2026-2027学年人教版上学期九年级数学期中检测模拟试题（二）

2026-2027学九年级上册数学期中试卷（二) 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星 发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就.下面是有关我国航天领域的图标，其文 字上方的图案是中心对称图形的是() B CASC 中国火箭 中国航天 CHINAROCKET D 中国探月 中国行星探测 CLEP Ma厂S 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义即可求解.本题考查的是中心对称图形的定义，熟知把一个 图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中 心对称图形是解题的关键， 【详解】 A、图形不是中心对称图形，不符合题意： B、图形是中心对称图形，符合题意： C、图形不是中心对称图形，不符合题意： D、图形不是中心对称图形，不符合题意. 故选：B. 1/17 2.反比例函数y=-的图象一定经过的点是() A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,-4) 【答案】C 【分析】反比例函数y=中，k=y=一6为定值依此判断即可.本题考查反比例函数图象上 点的坐标特征，熟练掌握图象上点的特征是解答本题的关键 【详解】解：反比例函数y=-中，k=-6=y, A、:(-3)×(-2)=6≠一6，“此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意： B、:2×3=6≠一6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意： C、:2×(-3)=一6，此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意： D、:(-2)×(-4)=8≠-6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意： 故选：C 3.一元二次方程x2-4x-5=0配方后，结果正确的是() A.(x-2)2=1 B.x-2)2=9 C.(x-4)2=21 D.x-4)2=11 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案.本题考查了一元二次方程的配方法，熟练 掌握配方的步骤是解题的关键。 【详解】 解：原方程移项，得x2-4x=5, x2-4x+4=9, 配方得（区-2）2=9， 故选：B 4.关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足() A.a≥1 B.a>1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组.本题属于基础题，难 度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键. 2/17 由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元 一次不等式组，解不等式组即可得出结论 【详解】 (a-5≠0 解：由已知得： (-4)2-4×(a-5)×(-1)>0 解得：a≥1且a≠5. 故选：C 5.若A(-5,y1),B(1,y),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1,y2,y3 的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2 【答案】B 【详解】解：y=x2+2x+m, 抛物线开口向上，对称轴为直线x三1， :1-(-1)<2-(-1)<-1-(-5), y2<y3<y1, 故选：B 【分析】由二次函数详解式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A,B,C三点与对称轴的距 离大小关系求解.本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌 握二次函数与不等式的关系。 6.若二次函数y=x2-2mx+1,当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是() A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 【答案】C 【详解】解：在二次函数y=x2-2mx+1中， a=1,b=-2m, 其对称轴为直线x一兰一 =m, a=1>0, 抛物线y=x2-2x+1开口向上，当x≤m时，y随x的增大而减小， :当x≤3时，y随x的增大而减小， m≥3. 3/17 故选：C 【分析】根据二次函数的性质分析即可.本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算 是解题关键 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶 B 点A逆时针旋转角度α得到△AB'C',且点C刚好落在CB'上，则 a等于() A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余可得∠ACB=60°，由旋转的性质可得LC'=∠ACB=60°， ∠CAC=a,AC=AC',利用等边对等角可得∠ACC'=∠C'=60°，再运用三角形内角和定理求 解即可.本题主要考查了旋转的性质，掌握其相关知识点是解题的关键， 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°， ∠ACB=60, :将△ABC绕顶点A逆时针旋转角度a得到△AB'C,且点C刚好落在CB上， ·∠C'=LACB=60°，∠CAC=a,AC=AC, ∴.∠ACC=∠C=60°， ·a=∠CAC=180°-∠ACC-∠C=60°， 故选：C 8.二次函数y=ax2+bx+c中的x,y的部分对应值如下表： 3/ 0 3 4 7 0 8 关于它的图象和性质，下列说法正确的是() A.图象开口向下 B.顶点坐标为(1，-9) 4/17 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(2,0) 【答案】B 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各 个选项即可.本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的 坐标特征，此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式 再求解是最优方法， 【详解】解：：抛物线过(-2,0)和(4,0)， -设抛物线表达式为y=a(x-4)x+2), :抛物线过(0，-8)， ∴.-8=a(0-4)(0+2),解得a=1, 即抛物线表达式为y=(区-4)+2)=x2-2x-8=(区一1)2-9， ∴由a=1>0,可知抛物线开口向上，A错误： 由顶点式可知抛物线顶点坐标为(1，一9)，B正确： 由抛物线开口向上、对称轴为x=1,可知当0<x<1时，y随x的增大而减小、当x≥1时， y随x的增大而增大，C错误： 由表中数据可知，抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)，D错误. 故选：B 9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给以下结论： ①2a-b=0: ②abc>0; ③4ac-b2<0; ④9a+3b+c<0: ⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等实数根： ⑥8a+c<0. 其中正确的个数是() 5/17 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二 次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 根据图象的对称轴可判断①，根据图象的开口方向、对称轴，抛物线与y轴的交点可判断②， 根据图象与x轴有两个交点，可判断③，根据函数的对称性，可判断④，根据抛物线的最值， 可判断⑤，根据图象当x=-2时y>0和b=-2a即可判断⑥. 【详解】 解：①抛物线的对称轴为x一兰-1,6一2a, 所以2a+b=0, 故①错误； ②抛物线开口向上，得：a>0: 抛物线的对称轴为x=一台0故b<0: 抛物线交y轴于负半轴， 得：c<0:所以abc>0: 故②正确： ③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点， 则A=b2-4ac>0, .4ac-b2<0, 故③正确： ④根据抛物线的对称轴方程可知： (-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)： 6/17 当x=-1时，y<0, 所以当x=3时，也有y<0, 即9a+3b+c<0: 故④正确： ⑤二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-3， 所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根， 故⑤正确： ⑥由图知：当x=-2时y>0,所以4a-2b+c>0, 因为b=-2a,所以4a+4a+c>0, 即8a+c>0, 故⑥错误； 所以这结论正确的有②③④⑤，共4个. 故选C. 10.已知抛物线y=x2-2x(n≠0)，点P区1，y1),点Q(x2,y2)是抛物线上两点，且-6≤x2≤-4 当x1=-n时，始终满足y1>y2,则n的取值范围为() A.n<-2或n>6 B.n<-2或0<n<6 C.-2<n<0或n>6 D.-2<n<0或0<n<6 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质可得抛物线开口向上，且对称轴为直线x=n,点P(x1,y) 关于对称轴的对称点为点(3n,y),然后分两种情况：当n>0时，当n<0时，即可求解. 本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键， 【详解】解：抛物线y=x2-2nx≠0)，点Px1,y1),点Q(x2,y2)是抛物线上两点， 抛物线y=x2-2nxn≠0)， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线x=, ∴当x1=-n时，点P(x1,y1)关于对称轴的对称点为点(3n,y1), 当n>0时，-n<0,点P区1，y),点Q(s,y2)均在对称轴的左侧，此时y随x的增大而减小， ~点Px1,y1),点Q82,y)是抛物线上两点，且-6≤x2≤-4.当x1=一n时，始终满足y1>y2, .-1n<-6, .1n>6: 7/17 当n<0时，-n>0,3n<0, ~点P区1，y1,点Q(2,y)是抛物线上两点，且-6≤X2≤-4.当x1=一-n时，始终满足y1>y2, -n>-4且3n<-6, n<-2: 综上所述，n的取值范围为n<-2或n>6. 故选：A。 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为 【答案】-2 【分析】根据题意可得：把x=2代入方程x2-x+m=0中 得：4-2+m=0,然后进行计算即可解答 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键 【详解】解：由题意得：把x=2代入方程x2-x+m=0中得：4-2+m=0, 解得：m=-2, 故答案为：-2. 12抛物线y=一（区-4）2+3的顶点坐标为 【答案】(4,3) 【分析】根据二次函数的性质求解即可.本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键， 【详解】解：抛物线y=-(x-4)+3的顶点坐标为(4,3). 故答案为：(4,3). 13.已知抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，其部分图象如图所示，则 3a+c= 【答案】-1.5 【分析】首先由抛物线的对称轴为x=1得到2a=-b,将要求的代数式3a+c恒等 变形为a-b+c,结合抛物线图象与性质确定(3，-1.5)关于直线x=1的对称点是(-1，-1.5)， 且抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，-1.5)，从而得到当x=-1时，y=a-b+c=-1.5,即可 得到答案 8/17 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键. 【详解】解：由条件可知-=1，即2a=-b, 则3a+c=a+2a+c=a-b+c, :抛物线y=ax2+bx+c过点(3，-1.5)，且关于直线x=1对称， (3,-1.5)关于直线x=1的对称点是(-1，-1.5)，且抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，-1.5)， 则当x=-1时，y=a-b+c=-1.5, 即3a+c=-1.5. 故答案为：-1.5. 14.如图，反比例函数y=区>0)的图象经过长方形OABC的顶点 B,OC,OA分别在x轴上与y轴上，则长方形OABC的面积为 B 【答案】6 【分析】由y=区>0)得y=6即可解答. 本题考查反比例函数的几何意义，熟练掌握该知识点是关键， 【详解】解：设B(xy)在y=(x>0)上， ·Xy=6, “S长方形0ABC=0C.OA=y=6, 故答案为：6. 15.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根，则m2-m+mn的值 为 【答案】0 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先求出m-m和mm的值，再代入 表达式计算.本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键， 【详解】解：已知m,n是关于x的一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根， :m是方程x2-x-2025=0的根， m2-m-2025=0,即m2-m=2025. 由根与系数的关系，得mn=-2025. ∴m2-m+1mn=2025+(-2025)=0. 故答案为：0. 