精品解析：上海市虹口区2026－2027学年第一学期期中学习能力诊断练习九年级数学

2026学年第一学期期中学习能力诊断练习初三年级数学学科 考生注意： 1．本试卷共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对于两个相似但不全等的三角形，下列四个量中，有一个量的值与其他三个量的值不同的是（ ） A. 面积比 B. 对应角平分线之比 C. 对应高之比 D. 对应中线之比 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段、、，求作线段，使．下列作图方法中都有，作法合理的一项是（ ） A. B. C. D. 5. 小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系数只能为、、，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”， 小乐提问 小余回答 ①这个二次函数的图像开口向上吗？ 答：不是； ②这个二次函数的图像对称轴在轴右侧吗？ 答：是； ③这个二次函数的图像与轴有两个交点吗？ 答：不是． 根据上述对话，小余写下的二次函数是（ ） A. B. C. D. 6. 在学习完《28．2相似三角形（6）》的例题8（如下图）后，某班一些爱探究数学问题的同学组成了两个学习小组进行进一步探究并提出了问题： 如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为，高为．求正方形的边长． 第①组“爱探”小组研究并提出的问题是： 如图1，保持边的长为，高为，但改变的形状，正方形的边在直线上，顶点、分别在边、上，那么此时正方形的边长是否会随着形状的变化而变化？ 第②组“爱究”小组研究并提出的问题是： 如图2，的形状、边的长，高的长都保持不变，将“正方形”改为“矩形”，边在边上，顶点、分别在边、上，那么此时的值是否会随着矩形形状的变化而变化？ 下列结论中，正确的是（ ） A. ①，②都不变 B. ①变化，②不变 C. ①不变，②变化 D. ①，②都变化 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知二次函数，当自变量时，对应的函数值_____． 8. 如果抛物线（为常数）在对称轴右侧部分是下降的，那么的取值范围是_____． 9. 抛物线与轴的交点坐标是_____． 10. 黄金分割是一条公认的美学规律，舞台上报幕员总是站在舞台的黄金分割点处，显得大方得体．如图，线段表示舞台前沿，米，小李上台担任报幕员，他要从舞台边点走到最近的舞台黄金分割点处要走_____米．（结果保留根号） 11. 如图，已知，它们依次交直线于点、、，交直线于点、、，如果，，，那么的长是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____． 13. 已知点、都在抛物线上，如果，那么与的大小关系是_____．（填“”、“”、“”或“无法确定”） 14. 抛物线的顶点在直线上，那么的值是_____． 15. 抛物线在轴上截得的线段长为2，那么的值是_____． 16. 二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是_____． 17. 现有两张完全相同的矩形纸片，，，．如图1，将第一张矩形纸片对折，使与重合，展平后沿折痕剪开，取其中一张小矩形纸片，记为矩形①；如图2，将第二张矩形纸片沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，过点的直线与边交于点，沿剪下矩形，记为矩形②；如果矩形①与矩形②相似，那么的值是____． 三、解答题：（本大题共7题，满分82分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 18. 已知：，，求、、的值． 19. 二次函数中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表所示： （其中、为待求的值） … … … … 根据表中的信息回答下面的问题： （1）求该二次函数的表达式； （2）填空：    ；    ． 20. 在中，，，，点、分别是边、上的点． （1）如图1，如果，与互补，求的长； （2）如图2，如果，把分成的两部分的周长相等，连接，求与的面积比． 21. 足球比赛中，当球出边线后，球员需用手掷界外球，在忽略空气阻力的情况下，球的飞行轨迹是一条抛物线．设过球出手点的铅垂线与地面所在水平面交于点． （1）队员小杨掷界外球，出手时球在离地面高度为2米的位置，当球飞出水平距离3米时到达离地面高度米的位置，在球飞出水平距离4米时落地，落地点位置为．以为原点，为轴，为轴，建立如图的平面直角坐标系． ①求足球飞行时离地面的高度（单位：米）与飞出的水平距离（单位：米）的函数表达式； ②求足球飞行到最高点时，飞出的水平距离； （2）为了更有攻击性，小杨掷了一次“大力界外球”，其队友小徐起跳争顶头球，已知小徐的“最佳争顶区域”的高度不低于米但不超过米．这次“大力界外球”有以下相关数据信息： 数据信息1： 小杨掷球出手时球离地面高度仍为2米，球的飞行轨迹仍是一条抛物线； 数据信息2： 当球飞出水平距离为6米时达到最高点，设最高点距离地面的距离为； 数据信息3： 队友小徐在球飞出水平距离为10米的位置原地起跳争顶时，球的高度处于他的“最佳争顶区域”． 仅根据上述信息，不额外考虑其他因素，求的取值范围． 22. 如图，已知在矩形中，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点． （1）求证：； （2）连接、，记与的周长分别是、，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过其对称轴左侧的点，与轴正半轴交于点，点是点关于该抛物线对称轴的对称点． （1）用含的式子表示的值及点的坐标； （2）已知该抛物线顶点为，点是该抛物线上一点，连接，线段交抛物线的对称轴于点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，设与抛物线对称轴交于点，． ①随着值的变化，的值是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，用含的式子表示； ②连接、，如果，求点到轴的距离． 24. 在中，已知点在边上．，点在边上，连接、． （1）当时， ①如图1，如果，求证：； ②如图2，如果平分，，求的值； （2）如图3，如果，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中学习能力诊断练习初三年级数学学科 考生注意： 1．本试卷共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对于两个相似但不全等的三角形，下列四个量中，有一个量的值与其他三个量的值不同的是（ ） A. 面积比 B. 对应角平分线之比 C. 对应高之比 D. 对应中线之比 【答案】A 【解析】 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， ∵ 两个三角形不全等， ∴ ， ∴ ∵ 相似三角形对应角平分线之比、对应高之比、对应中线之比均等于，相似三角形的面积比等于， ∴面积比与其他三个量的值不同． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：是正比例函数，不是二次函数． B选项：是一次函数，不是二次函数． C选项：，右边不是整式，不是二次函数． D选项：，是二次函数． 3. 抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移规律计算即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位， ∴所得抛物线表达式为． 4. 已知线段、、，求作线段，使．下列作图方法中都有，作法合理的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式转化为比例式，结合平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，分析各选项中线段对应关系及作图可行性． 【详解】解：A、， ∴，即， 但线段或的位置依赖于未知线段，无法直接作出，故此选项不符合题意； B、， ∴，即， 但线段的位置依赖于未知线段，无法直接作出，故此选项不符合题意； C、设两直线交点为， ， ， ，且、、均为已知线段，可从点直接截取，作法合理，故此选项符合题意； D、设两直线交点为， ， ， ，故此选项不符合题意． 5. 小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系数只能为、、，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”， 小乐提问 小余回答 ①这个二次函数的图像开口向上吗？ 答：不是； ②这个二次函数的图像对称轴在轴右侧吗？ 答：是； ③这个二次函数的图像与轴有两个交点吗？ 答：不是． 根据上述对话，小余写下的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由开口方向确定二次项系数符号，由对称轴位置确定一次项系数符号，再根据与x轴的交点个数确定常数项即可得到答案． 【详解】解：设二次函数为（），由题意知只能取， ∵图像开口不向上， ∴，即， ∵图像对称轴在轴右侧， ∴， 又∵， ∴，即， ∵这个二次函数的图像与轴没有两个交点 ∴，即， ∴， ∴ ∴小余写下的二次函数为． 6. 在学习完《28．2相似三角形（6）》的例题8（如下图）后，某班一些爱探究数学问题的同学组成了两个学习小组进行进一步探究并提出了问题： 如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为，高为．求正方形的边长． 第①组“爱探”小组研究并提出的问题是： 如图1，保持边的长为，高为，但改变的形状，正方形的边在直线上，顶点、分别在边、上，那么此时正方形的边长是否会随着形状的变化而变化？ 第②组“爱究”小组研究并提出的问题是： 如图2，的形状、边的长，高的长都保持不变，将“正方形”改为“矩形”，边在边上，顶点、分别在边、上，那么此时的值是否会随着矩形形状的变化而变化？ 下列结论中，正确的是（ ） A. ①，②都不变 B. ①变化，②不变 C. ①不变，②变化 D. ①，②都变化 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，分别建立与正方形边长、矩形边长的比例关系式进行判断． 【详解】解：对于问题①，设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ，即， 解得． 正方形边长只与和有关，不随形状变化而变化． 对于问题②，设矩形中，， 同理可得， ，即， ，即， 该值恒为，不随矩形形状变化而变化． 综上所述，①，②都不变． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知二次函数，当自变量时，对应的函数值_____． 【答案】 11 【解析】 【分析】已知二次函数解析式，将给定的自变量取值代入解析式，即可计算得到对应的函数值． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为 ∴ 当时，将代入解析式得． 8. 如果抛物线（为常数）在对称轴右侧部分是下降的，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线在对称轴右侧部分下降说明其开口向下，据此可列关于的不等式求解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴右侧部分是下降的， ∴抛物线开口向下， ∴二次项系数小于0，即， 解得． 9. 抛物线与轴的交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与x轴的交点满足纵坐标为0，令函数解析式中，求解对应一元二次方程的根，即可得到交点的横坐标，进而确定交点坐标． 【详解】解：∵x轴上的点的纵坐标为0 ∴令，代入抛物线解析式，得 将方程右侧因式分解，得 解得 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为． 10. 黄金分割是一条公认的美学规律，舞台上报幕员总是站在舞台的黄金分割点处，显得大方得体．如图，线段表示舞台前沿，米，小李上台担任报幕员，他要从舞台边点走到最近的舞台黄金分割点处要走_____米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】线段上有两个黄金分割点，分别靠近端和端。题目指出从走到最近的黄金分割点，结合图形可知为较短线段，根据黄金分割比计算较短线段长度即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，线段被点分割，若为较短线段，则为较长线段，较长线段与全长的比值为， 点是离点最近的黄金分割点， ，即为较短线段， ， ， ， ， ， ， 故小李要走米． 11. 如图，已知，它们依次交直线于点、、，交直线于点、、，如果，，，那么的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由平行线得出对应线段成比例，结合  及已知长度建立等式求解． 【详解】解：∵  ∴  ∵ ∴  ∵  ∴  ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，其面积比等于相似比的平方，由对应点  和  的坐标求出相似比即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于原点位似 ， 四边形四边形 ， 点的坐标为，点的坐标为 ， 相似比为 ，  ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积． 13. 已知点、都在抛物线上，如果，那么与的大小关系是_____．（填“”、“”、“”或“无法确定”） 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线上点的坐标满足函数解析式的性质，结合已知的横坐标关系代入计算，即可比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵点、都在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 将代入的表达式，得， ∴． 14. 抛物线的顶点在直线上，那么的值是_____． 【答案】 4 【解析】 【分析】先通过配方法求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在已知直线上的条件，将顶点坐标代入直线解析式建立关于的方程，求解得到的值． 【详解】解：对抛物线解析式进行配方变形， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴顶点坐标满足直线的解析式， 将顶点坐标代入直线解析式，得， 化简等式右边得， 解得． 15. 抛物线在轴上截得的线段长为2，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的实数根，截得的线段长等于两根差的绝对值，结合根与系数的关系建立关于k的方程求解． 【详解】解：当抛物线与x轴相交时，， ， 设该方程的两个实数根为，， ，， ∵ 抛物线在x轴上截得的线段长为2， ∴ 两个交点的横坐标差的绝对值为2，即， 对等式两边平方，得， ∵ ， ∴ 代入，， 得，整理得， 解得， 验证：当时， 一元二次方程的判别式， 方程存在两个不相等的实数根，符合抛物线与x轴有两个交点的前提． 16. 二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是_____． 【答案】 32 【解析】 【分析】先根据二次函数的最小值求出参数的绝对值，再求出抛物线与轴两交点的距离，结合顶点到轴的距离作为三角形的高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 二次函数中， ∴ 函数开口向上，顶点的纵坐标即为函数的最小值， ∵ 二次函数顶点纵坐标为， 根据题意得：， 函数最小值为， ∴ 代入得， 化简得， 解得，即， 令，求解函数与轴的交点：， 提取公因式得， 解得，， ∴ 两交点间的距离为， ∵ 两交点均在轴上， ∴ 三点构成的三角形的底为两交点的距离8，高为顶点到轴的距离，即顶点纵坐标的绝对值， ∴ 三角形面积为． 17. 现有两张完全相同的矩形纸片，，，．如图1，将第一张矩形纸片对折，使与重合，展平后沿折痕剪开，取其中一张小矩形纸片，记为矩形①；如图2，将第二张矩形纸片沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，过点的直线与边交于点，沿剪下矩形，记为矩形②；如果矩形①与矩形②相似，那么的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质确定矩形①和矩形②的边长，矩形①的长为，宽为；矩形②的边长为和；利用相似多边形对应边成比例列方程求解，注意讨论长宽对应关系并舍去不合题意的解． 【详解】解：由题意可知，矩形①是由矩形对折剪开得到的   对折使与重合   矩形①的长为，宽为  由折叠性质可知，   点在边上，    矩形②的边长分别为和   矩形①与矩形②相似，且   矩形①的长边为 ， 若矩形②的长边为，则，解得，不合题意，舍去 若矩形②的长边为，短边为   整理得， 即  解得  ，   三、解答题：（本大题共7题，满分82分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 18. 已知：，，求、、的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】设连等比例的公共比值为参数，将、、用统一表示，代入已知等式求解后回代得到各值． 【详解】解：设． 可得，，． 将上述表达式代入， 得 ． 化简得． 解得． ∴，，． 19. 二次函数中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表所示： （其中、为待求的值） … … … … 根据表中的信息回答下面的问题： （1）求该二次函数的表达式； （2）填空：    ；    ． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）从表格中取三组完整的对应值，设一般式用待定系数法列出方程组求出三个系数； （2）把 与 分别代入所求表达式，即得 与 ． 【小问1详解】 解：设该二次函数的表达式为 ． ∵ 当 时 ，当 时 ，当 时 ， ∴ ，，． ∴第二式减第一式得 ，即 ． ∴ 第三式减第二式得 ，即 ． ∴ ， ∴ ． ∴ ，． ∴ 该二次函数的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ 当 时，． ∴ 当 时，． ∴ ． 20. 在中，，，，点、分别是边、上的点． （1）如图1，如果，与互补，求的长； （2）如图2，如果，把分成的两部分的周长相等，连接，求与的面积比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，即可求解； （2）由平行得到，则，设，再根据周长关系求解，最后根据共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， ∵把分成的两部分的周长相等， ∴， ∴， 解得， ∵与共过点作的垂线形成的高， ∴． 21. 足球比赛中，当球出边线后，球员需用手掷界外球，在忽略空气阻力的情况下，球的飞行轨迹是一条抛物线．设过球出手点的铅垂线与地面所在水平面交于点． （1）队员小杨掷界外球，出手时球在离地面高度为2米的位置，当球飞出水平距离3米时到达离地面高度米的位置，在球飞出水平距离4米时落地，落地点位置为．以为原点，为轴，为轴，建立如图的平面直角坐标系． ①求足球飞行时离地面的高度（单位：米）与飞出的水平距离（单位：米）的函数表达式； ②求足球飞行到最高点时，飞出的水平距离； （2）为了更有攻击性，小杨掷了一次“大力界外球”，其队友小徐起跳争顶头球，已知小徐的“最佳争顶区域”的高度不低于米但不超过米．这次“大力界外球”有以下相关数据信息： 数据信息1： 小杨掷球出手时球离地面高度仍为2米，球的飞行轨迹仍是一条抛物线； 数据信息2： 当球飞出水平距离为6米时达到最高点，设最高点距离地面的距离为； 数据信息3： 队友小徐在球飞出水平距离为10米的位置原地起跳争顶时，球的高度处于他的“最佳争顶区域”． 仅根据上述信息，不额外考虑其他因素，求的取值范围． 【答案】（1）①所求函数表达式为； ②足球飞行到最高点时，飞出的水平距离为1米； （2） 【解析】 【分析】（1）①已知三个点、、，用一般式待定系数法即可． ②抛物线最高点即顶点，横坐标为对称轴 ，即可解答； （2）顶点已知为，用顶点式，出手点用于定系数，当时，求出，由题意，此时球的高度在“最佳争顶区域”，得到，求出 ，即可解答． 【小问1详解】 解：①设抛物线解析式为． 抛物线过，、， 解得， 所求函数表达式为 ②∵， ∴足球飞行到最高点时，飞出的水平距离为1米； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 出手点高度仍为米， ∴抛物线过， ， 得 当时， ， 由题意，此时球的高度在“最佳争顶区域”： 解得：， ∴h的取值范围是． 22. 如图，已知在矩形中，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点． （1）求证：； （2）连接、，记与的周长分别是、，求证：． 【答案】（1）证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， 矩形中，， ∵， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，再由相似三角形的性质求解即可； （2）证明出，再由相似比等于周长比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过其对称轴左侧的点，与轴正半轴交于点，点是点关于该抛物线对称轴的对称点． （1）用含的式子表示的值及点的坐标； （2）已知该抛物线顶点为，点是该抛物线上一点，连接，线段交抛物线的对称轴于点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，设与抛物线对称轴交于点，． ①随着值的变化，的值是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，用含的式子表示； ②连接、，如果，求点到轴的距离． 【答案】（1）， （2）①的值不随变化，定值为；②点P到轴的距离为． 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，求出，再根据是关于对称轴的对称点进行求解即可； （2）①连接，先求出，，可求出， 继而推导出，求出直线的解析式为，得，再求出，，即可解答； ②由①得，，得到，推导出，可得到，过作对称轴，垂足为，得到，继而推导出，得到，求出，则点P到轴的距离为． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴把代入解析式，得 解得． ∴抛物线对称轴为直线． ∵抛物线与轴交于点， ∴． ∵是关于对称轴的对称点， ∴． 【小问2详解】 解：①连接，如图 ∵顶点在对称轴上， ， ∵在直线上，交对称轴于， ∴，． ∵对称轴，且， ∴． 又∵在对称轴右侧， ， 把代入解析式： ， ， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为， ∴令，得． ∵P，D，E都在对称轴上， ， ， ， 即的值不随变化，定值为． ②由①得 ， ， ∴． 又∵，为公共边， ， ， 由图可知： ， ， 又∵，且， ， 过作对称轴，垂足为，如图 则． 在中（即在对称轴上的垂足）： ， 在中： ， ∵，且两三角形均为直角三角形， ， ， 即 整理得： 则， ∵点到轴距离为， 即点P到轴的距离为． 24. 在中，已知点在边上．，点在边上，连接、． （1）当时， ①如图1，如果，求证：； ②如图2，如果平分，，求的值； （2）如图3，如果，，，，求的长． 【答案】（1）①证明：， ． 又， ． ． 点在上， ． 点在上， ． ． ， 设，则，．， ∴， ， ∴ ． 又， ， ，即． 又， ∴． ② （2） 【解析】 【分析】①由直接得到，配合公共角，可证，从而推出；再由已知边比算出夹边比例，即可解答． ②求的值分析：由得，设元算出各线段长；再由角平分线条件结合①中的等角关系，推出，最后作高用勾股定理求解即可； （2）过点作，交于点，推导出，得到，求出，继而推导出，得到，代入化简，可得到，求出（负值已舍去），即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②解： ， ， ， ，即． ， 设，则，． ， ． ． ， ． ，即． 平分， ． ． ． 在中，，． 作于点， 则． 在中，． 作于点，如图 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ， ． 【小问2详解】 解：过点作，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 解得（负值已舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $