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标． 构造直角三角形求不规则图形的面积题型05 1.（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 2.（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 3.如图，在中，D为的中点，点E在的延长线上，使． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析， (2)， 【分析】（1）过点B作，过点C作，先可以证，得到CF=BG，再证就可以证明CE=AB； （2）由，可令，用勾股定理可算出a的值，这样DE，DG，AG的长都可以表示出来，两个三角形面积的比值也就算出来了． 【详解】（1）证明：如图1过点B作，过点C作， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）由， 则设， 在中， 有， 即， 解得， 则， 由得， 在中， 则． 【点睛】本题考查全等三角形、三角函数的应用和勾股定理；熟练掌握全等三角形的判定和用勾股定理解三角形是解决本题的关键． 在四边形中解直角三角形题型06 1.如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2.（2026·山西大同·模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点O，E，F分别为边的中点，连接．若，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】易证是的中位线，根据三角形中位线的性质可得，再根据菱形的性质可得，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：，分别为边，的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ∴， ． 3.（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点E，且，若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，同角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵正方形，边长为， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 在中，. 5.（25-26九年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形及矩形的性质可得，即，进而列出边的比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 6.（25-26八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．求： (1)线段在平移过程中扫过区域形成的四边形为平行四边形； (2)平行四边形面积． 【答案】(1)由平移的性质可知，线段是由线段沿射线方向平移得到的， ， 四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）根据平移的性质即可得到四边形为平行四边形． （2）先根据勾股定理求出的值，再利用直角三角形的中线以及平行四边形的性质得到，根据它们的余弦值相等，列式得到的值，最后求出平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， ， 点是中点， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ，解得， 在中，， 所以平行四边形面积为． 网格问题题型07 1.（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是关键．在上取格点D，连接，则，根据勾股定理求出，，即可根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图， 在上取格点D，连接， 则， ，， ． 故答案为：． 2.如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， 由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20， 由于AC＝2， 设AD＝x，易得AB=, ∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴4﹣x2＝8﹣（2﹣x）2， 解得：x＝， ∴BD＝ ∴由勾股定理可知：CD＝， ∴tan∠ABC＝， 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 3.（25-26八年级下·吉林·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 1.新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 2.如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 【答案】 【分析】作，使，延长到，使，连接，根据等腰三角形的性质可得，再求出，设，则，然后利用正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，作，使，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 3.（25-26九年级上·河南新乡·期末）定义：若为三角形的顶角，在顶角所对的底边上找一点，连接，使得线段将顶角分成两个角，若其中一个角与线段另一侧的一个底角相等，则称点为该三角形的“等角点”．在中，，，，若点是的“等角点”，则的长为____________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是理解新定义．分两种情况讨论：当点D在上时，当点D在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点D可能在或上，不可能在上， 当点D在上时，只能是，如图所示： ∴， ∴， 即； 当点D在上时，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 4.如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可证，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）连接，交于点，作交于点K，先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，进而根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，，，根据三角函数及勾股定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理求出，根据题意得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接，交于点，作交于点K， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ∵， ． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，​，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∴． 1.如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 【答案】(1)3 (2) (3)3或5 【分析】（1）由垂线段最短可以得到AP是的高时，点与点的最短距离,再利用解直角三角形即可求出AP的长； （2）由勾股定理可求AB，通过证明，再由面积比转化为边长的比，可求AP的长，即可求解； （3）先证明，再利用相似三角形的性质即可 【详解】（1） 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点在上时，点到的最短距离为3 （2）如图1中，∵， ∴， ∴， ∵将的面积分成上下， ∴， ∴， ∴， （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴ 解得或 所以的长为3或5 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求长度是本题的关键． 2.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． (1)初步尝试： 我们知道：_____________，_____________； 发现结论：_____________（填“=”或“”） (2)操作探究： 如图，已知Rt，， ①利用直尺和圆规：在边上求作一点，使得 ②在①的条件下，若，求的值； (3)迁移应用： 在中，为锐角，，，，则___________． 【答案】(1)；； (2)①如图，点D为所求； ② (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值即可得出答案，根据即可得出答案； （2）①作的垂直平分线，交于点，连接，则； ②过点D作交于点，得是的平分线，根据三角形面积关系得，设，则，设，则，代入比例式，求出，在中，由勾股定理得，求出，得，从而可求出； （3）过点C作于点D，在上截取，连接，则，再证明，得，在中，，可设，则，则，由此得，在中，由勾股定理可求出，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）解：根据特殊角的三角函数值得：，， ∵， ∴； 故答案为：；；； （2）解：①作的垂直平分线，交于点，则； ∴， ∴， 又， ∴， ∴； ②过点D作交于点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， 设点到的距离为，则, ，， ∴， ∵， ∴设，则 ∴， ∴设，则， ∴， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点D，在上截取，连接，如图所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 3.已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【答案】探究二：；探究三：；问题解决：（是两边的夹角）；问题应用： 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 探究二：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 探究三：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 问题解决：根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面积归纳即可得； 问题应用：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：探究二：如图2，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 探究三：如图3，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是（是两边的夹角）， 故答案为：（是两边的夹角）． 问题应用：如图4，过点作于点， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形的面积为． 1．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 3.（2026·四川自贡·中考真题）如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，，，，，轴， ， ， 中，， 在轴的负半轴， 的坐标为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3解直角三角形 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 已知两边解直角三角形 1.60度2.√4 3.【详解】解：在RIAABC中，∠C=90°，a=2,c=4, 由勾股定理： b=√-a=√42-22=16-4=2=25， sind=4=21 c42’ .∠A=30°， ,∠A+∠B=90°， .∠B=90°-30°=60°， 综上，b=25,∠A=30°，∠B=60° 4【详】解解：在RABC中，∠C=90e·AB=10为斜边，sn1=BC- AB 5' :BC=AB×sim4=10x2=6. 5 根据勾股定理AC=√AB2-BC2=V102-6=√100-36=√64=8. 5.【详解】解：在RIAABC中，∠C=90°，a=3,b=4, c=Va+b=V32+4=5, sin∠A=a-3=0.6. sin37°=0.6， 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=37°， ∴.∠B=90°-∠A=90°-37°=53° 故此直角三角形三边分别为3,4,5，三个角分别为37°，53°，90° B 6.【详解】(1)证明：：AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， :tanB=cos∠DAC, AD AD BD AC' ..BD=AC. (2)解：在Rt△4DC中，AD=12' sinC=AD、12 AC13, ..AC=- A 2=12x8-13 sin C 由(1)可知，AC=BD. “BD=AC=13 颗型02 已知一边和一锐角解直角三角形 1.D2.B 3.【详解】(1)解：∠C=90°，∠A=30°， ∠8-w-A-w,-25-, .sinB= b=6-sm8=2w5x9-=3, 2 (2)解：，∠C=90°，∠A=45°， .∠B=90°-∠A=45°， ∴∠B=∠A, :,b=a=5√6 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .c=Va2+b2= 56)+56ji =10W5 题型03 解斜三角形—— 构造直角三角形 1.C2.A3.D 4.【详解】解：过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D D:∠B=45°∠BAC=15°∠ADC=90° ∴.∠DCA=60°，∠BAD=45° 在RtAACD中， ·cos∠DCA=C AC =c0s60°= 2, sin∠DCA=D C sin60°=3 2,AC=10 ..CD=5,AD=53 在Rt△ABD中， ∠BAD=∠B, ..BD=AD=53 .BC=BD-CD=(53-5cm 颗型04 在平面直角坐标系中解直角三角形 1.D 2. 3W2,32) 3.A 颗型05 构造直角三角形求不规则图形的面积 1.A 2. 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ”AB=3 sin4=BD、2 AB 3' BD=2, 1 AC×BD=二×4×2=4 2 3.【详解】(1)证明：如图1过点B作BG⊥AE,过点C作CF⊥AE, B 11 D G A - 1 .∠CFD=∠BGD=90°， D为BC中点， .CD=BD. :∠CDF=∠BDG, .ACDF≌aBDG(AAS), ..CF=BG, ∠I=∠BAD, ·aCEF≌aBAG, ∴CE=AB, (2)由tan∠BA=tan∠1=22. 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则设AG=a,BG=-2V2a, 在RIABGA中， 有AG2+BG2=AB2, 即a2+(22a)2=62, 解得a=2, 则EF=AG=2,CF=BG=4V2. 由BC=2N41得BD=√41， 在Rt△BDG中DG=VBD2-BG=3, 1 S.CDE= DE·CF DE DE 11 则SABC AD(BG+CF) 2AD2(DG+AG)2×(2+3)10· 颗型06 在四边形中解直角三角形 1.D2.C3.D4.A5.C 6.【详解】(1)由平移的性质可知，线段DE是由线段CF沿射线BC方向平移得到的， ∴CF∥DE,CF=DE, ∴四边形CFDE为平行四边形 (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6, AC=√AB2-BC2=V102-62=8, 点F是AB中点， :.CF=AB=AF=5. 2 :四边形CFDE为平行四边形 ∴.DE=CF=5,CF∥DE, .∠CDE=∠ACF, ..CF=AF, .∠ACF=∠A, .∠CDE=∠A, 在RtACDE中，cos∠CDE=C E' 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R△ABC中，cosA=4C=8-4 AB105' CD 4 5=5,解得CD=4 在Rt△CDE中，CE=VDE2-CD2=V52-42=3, 所以平行四边形CFDE面积为CD×CE=4×3=12, 颗型07 网格问题 5 3.【答案】(1》 (2) M (3) B 0 B组 能力进阶 912 1.2+1 2.2-1 3.4或5 4.【详解】(1)证明：四边形EFGH是矩形， .EH=FG.EH FG. .∠GFH=∠EHF 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF, .∠BFG=∠DHE :四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, .∠GBF=∠EDH, ∴.△BGF≌△DEH(AAS). :.BG=DE (2)解：连接EG,AC,AC交BD于点O,作FK⊥BC交BC于点K, A 四边形 是菱形， ABCD AD=BC,ADI‖BC E为AD中点， .AE=ED ..BG=DE, AE=BG,AE∥BG, .四边形ABGE是平行四边形， .AB=EG 四边形EFGH是矩形， ∴EG=FH .FH=AB, AB=5, FH=5. :四边形ABCD是菱形， ACBD AB-BC=CD-=AD-S 80-2BD. 2 在Rt△ABO中，sin∠ABD=40-3 AB 5'AB=5' ∴.A0=3, 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得B0=√AB2-AO2=4, .BD=2BO=8. BF+DH=8-5=3, :△BGF≌aDEH, 3 ..BF=DH= 2'BG=DE' ,四边形ABCD是菱形， ∴∠CBD=∠ABD. sin∠CBD= FK BE =sin∠ABD=3 FK-3BF=9 10 ·BK=VBF2-FK=12 0 E为AD的中点，BG=DE,AD=5, ·BG=DE= 2 GK=BG-BK=13 10 FG=FR+GK 2 C组 思维拔高 1.【详解】(1) P 0 B H 如图，过点A作AH⊥BC于H, ,AB=AC,AH⊥BC, .BH=CH=4,∠B=∠C, 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠B=tanZC= AH 3 BH-4 ..AH=3,AB AC =AH2+BH2 =3+4=5, “当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3 (2)如图1中，：∠APQ=∠B PO∥BC, ∴.△APQ∽△ABC :P2将△ABC的面积分成上下4：5， S△AP9= :.SABC AP=4 AB9 AP 2 ·AB3, AP=10 · (3):∠APC=∠B+∠BAP=∠APg+∠CPg,∠APQ=LB, ∴∠BAP=∠CPQ, ∠B=∠C, ·.△ABP∽△PCQ、 AB BP :.CP CO' 5= 设BP=x,8-x3 解得x=3或2=5 所以BP的长为3或5 2.【详解】（④）解：根据特殊角的三角函数值得：m60=5,an309= 3, ,tan60°≠2tan30°， 1 .tana≠2tan5a; 2 故答案为：：3≠ 9113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)解：①作AB的垂直平分线，交BC于点D:则∠B=4DC: .'AD =BD, ∴.∠DAB=∠DBA, 又∠ABC=∠DAB+∠DBA, .2∠B=∠ADC, ∠B=2∠ADC: ②过点D作DE‖AB交AC于点E,如图， E C D B LCDE=∠B 2∠B=∠ADC, .∠ADE=∠CDE, DE是∠ADC的平分线， 设点E到AD的距离为h,则CE=h, 1 1 ADxh SADE AD S4E=2 AExCD AE SCDE -CDxCE CD' CExCD CE 2 AE AD CE CD' :tan∠B=I-AC Γ3BC ∴，设AC=1,则BC=3 tan∠CDE=CE-1 CD3· ∴设CE=x,则CD=3x, 、AE=1-x, :1-x40 x 3x' .AD=3(1-x) 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2, P+(3x=[30-x), 解得品 44 .CD=3x 93 tan∠ADC=AC-13 CD44: 3 (3)解：过点C作CD⊥AB于点D,在DA上截取DE=DB,连接CE,如图所示： E ∴.CD是线段BE的垂直平分线， .'CE=CB, ∴.∠B=∠CED .∠CED=∠A+∠ECA,∠B=2∠A, ·2∠A=∠A+∠ECA, ∴.∠A=∠ECA, ∴.AE=CE, 在RUACD中，tanA=CD={ AD 3' 设CD=a,则AD=3a, .DE=AD-AE =3a-AE, .'DE=DB=3a-AE, :'AB=AE+DE+BE=AE+3a-AE+3a-AE=6a-AE, AB=13, V13=6a-AE, .AE=CE =6a-v13, .DE=3a-AE=3a-(6a-V13)=V13-3a 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD+DE2, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :(6a--2+(-3a. 整理得：13a2-3V13a=0, 解得：a=3V3 13,a=0(不合题意，舍去)， :CD=33 13, .S.uc= 1 132 故答案为：2 3.【详解】解：探究二：如图2，过点A作AH⊥CB于点H, B 图2 在Rt AHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=a(0°<a<90), sina=AH、AH AC b' ∴.AH=bsina, ,BC=a,AH⊥CB 之a1Bc的面积为8C,=hsna, 探究三：如图3，过点A作AH⊥CB于点H, H 图3 在Rt△AHC中，∠AHC=90°，AC=b,∠C=a(0°<a<90), sina=AH、4H ACb· ∴AH=bsina, ,BC=a,AH⊥CB 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六△ABC的面积为)BC·AH= -absina 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是 S=)absinC(∠C是a.b两边的夹角)， 故答案为：S=absinC(∠C是2b两边的夹角)， 问题应用：如图4，过点A作AH⊥CB于点H, D 图4 在Rt△AHB中，∠AHB=90°，AB=b,∠B=a(0°<a<90), sina=AH、AH AB b ∴.AH=bsina, .BC=a, ∴平行四边形ABCD的面积为BC·AH=absina 拓展 链接中考 1.C2.C3.A 13/13