9/17 16风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图1， 风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(⑤，5)，在 一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，则第2024秒时，点A的对应点A2024的坐标 为一· 2 图1 图2 【答案】(5,5) 【分析】根据旋转的性质分别求出第1s、2s、3s、4s时，点A的对应点A1、A2、A3、A4的坐 标，找到规律，进而得出第2024s时，点的对应点A2024的坐标. 本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律是解题的关键. 【详解】解：如图所示： A(5,5), ·A在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点O顺时针转动90°， A1(5,-5),A2(-5,-5),A3(-5,5),A4(5,5),…, ·A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， :2024÷4=506, ·A2024(5,5) 故答案为：(5,5). 10/17 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)用适当的方法解方程： (1)x2-4x-2=0 (2)(2x-5)2-(x+4)2=0 【详解】 解：(1)x2-4x-2=0, x2-4x=2, x2-4x+4=2+4, (x-2)2=6, x-2=土V6, 解得x1=2+V6,x2=2-V6: (2)(2x-5)}-(x+4)2=0, (2x-5+x+4)2x-5-x-4)=0, (3x-1)x-9)=0, 3x-1=0或x-9=0, 解得x=9,x= 【解析】 ()利用配方法解一元二次方程即可： (②)利用因式分解法解一元二次方程即可。 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键。 18.(本小题10分) 2025年春节联欢晚会吉祥物已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文 中的“已字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意福从头起，尾随如意”，在市场上一 度走红 11/17 据统计，某电商平台2024年12月份“已升升的销售量是5万件，2025年2月份的 素材1 销售量是7.2万件 某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20 素材2 件. 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定 素材3 降价促销，同时尽量减少库存， 问题解决 任务1 (1)确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率. 任务2 (2)确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务1、 任务2的问题， 【详解】解：(1)设月平均增长率为x, 由题意得：5(1+x)2=7.2, 解得：x1=-2.2(不合题意，舍去)，X2=02=20%, 答：月平均增长率为20%： (2)设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为(100-y-60)元，每天的销售量为(20+2y) 件， 由题意得：(100-y-60)(20+2y)=1200, 整理，得y2-30y+200=0, 解得：y1=20,y2=10(不符合题意，舍去)， 答：每件的售价应降低20元. 【解析】 (1)设月平均增长率是X,根据某电商平台2024年12月份“已升升的销售量是5万件，2025 年2月份的销售量是72万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可： (2)设每件的售价应降低y元，根据使每天销售获利为1200元，列出一元二次方程，解之取符 合题意的值即可. 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元三次方程是解题的关键， 12/17 19.(本小题10分) 如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=2的图象相交于A(6,1),B(-2,m)两点. (1)分别求出一次函数和反比例函数的详解式： (2)根据图象，直接写出满足k1x+b>2的x的取值范围： (3)求△AOB的面积 【详解】解：(1)由条件可得k2=6, 0 反比例函数的详解式为y:是 把B(-2,n)代入反比例函数y2=得，n=-3, B ·B的坐标是(-2，-3)， 把A、B的坐标代入一次函数y1=k1x+b得， 6k1+b=1 -2k1+b=-3' 解得 b=-2 “y1=x-2好 (②)：由(1)知，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2-的图象相交于A(6,1),B(-2, 3)两点， 满足kx+b>2的x的取值范围为-2<x<0或x>6: (3)如图所示，标记一次函数与x轴的交点为点C,过点A作AFIx轴，垂足为点F,过点B 作BE1x轴，垂足为点E, E 由(1)知，一次函数的详解式为y1=x-2, 当y=0时，x-2=0,解得x=4, 13/17 点C(4,0), .0C=4, A(6,1),B(-2,-3), AF=1,BE=3, SaA0B=号×OC×AF+×0C×BE=×4×1+×4×3=2+6=8, ·△AOB的面积为8. 【解析】 )把A6,1)代入y2=得，k,=6,可知反比例函数的详解式是y=受把B(-2,D代入反比例 函数y2=得：n=-3,则B的坐标是(-2，-3)，然后待定系数法求一次函数详解式即可； (2)由图象可知：kx+b>的x的取值范围是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x 的取值范围： (3)标记一次函数与x轴的交点为点C,过点A作AF1x轴，垂足为点F,过点B作BE1x 轴，垂足为点E,求出点C(4,0),AF=1,BE=3,再根据SAAOB=S△Aoc+SABOC, 即可求解 本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数详解式，一次函数详解式，反比例函数与 几何综合.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用： 20.(本小题10分) 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1,0)，点C(0,5), 另抛物线经过点(1,8) (1)求抛物线的详解式 (②)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使△MCB的面积最大，若存在，请求出点M的坐 标，并求出最大面积：若不存在，请说明理由 【详解】(1)二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， 其中A点坐标为(-1,0)，点C(0,5),另抛物线经过点(1,8)，则： 将A点坐标(-1,0)，点C(0,5),点(1,8)， 代入二次函数yax2+bx+c中， (a-b+c=0 可得a+b+c=8, (c=5 14/17 a=-1 解得b=4, c=5 故抛物线的详解式为y一x+4x+5 (2)存在： 令y0,即-x2+4x+5=0, 解得x1=5,x3=1. .B(5,0),又C(0,5). 设直线BC的详解式为y=kx+5,把B(5,0)代入得5k+5=0,解得k=1, 所以直线BC的详解式为y=-x+5, 过点M作MF⊥x轴于F,交BC于点E 0 设M(m,-m+4m+5),则E(m,-m+5). .ME=yM-yE=-m2+4m+5-(-m+5)=-m2+5m. SaMe=xNME×x。-Xg)=×(-m2+5m)×5=含m2+m=含m-3+号 -5<0, 2 ∴当m=时，SM©m有最大值，最大值为号，此时，M点的坐标为(，) 【解析】 (1)待定系数法求出函数详解式即可： (2)求出直线BC的详解式，设Mm,-m2+4m+5),分割法求三角形的面积，将三角形的面积 的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果， 本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键 15/17 21.(本小题12分) 【问题情境】如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5,BE=12,∠AEB=90°，将Rt△ABE 绕点A按逆时针方向旋转a度(0≤a≤l80°，点B,E的对应点分别为点B',E 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长； (②)若a=90°，如图3，得到△ADE(此时B'与D重合)，延长BE交DE'于点F,试判断四边形 AEFE的形状，并说明理由： (3)在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE'长度的最大值 D D B B E B B 图1 图2 图3 【答案】解：(1)AE=5,BE=12,∠AEB=90°， ..AB=VAE2+BE2=13, :四边形ABCD是正方形， .BC=AB=13,∠ABC=90°， ·AC=√2AB=13V2, 由旋转的性质得：AB=AB=13, ÷CB'=AC-AB'=13V2-13: (2)四边形AEFE'是正方形， 理由如下：由旋转的性质得：AE=AE,∠EAE=a=90°， ∠AED=∠AEB=90°，∠AEF=180°-90°=90°， 四边形AEFE是矩形， 又：AE=AE, …矩形AEFE'是正方形： (3)AE=5是固定值，点A是定点，点E是动点， 16/17 …点E的轨迹为以A为圆心，5为半径的圆，如图： D B E' 当点C、A、E依次共线时，CE最大， 此时，CE'=AC+AE'=13V2+5, 即CE'长度的最大值为13√2+5. 【分析】 (1)由勾股定理求出AB=13,再求出AC,由旋转的性质得：AB=AB'=13,则可得出答案： (②)先证四边形AEFE'是矩形，再根据AE=AE,证明是正方形： (3)点E'的轨迹为以A为圆心，5为半径的圆，当点C、A、E依次共线时，CE'最大，计算即 可 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练 掌握以上知识是解决本题的关键. 17/172026-2027学九年级上册数学期中试卷（二) 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星 发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就.下面是有关我国航天领域的图标，其文 字上方的图案是中心对称图形的是( B CASC 中国火箭 中国航天 CHINAROCKET D 中国探月 中国行星探测 CLEP Ma厂S 2.反比例函数y=-的图象一定经过的点是( A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,-4) 3.一元二次方程x2-4x一5=0配方后，结果正确的是( A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=9 C.(x-4)2=21 D.(x-4)2=11 4.关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足( ) A.a≥1 B.a>1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5 5.若A(-5,y1)B(1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1,y2,y3 的大小关系是( A.y1<y2<y3 B.y3<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2 1/6 6.若二次函数y=x2-2mx+1,当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( A.m=3 B.1m>3 C.m≥3 D.m≤3 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶 B 点A逆时针旋转角度a得到△AB'C,且点C刚好落在CB'上，则 等于( ) C A.30° B.45° C.60° D.75 B A 8.二次函数y=ax2+bx+c中的x,y的部分对应值如下表： -3-2 0 0 -8-9-50 关于它的图象和性质，下列说法正确的是( A.图象开口向下 B.顶点坐标为(1，-9) C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(2,0) 9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给以下结论： ①2a-b=0: ②abc>0: ③4ac-b2<0: ④9a+3b+c<0 ⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等实数根： ⑥8a+c<0. 其中正确的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知抛物线y=x2-2x(n≠0)，点Px1,y1),点Qx2,y2)是抛物线上两点，且-6≤x3≤-4. 当x1=-n时，始终满足y1>y2,则n的取值范围为() A.n<-2或n>6 B.n<-2或0<n<6 C.-2<n<0或n>6 D.-2<n<0或0<n<6 2/6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 y↑x=1 11.一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为 12.抛物线y=-号（区-4）2+3的顶点坐标为 -1.5 13.已知抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，其部分图象如图所示， 则3a+c= 14.如图，反比例函数y=&>0)的图象经过长方形OABC的顶点B, OC,OA分别在x轴上与y轴上，则长方形OABC的面积为 15.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根， 则m2-m+mn的值为 16风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图1， 风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(5,5),在 一段时间内，叶片每秒绕原点0顺时针转动90，则第2024秒时，点A的对应点A2024的坐标 为 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)用适当的方法解方程： (1)x2-4x-2=0 (2)(2x-5)2-x+4)2=0 3/6 18.(本小题10分)2025年春节联欢晚会吉祥物已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体 造型参考甲骨文中的“已字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意福从头起，尾随如 意”，在市场上一度走红. 据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的 素材1 销售量是7.2万件. 某实体店已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20 素材2 件. 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定 素材3 降价促销，同时尽量减少库存 问题解决 任务1 (1)确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率. 任务2 (2)确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题. 4/6 19.(本小题10分)如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=2的图象相交于A(6,1), B(-2,n)两点. (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式： (②)根据图象，直接写出满足k1x+b>2的x的取值范围： (3)求△AOB的面积， 20.(本小题10分)如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐 标为(-1,0)，点C(0,5),另抛物线经过点(1,8) (1)求抛物线的解析式 (②)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使△MCB的面积最大，若存在，请求出点M的坐 标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由 5/6 21.(本小题12分) 【问题情境】如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5,BE=12,∠AEB=90°，将Rt△ABE 绕点A按逆时针方向旋转a度(0≤a≤I80°，点B,E的对应点分别为点B,E 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长： (②)若a=90°，如图3，得到△ADE(此时B'与D重合)，延长BE交DE'于点F,试判断四边形 AEFE的形状，并说明理由； (3)在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE'长度的最大值 D D B F B 的 图1 图2 图3 6/6 2026-2027学九年级上册数学期中试卷（二） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】根据中心对称图形的定义即可求解．本题考查的是中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】 A、 图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 2.反比例函数的图象一定经过的点是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】反比例函数中，为定值依此判断即可．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的特征是解答本题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：． 3.一元二次方程配方后，结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 【详解】 解：原方程移项，得， ， 配方得， 故选：． 4.关于的一元二次方程有实数根，则满足(    ) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C  【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键． 由方程有实数根可知根的判别式，结合二次项的系数非零，可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】 解：由已知得：， 解得：且． 故选：． 5.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， 故选：． 【分析】由二次函数详解式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系． 6.若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：在二次函数中， ，， 其对称轴为直线， ， 抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ． 故选：． 【分析】根据二次函数的性质分析即可．本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 7.如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角可得，再运用三角形内角和定理求解即可．本题主要考查了旋转的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上， ，，， ， ， 故选：． 8.二次函数中的，的部分对应值如下表： 关于它的图象和性质，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】B  【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可．本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误； 由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确； 由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误； 由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 故选：． 9.已知二次函数的图象如图所示，给以下结论： ； ； ； ； 关于的一元二次方程有两个相等实数根； ． 其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 根据图象的对称轴可判断，根据图象的开口方向、对称轴，抛物线与轴的交点可判断，根据图象与轴有两个交点，可判断，根据函数的对称性，可判断，根据抛物线的最值，可判断，根据图象当时和即可判断． 【详解】 解：抛物线的对称轴为，， 所以， 故错误； 抛物线开口向上，得：； 抛物线的对称轴为故； 抛物线交轴于负半轴， 得：；所以； 故正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， 则， ， 故正确； 根据抛物线的对称轴方程可知： 关于对称轴的对称点是； 当时，， 所以当时，也有， 即； 故正确； 二次函数的最小值为， 所以关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故正确； 由图知：当时，所以， 因为，所以， 即， 故错误； 所以这结论正确的有，共个． 故选C． 10.已知抛物线，点，点是抛物线上两点，且当时，始终满足，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A  【分析】根据二次函数的图象和性质可得抛物线开口向上，且对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为点，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：抛物线，点，点是抛物线上两点， 抛物线， 抛物线开口向上，且对称轴为直线， 当时，点关于对称轴的对称点为点， 当时，，点，点均在对称轴的左侧，此时随的增大而减小， 点，点是抛物线上两点，且当时，始终满足， ， ； 当时，，， 点，点是抛物线上两点，且当时，始终满足， 且， ； 综上所述，的取值范围为或． 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一元二次方程的一个解为，则的值为        ． 【答案】  【分析】根据题意可得：把代入方程中 得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， 故答案为：． 12.抛物线的顶点坐标为        ． 【答案】  【分析】根据二次函数的性质求解即可．本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13.已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则        ． 【答案】  【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案． 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：由条件可知，即， 则， 抛物线过点，且关于直线对称， 关于直线的对称点是，且抛物线过点， 则当时，， 即． 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为        ． 【答案】  【分析】由得即可解答． 本题考查反比例函数的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：设在上， ， ， 故答案为：． 15.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为        ． 【答案】  【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先求出和的值，再代入表达式计算．本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， 是方程的根， ，即． 由根与系数的关系，得． ． 故答案为：． 16.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为        ． 【答案】  【分析】根据旋转的性质分别求出第、、、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，，， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解方程： 【详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； ， ， ， 或， 解得，． 【解析】 利用配方法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 18.本小题分 年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材 据统计，某电商平台年月份“已升升”的销售量是万件，年月份的销售量是万件． 素材 某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件． 素材 经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务 确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务 确定销售价格 若使每天销售获利为元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务、任务的问题． 【详解】解：设月平均增长率为，  由题意得：，  解得：不合题意，舍去，，  答：月平均增长率为；  设每件的售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，  由题意得：，  整理，得，  解得：，不符合题意，舍去，  答：每件的售价应降低元． 【解析】 设月平均增长率是，根据某电商平台年月份“巳升升”的销售量是万件，年月份的销售量是万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；  设每件的售价应降低元，根据使每天销售获利为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19.本小题0分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． 分别求出一次函数和反比例函数的详解式； 根据图象，直接写出满足的的取值范围； 求的面积． 【详解】解：由条件可得， 反比例函数的详解式为； 把代入反比例函数得，， 的坐标是， 把、的坐标代入一次函数得，， 解得， ； 由知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， 满足的的取值范围为或； 如图所示，标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，   由知，一次函数的详解式为， 当时，，解得， 点， ， ，， ，， ， 的面积为． 【解析】 把代入得，，可知反比例函数的详解式是，把代入反比例函数得：，则的坐标是，然后待定系数法求一次函数详解式即可； 由图象可知：的的取值范围是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围； 标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，求出点，，，再根据，即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数详解式，一次函数详解式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20.本小题分 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点 求抛物线的详解式 在第一象限的抛物线上是否存在一点使的面积最大，若存在，请求出点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由 【详解】(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， 其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），则： 将A点坐标（-1，0），点C（0，5），点（1，8）， 代入二次函数y=ax2+bx+c中， 可得， 解得， 故抛物线的详解式为y=-x2+4x+5  (2)存在； 令y=0，即-x2+4x+5=0， 解得x1=5，x2=-1． ∴B（5，0），又C（0，5）． 设直线BC的详解式为y=kx+5，把B（5，0）代入得5k+5=0，解得k=-1， 所以直线BC的详解式为y=-x+5． 过点M作MF⊥x轴于F，交BC于点E． 设M（m,-m2+4m+5），则E（m,-m+5）． ∴． ∴． ∵， ∴当时，S△MCB有最大值，最大值为，此时，M点的坐标为  【解析】 待定系数法求出函数详解式即可； 求出直线的详解式，设，分割法求三角形的面积，将三角形的面积的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果． 本题考查抛物线与轴的交点，正确进行计算是解题关键． 21.本小题分 【问题情境】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，  【问题解决】  如图，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；  若，如图，得到此时与重合，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；  在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值  【答案】解：，，，  ，  四边形是正方形，  ，，  ，  由旋转的性质得：，  ；   四边形是正方形，  理由如下：由旋转的性质得：，，  ，，  四边形是矩形，  又，  矩形是正方形；  是固定值，点是定点，点是动点，  点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大，  此时，，  即长度的最大值为．  【分析】 由勾股定理求出 ，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案；  先证四边形是矩形，再根据，证明是正方形；   点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学九年级上册数学期中试卷（二） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.反比例函数的图象一定经过的点是(     ) A. B. C. D. 3.一元二次方程配方后，结果正确的是(     ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程有实数根，则满足(     ) A. B. 且 C. 且 D. 5.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(     ) A. B. C. D. 6.若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于(     ) A. B. C. D. 8.二次函数中的，的部分对应值如下表： 关于它的图象和性质，下列说法正确的是(     ) A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 9.已知二次函数的图象如图所示，给以下结论： ； ； ； ； 关于的一元二次方程有两个相等实数根； ． 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 10.已知抛物线，点，点是抛物线上两点，且当时，始终满足，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一元二次方程的一个解为，则的值为     ． 12.抛物线的顶点坐标为       ． 13.已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示， 则        ． 14. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点， ，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为       ． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， 则的值为        ． 16.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为        ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解方程： 18.本小题分年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材 据统计，某电商平台年月份“已升升”的销售量是万件，年月份的销售量是万件． 素材 某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件． 素材 经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务 确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务 确定销售价格 若使每天销售获利为元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务、任务的问题． 19.本小题0分如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． 分别求出一次函数和反比例函数的解析式； 根据图象，直接写出满足的的取值范围； 求的面积． 20.本小题分如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点 求抛物线的解析式 在第一象限的抛物线上是否存在一点使的面积最大，若存在，请求出点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由 21.本小题分 【问题情境】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，  【问题解决】  如图，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；  若，如图，得到此时与重合，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；  在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $